Appunti Completi Modelli Statistici

Introduzione ai Modelli Statistici

Modelli statistici probabilistici e matematici che permettono di esplicitare la relazione tra variabili statistiche.

Si cerca un compromesso: un modello deve essere sufficientemente semplice per essere interpretabile ed utilizzabile ma non troppo semplice per riuscire ad avvicinare la realtà.

Es: prevedere il numero di sinistri di un assicurato sulla base delle sue caratteristiche individuali.

Variabile risposta:n° sinistriVariabile esplicativa:caratteristiche individuali.

Dobbiamo studiare come la variabile risposta è influenzata da quella/e esplicativa/e.

Passaggi Fondamentali

1. Specificazione del modello:

   Il modello viene specificato sulla base di variabili d'interesse, relazione tra variabili risposta e studio metodologico di F_t.

2. Stima del modello:

   I parametri del modello vengono stimati sulla base dei dati osservati.

3. Verifica e diagnosi di modello:

   • Bontà del modello
   • Significatività coefficienti
   • Ipotesi e realistiche

4. Utilizzo del modello:

   Per fare stima e previsioni delle quantità d'interesse.

Tipi di Modelli

• Semplice (1 var. risposta, 1 var. esplicativa)
• Multipla (1 var. risposta, più var. esplicative)
• Multivariata (più var. risposta, più var. esplicative)
• Lineare: la risposta è una combinazione lineare di esplicative e parametri
• Non-lineare: modelli per cui non esiste una trasformazione che li renda lineari

Modello di regressione lineare semplice

Y_i = B₀ + B₁X_i + Σ_i

X = altezza madre

Y = altezza figlia

Ogni (X_i, Y_i) è un punto nel piano

Coefficiente di correlazione

S_xy / S_xS_y

Coefficiente diregressioneB₁ = Σ_iu_iY_i

Assunzioni sulla distribuzione Σ

1. ε(Σ_i) = 0
2. Cov(Σ_i, Σ_j) = 0

Altre assunzioni sulla variabile esplicativa

1. Consideriamo Xi fissa, non aleatoria
2. Per le unità statistiche del campione considerato

Verifica del modello

Test d'ipotesi su β₁ e β₀ (significatività dei coeff di regressione)

Per β₁:

• H₀: β₁ = 0
• H₁: β₁ ≠ 0

Statistica test:

b̂₁ = b₁ H₀ = 0

^s ⁄_√wx √w_x

Se(b̂₁) ∼ t_n−2

Zona accettazione: {t: t _{wn−2; α⁄2} < t < t_{wn−2; 1−α⁄2}}

P-value 2×(1-p(t|t_{oss, m−2}|))

Rifiuto H₀ se p-value30) posso approssimare t con z

Per β₀:

• H₀: β₀ = 0
• H₁: β₀ ≠ 0

Statistica test:

b̂₀ = b₀ H₀ = 0

^γ² ⁄_√x x̄^x̄ √x̄ x̄

Se(b̂₀) ∼ t_m−2

Zona di accettazione e p-value: uguale che per β₁ P-value: 2×(1-p(t|t_{oss, m−2}|))

Intervalli di confidenza per β:

β₀: b̂₀ ± ε _{wn−2, 1−α⁄2} x̄^s ⁄_√x

β₁: b̂₁ ± ε _{wn−2, 1−α⁄2} x̄^s ⁄_√x

Verifica bontà modello: Test d'ipotesi su R²

H₀: R² = 0

• H₁: R ≠ 0

Oss: R² = 0 ⟷ r² = 0 ⟷ b̂₁ = 0

Statistica test:

-sqreg⁄q

sqres⁄(n−2) ∼ F_{n, m−2}

Se F_oss > F_{1−α, m−q−1} → Rifiuto H₀ Se F_oss < F_{1−α, m−q−1} → Accetto H₀

P-value: 1×(1-p(t|t_{oss, m−2}|)) p-value < α → Rifiuto H₀ p-value > α → Accetto H₀

NB: Se rifiuto H₀ → non posso rifiutare il modello

Assunzioni Modello in Forma Matriciale

• Media errori nulla: E[ε] = 0
• Var(_ε) =
• Assenza di multicollinearità Y = Xβ + ε

X ha rango pieno, ovvero rg(X) = k+1

Stima del Modello: Stima Coeff B

B_^ che minimizzi S(B) = Σε_i²

B_^ = (X'X)^-1 X'Y

Calcolabile solo se X ha rango pieno & assenza multicollinearità

Valori Fittati (Previsti)

Per ogni i posso calcolare _i^{^}

cioè _i^{^} = H Y

Inoltre ε = (I - H) Y

Stima di σ²

Non corretto

Invece S² =

Si Individuino gli Elementi di (X'X) Calcolabili

DR = 482.65

S² =

(X'X)^-1 =