Appunti Controlli Automatici MATLAB (Parte Pratica)

Progettazione di un sistema di controllo in frequenza

La progettazione di un sistema di controllo in frequenza risulta essere fondamentale ragionare su quella che è la funzione di anello e poi risulta essere fondamentale valutare alcuni indicatori di questa funzione di anello in frequenza che sono la pulsazione critica ed il margine di fase; questi sono i requisiti fondamentali che vengono adottati per tradurre in frequenza quelle che sono le specifiche di un sistema di controllo.

Per quanto riguarda la parte di robustezza e quindi tutta quella parte che abbiamo visto sulle funzioni di sensitività ovviamente ci serve richiamare l'analisi fatta nella lezione precedente. In questo particolare caso ipotizziamo che per la funzione di trasferimento non ci troviamo in quelle che sono le condizioni nominali ma possiamo ipotizzare la f.d.t con un tempo, un parametro incerto che indichiamo come θ, di solito questo θ non è noto ma può essere noto da quello che risulta essere un valore nominale che.

possiamo indicare come <em>. Per portare in conto quelle che è la dipendenza della f.d.t non soltanto da una variabile complessa ma anche da θ vediamo che si considera una funzione G = G(S, θ), se andiamo a valutare G significa che ci portiamo in quelle che risultano essere le condizioni nominali che sono le condizioni fino ad ora studiate. Il controllore invece non dipende da θ perché normalmente si ipotizza che il controllore venga progettato sulla base di quello che risulta essere il processo nominale. Partendo da questo, tutto al più possiamo conoscere che è il valore nominale ma ovviamente nella realtà è possibile che questi parametri non siano perfettamente nulli e quindi è possibile che vi siano delle variazioni dei parametri stessi per i motivi come l'usura del tempo che affligge le componenti di un sistema, i guasti e così via. Quello che si cerca di fare è di andare a valutare una variazione relativadi quella che risulta essere innanzi tutto il parametro stesso e poi si cerca di trovare delle variazioni relative di quelle che risultano essere le funzioni che usiamo normalmente per l'analisi e per la progettazione del sistema di controllo. Ipotizziamo quindi che, normalmente si assume che questa incertezza risulta essere limitata ed assumere dei valori piccoli, sufficientemente piccoli in modo tale che sia possibile fare uno sviluppo in serie di Taylor. Le funzioni che vengono adoperate in questo tipo di analisi sono 215. Abbiamo quindi da una parte la risposta nominale che come avevamo accennato risulta essere la, cioè la funzione di trasferimento valutata per θ, quindi è la classica f.d.t. Abbiamo poi la risposta perturbata in cui si mette in evidenza la dipendenza da θ e dà Δ. Abbiamo poi una variazione assoluta che è data dalla differenza tra la risposta nominale e la risposta perturbata. Infine abbiamo una variazione relativa data dalla differenza.tra la risposta perturbata e la risposta nominale fratto la risposta nominale. In questo modo possiamo indicare il fattore la lettera E sta ad indicare la variazione relativa della f.d.t in anello aperto e per questo abbiamo la dipendenza da G. Ricaviamo allora Ipotizzare di moltiplicare e di dividere per un fattore , sotto le ipotesi che questo risulti essere sufficientemente piccolo permette di effettuare uno sviluppo in serie di Taylor arrestando tutto al primo ordine di derivazione e permette di ottenere questa particolare relazione che risulta essere la variazione relativa della f.d.t in anello aperto che essendo ancora in funzione di s può essere valutata ponendo s=jw e questo ci consente di ottenere quella che è la risposta in frequenza. Valutando quello che risulta essere la sua risposta in frequenza e soprattutto dal punto di vista del modulo possiamo valutare in che modo l'effetto dell'incertezza parametrica incide su quella che risulta essere la risposta.

In frequenza associata, cioè valutando il modulo di questa funzione, valutando il diagramma di Bode del modulo dopo aver fatto la sostituzione s=jw, possiamo capire in quale range di pulsazioni l'incertezza parametrica risulta avere un grande effetto su quello che risulta essere la variazione della f.d.t in anello aperto. Questo significa dire che se il diagramma di Bode del modulo risulta assumere un certo range di pulsazione, un valore alto del modulo ci dice che in quell'intervallo di frequenza la risposta in frequenza del sistema risulta essere molto sensibile, nella banda di frequenze, alla variazione del parametro θ. Questa analisi viene fatta sulla funzione G e a noi interessa andare sul ciclo-chiuso per progettare un sistema di controllo per capire in che modo la variazione di questo parametro ha ripercussioni sul sistema controllato. In questo sistema abbiamo che il ramo diretto passa all'interno della funzione di anello e quindi nel prodotto C * G, poi il

loop si chiude con la retroazione negativa e quindi otteniamo al denominatore 1+C G; quindi la funzione di sensitività complementare che lega la variabile di uscita y di nostro interesse che è quella controllata con il riferimento esogeno r che è quello in ingresso è la funzione F(s). Chiudendo il loop con il classico schema sopra rappresentato e prendendo in esame quella che risulta essere la funzione di sensitività complementare che come abbiamo visto è la funzione che tra le altre cose ci descrive la relazione riferimento, variabile controllata ricaviamo che F(s) è pari a . Ovviamente il controllore che è il parametro C non dipende dal parametro θ ma vi dipende quello che risulta essere il processo G; abbiamo che in F dovrebbe esservi anche la dipendenza dal parametro θ e quindi dovremmo avere F(S, θ) perché F per mezzo di G risulterà essere dipendente anche essa dal parametro θ. Da qui è

possibile valutare quella che risulta essere la variazione relativa della f.d.t in anello chiuso facendo dei passaggi simili a quelli precedenti e quindi si prende quello che risulta essere la F valutata per il parametro incerto meno la F valutata nel caso in cui θ assume esattamente il valore nominale, il tutto diviso la F valutata nel caso in cui θ assume esattamente il valore nominale. Questo ci permette di ottenere E. Ancora una volta possiamo ipotizzare di moltiplicare e dividere per ε e per un valore sufficientemente piccolo. Possiamo nuovamente fare lo sviluppo in serie di Taylor ed arrestarlo sempre al primo ordine di derivazione e ricaviamo questa particolare relazione che dipende dal gradiente di F rispetto a θ. Il tutto poi lo andiamo a valutare per ε; applicando le regole delle derivate parziali ricaviamo che: 218 da cui andando a svolgere i calcoli otteniamo che: abbiamo poi che: Questa relazione risulta essere interessante perché il termine che vediamo a destra altro nonè che la funzione di sensitività diretta valutata per θ, questo è dovuto al fatto che riconosciamo che il termine a destra è come se fosse 1/(1+N(s)) che nelle lezioni precedenti avevamo visto essere la rappresentazione che ci restituisce la funzione di sensitività diretta. Così facendo otteniamo la seguente relazione 219 dove quella che risulta essere la variazione relativa della funzione di trasferimento a ciclo-chiuso dipende da quella che risulta essere la variazione relativa della funzione di trasferimento a ciclo-aperto attraverso la funzione di sensitività. N.B In questo caso abbiamo che la E dipende sia da S che dà θ parametro incerto che da F. In base a questa relazione possiamo studiare per la f.d.t ottenuta, la risposta in frequenza ponendo s=jw e possiamo studiarne modulo e fase. Il modulo di questa funzione rappresenta proprio il rapporto tra gli effetti dell'incertezza parametrica ad anello chiuso rispetto.

all'incertezza parametrica ad anello-aperto. Nell'intervallo di pulsazioni in cui il modulo di questa funzione assume un valore piccolo, ad esempio abbiamo visto come idealmente vorremmo o comunque molto più piccolo di 1, nel range di frequenze in cui il modulo della funzione risulta essere molto più piccolo di 1 significa che viene rigettata molto l'incertezza parametrica o meglio l'incertezza parametrica che agisce sull'anello aperto non ha forti ripercussioni una volta che andiamo a chiudere il controllo. Il controllore lo progettiamo sulla base di quello che risulta essere la f.d.t nominale. Quanto detto è molto interessante perché permette di mettere in evidenza un altro beneficio della retroazione perché sappiamo che normalmente già chiudendo il ciclo-chiuso con una retroazione negativa, se valutiamo la S(s) già di per sé normalmente questa funzione assume un andamento come un filtro passa-alto, questo

significa che all'interno di quella che risulta essere la banda passante, quindi per valori di pulsazione confinati fino alla pulsazione critica di per sé questa funzione adopera un'operazione di filtraggio e quindi già di per sé, chiudendo a ciclo chiuso il modulo di questa funzione assume un valore < 1; in base alle specifiche bisogna poi andare a capire quando deve essere minore di 1 e come spingere la banda passante però già chiudendo a retroazione otteniamo questa operazione di filtraggio; questo ci fa capire che un effetto positivo di quello che risulta essere la retroazione è di garantire già di per sé un buon livello di sensitività rispetto a quello che risultano essere le variazioni parametriche di qualche parametro noto. L'ulteriore vantaggio della retroazione è quindi che già di per sé permette di ottenere questa sorte di robustezza rispetto alle variazioni.

parametriche.Ricapitolando siamo giunti al seguente risultato 220Vediamo ora alcuni esempi.

ESEMPIO 1

Ipotizziamo di avere un sistema del tipo

Abbiamo una f.d.t del tipo G(S). θ è un parametro non noto del quale si conosce solo il suo valore nominale

In sostanza abbiamo un'incertezza sulla locazione dello 0 e vogliamo valutare tutte le funzioni descritte fino a questo momento e quindi l'effetto che l'incertezza porta sul c.c a partire dal c.a.

Cominciamo a vedere cosa accade a c.a dalle slide precedenti abbiamo visto che possiamo definire la variazione relativa facendo questo sviluppo in serie di Taylor, quindi il seguente gradiente 221dove è la f.d.t valutata per il valore nominale .

Valutiamo ora il gradiente di cui prima abbiamo parlato e ricaviamo prendiamo quindi la stessa funzione e supponiamo che invece di prendere prendiamo proprio θ, il parametro non noto, se facciamo il gradiente rispetto a θ della funzione otteniamo quanto sopra.

Pervalutare la E dobbiamo considerare il gradiente appena trovato moltiplicato per γ che sarebbe il G fattore che esce fuori dallo sviluppo di Taylor moltiplicato per ¹/_G valutato per il valore nominale.