Appunti Completi Modelli Statistici

Introduzione ai Modelli Statistici

Modelli statistici probabilistici matematici che permettono di esplicare la relazione tra variabili statistiche.

Si cerca un compromesso: un modello deve essere sufficientemente semplice per essere interpretabile ed utilizzabile, ma non troppo semplice per riuscire ad avvicinarsi alla realtà.

Es: prevedere il numero di sinistri di un assicurato sulla base delle sue caratteristiche individuali.

• Variabile Risposta: nº sinistri
• Variabile Esplicativa: caratteristiche individuali

Dobbiamo studiare come la variabile risposta è influenzata da quelle esplicative.

Passaggi fondamentali:

1. Specificazione del modello:

   • Il modello viene specificato sulla base di variabili d'interesse, relazione tra variabili, ipotesi, studio, metodologia di raccolta dei dati, pre-processing.

2. Stima del modello:

   • I parametri del modello vengono stimati sulla base dei dati osservati.

3. Verifica e diagnostica del modello:

   • Verificare se le assunzioni alla base del modello sono coerenti con i dati. Se così non fosse, dobbiamo ripartire da capo.

4. Utilizzo del modello:

   • Per fare stima e previsioni delle quantità d'interesse.

Tipi di modelli

• Semplice (1 var. risposta e 1 var. esplicativa)
• Multipla (1 var. risposta più var. esplicative)
• Multivariata (più var. risposta, più var. esplicative)
• Lineare: la risposta è una combinazione lineare di esplicative e parametri
• Linearizzabile: modelli che possono essere resi lineari tramite opportune trasformazioni
• Non lineari: modelli per cui non esiste una trasformazione che li renda lineari

INTRODUZIONE AI MODELLI STATISTICI

Modelli statistici probabilistici matematici che permettono di esplicitare una relazione tra variabili statistiche.

Si cerca un compromesso: un modello deve essere sufficientemente semplice per essere interpretabile ed utilizzabile ma non troppo semplice per riuscire ad avvicinarsi alla realtà.

Es.: Prevedere il numero di sinistri di un assicurato sulla base delle sue caratteristiche individuali.

• Variabile risposta: nº sinistri
• Variabile esplicativa: caratteristiche individuali

Dobbiamo studiare come la variabile risposta è influenzata da quella esplicativa.

Passaggi fondamentali:

1. Specificazione del modello:

   • Il modello viene specificato sulla base di variabili di interesse, relazione tra variabili, ipotesi, studi, metodologia di raccolta dei dati, pre-processing.

2. Stima del modello:

   • I parametri del modello vengono stimati sulla base dei dati osservati.

3. Verifica e diagnostica del modello:

   • Verificare se le assunzioni alla base del modello sono coerenti con i dati. Se così non fosse, dobbiamo ripartire da capo.

4. Utilizzo del modello:

   • Per fare stima e previsioni delle quantità d'interesse.

Tipi di modelli:

• Semplice (1 var. risposta & 1 var. esplicativa)
• Multipla (1 var. risposta più var. esplicative)
• Multivariata (più var. risposta, più var. esplicative)
• Lineare: la risposta è una combinazione lineare di esplicative e parametri.
• Linearizzabile: modelli che possono essere resi lineari tramite opportune trasformazioni.
• Non lineari: modelli per cui non esiste una trasformazione che li renda lineari.

MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE

Y_i = B₀ + B₁X_i + ε_i i = 1,...,n

• Y = ALTEZZA MADRE
• X = ALTEZZA FIGLIA

OGNI (x_i, y_i) È UN PUNTO NEL PIANO

COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE

⁄ ∈ [-1,1] = r_xy

DOVE

S_y = S_x = ∑ ^w/ _v (x_i - x)²

∑^w _v (x_i - x)(y_i - y)

∑ ^w _v (x_i - x)²

Y_i = B₀ + B₁X_i + ε_i

• ALTEZZA FIGLIE
• COMPONENTE SISTEMATICA LINEARE
• ERRORE: PUNTI NON SONO PERFETTAMENTE ALLINEATI

COEFFICIENTI DI REGRESSIONE

B₀ = ∑v_iw_i = z

B₁ = ∑w_iy_i

2v_iw_i = z

ASSUNZIONI SULLA DISTRIBUZIONE ε_i

• A) E(ε_i) = 0 ∀ i = 1,...,n
• IMPLICA E(Y_i|Y₁) = Y_i = B₀ + B₁X_i "INERZIA DELLA MEDIA"
• VAR(ε_i) = σ² ≥ 0 ∀ i = 1,...,n
• IMPLICA VAR(y_i) = VAR(ε_i) = σ² "OMOSCHEDASTICITÀ RISPOSTE"
• COV(ε_i, ε_j) = 0 SE i ≠ j "INCOR