Appunti completi di Misure Elettroniche

䄀倀倀唀一吀䤀䌀伀䴀倀䰀䔀吀䤀䌀伀刀匀伀䴀䤀匀唀刀䔀䔀䰀䔀吀吀刀伀一䤀䌀䠀䔀㈀ ㄀㠀⼀㈀ ㄀㤀倀爀漀昀⸀䐀愀瀀漀渀琀攀 Misure elettroniche – Daponte – 2018/2019

Cosa significa misurare una grandezza?

E’ il confronto quantitativo tra la misura di questa grandezza con un’altra grandezza di riferimento, omogenea, e che viene considerata pertanto “Unità di misura” (grandezza di riferimento).

Il risultato di una misurazione è chiamato misurato.

Tipi di misurazione

• Metodo di misurazione diretto: confronto diretto con l’unità di misura (una grandezza di riferimento). La misura diretta di un attributo: per ottenere la misura non occorre alcun altro attributo se non quello misurato.
• Metodo di misurazione indiretto: quando si applicano leggi fisiche che legano la grandezza incognita alla misura (es. Area = Base x Altezza). Misura indiretta di un attributo: per ottenere la misura si coinvolgono altre misure tramite formule matematiche.

Il valore vero di un parametro (o attributo) è inconoscibile! Per cui andando ad effettuare misurazioni non ho alcuna possibilità di azzeccare il vero valore del parametro (in quanto è ideale).

Questo implica che per ogni misurazione esiste sempre un errore associato ad essa!

Errore = valore misurato – valore vero è qualcosa di sbagliato perché il valore vero è un concetto ideale che quindi mi porta ad invalidare questa formula (solo teorica).

Valore vero (di tipo convenzionale) è un valore convenzionale che viene pensato come valore vero (anche se in realtà non lo è), che viene fuori da misurazioni mediante uno strumento di grande accuratezza.

Cause di errore

Un errore può dipendere da varie cause:

• Sbagli dell’operatore.
• Imprecisione dello strumento di misurazione.
• Metodo di misurazione adoperato.
• Modello scelto irregolare.
• Grandezze influenzanti clima ecc…

Un classico esempio di errore derivante dal metodo di misurazione adoperato è l’errore di parallasse: ad esempio il multimetro analogico ha una lancetta che si sposta su un arco graduato. La posizione della lancetta può essere interpretata in base alla posizione dell’occhio dell’osservatore in modi differenti.

Tutte le cause di errori sono raggruppate in 2 possibili categorie:

• Errori di tipo casuale: tipicamente sono dovuti a varie cause che agiscono insieme presentandosi tra una misurazione ed un’altra.
• Errori di tipo sistematico: sono errori dovuti ad effetti costanti durante tutte le misurazioni.

La deviazione (o scostamento) delle misure (risultato avuto da varie misurazioni) rispetto al valor vero avviene per colpa di errori di tipo sistematico. La deviazione è valutata in termini di accuratezza di misura: più le misure si avvicinano al valore vero, maggiore sarà l’accuratezza.

La dispersione (o “sparpagliamento”) delle misure (generale quindi e non in funzione del valore vero) è dovuta ad errori di tipo causale. Tale dispersione è valutata in termini di precisione di misura. Avendo una serie di misure, più esse sono vicine l’una con l’altra, più è maggiore la precisione di misura.

Ripetibilità indica la strettezza d’accordo delle misure venute fuori da misurazioni dello stesso misurando, tutte alle medesime condizioni di misura.

Riproducibilità indica la strettezza d’accordo delle misure venute fuori da misurazioni dello stesso misurando, facendo variare le condizioni di misura.

Incertezza

L’incertezza esprime la qualità della misura (stimata sulla base dell’errore).

E’ l’intervallo di valori possibili dentro cui il misurando può ricadere con una certa probabilità.

La stima dell’incertezza di uno strumento viene effettuata tramite una procedura facente parte di uno standard di tipo internazionale ISO / GUM.

Definizione di incertezza di ISO/GUM: è un parametro associato al risultato di una misurazione, che indica la dispersione dei valori (in riferimento al misurando).

Anche in Italia abbiamo uno standard definito UNI CEI ENV 13005.

Notazione per l’incertezza

Lunghezza = (200 ± 1) cm, dove 200 è la misura ottenuta e 1 è il valore dell’incertezza (in centimetri).

Abbiamo 2 tipi di incertezza:

• Incertezza assoluta: rappresenta semplicemente l’incertezza. Si usa “assoluta” per distinguerla dall’altro tipo; si indica con uc(y).
• Incertezza relativa: è il rapporto tra incertezza assoluta e valore misurato y: uc(y)/y.

Come si valuta l’incertezza? Si misura sulla base di norme internazionali facenti parte di uno standard chiamato GUM.

In Italia tali norme da rispettare fanno parte di uno standard chiamato UNI CEI ENV 13005.

Metodo di GUM

Fa distinzione tra incertezza di tipo A e incertezza di tipo B che rispecchiano come viene trattata l’incertezza in termini operativi (statistiche o non statistiche).

Valutazione delle componenti di un’incertezza: un’incertezza è fatta da più parti distinte (componenti).

Classificazione

Incertezza di tipo A: le parti distinte dell’incertezza hanno un valore che viene valutato mediante metodi statistici.

Incertezza di tipo B: le parti distinte dell’incertezza hanno un valore che viene valutato mediante metodi non statistici, ma sulla base di informazioni disponibili a priori.

Entrambe le classificazioni si basano su distribuzioni di probabilità.

Statistica

E’ lo studio scientifico dei dati.

Si divide in 2 categorie:

• Statistica descrittiva: dati che vengono descritti.
• Statistica inferenziale: dati che vengono usati per fare previsioni.

Alcune definizioni

Popolazione: è un insieme degli elementi che si prendono in considerazione.

Campione: è solo una parte della popolazione che viene presa in considerazione.

Parametro: misura di sintesi che descrive una caratteristica della popolazione intera.

Statistica: misura di sintesi che descrive una caratteristica di un campione.

Media, mediana e moda

Media (o media aritmetica) è il parametro più usato per descrivere un campione.

La media di un campione (y segnato) si ottiene svolgendo il seguente calcolo:

Dove y sono tutti i valori ottenuti dalle misurazioni. Si sommano tutti i valori ottenuti per n (numero delle misurazioni fatte).

La media della popolazione è data dalla seguente formula:

Una caratteristica della media, è quello di dipendere parecchio dai valori estremi. (Se un singolo risultato è molto più grande rispetto a tutti gli altri nella somma, la media cambia!)

Mediana: è un valore che divide un campione in due parti uguali.

Si usa la mediana quando si vuole eliminare l’effetto della dispersione dei valori della media.

Moda: il valore più frequente nel campione.

Media, mediana e moda sono dei parametri di posizione.

Varianza e deviazione standard

Varianza:

Varianza di un campione.

Varianza della popolazione:

L’unità di misura della varianza è l’unità di misura della variabile elevata al quadrato.

Deviazione standard è semplicemente la radice della varianza.

Approccio GUM verso la valutazione dell’incertezza di categoria “A” (o di tipo “A”)

La valutazione di tipo A prevede che le grandezze Xi che influenzano una misura Y, siano stimate applicando un metodo statistico ad osservazioni (prove) ripetute con stesse condizioni sperimentali.

Avendo a disposizione N osservazioni fatte (tutte statisticamente indipendenti) della grandezza Xi, la GUM indica come migliore stima della media di Xi il valore:

Chiamato media aritmetica sperimentale.

Le singole osservazioni differiscono l’una dall’altra in modo casuale. La GUM per questo indica come misura della dispersione dei valori attorno alla media (o valore atteso) quella che è la deviazione standard così calcolabile:

Lo “scarto tipo sperimentale del valore medio”, chiamato anche propriamente come incertezza di tipo A, è calcolabile come il rapporto tra deviazione standard e la radice quadrata delle osservazioni (che ovviamente coincidono con il numero di elementi contenuti nel campione):

Limiti della valutazione dell’incertezza di tipo A

• Richiede di prendere un numero elevato di dati sperimentali.
• Il campione preso in considerazione deve ben approssimare le caratteristiche dell’intera popolazione.

Approccio GUM verso la valutazione dell’incertezza di categoria “B” (o di tipo “B”)

L’incertezza di tipo B viene valutata scientificamente sulla base di informazioni disponibili, in riferimento ad una grandezza Xi che non viene determinata da osservazioni ripetute.

Tali informazioni possono essere dati di misurazioni precedenti, esperienze, specifiche del costruttore ecc.. per cui non vi è alcun approccio statistico.

I dati sono già presenti a priori.

Per la valutazione di tipo B si usa associare ai valori (misure) delle distribuzioni di probabilità.

Distribuzioni più usate per valutare l’incertezza di tipo “B”

Distribuzione di probabilità rettangolare

Si usa quando si capisce che tutti i valori di misura sono equiprobabili.

Distribuzione di probabilità rettangolare (continua).

Si usano in questo caso le formule di varianza e deviazione standard per le variabili aleatorie di tipo continuo.

Andando ad effettuare le dovute sostituzioni (osservando il grafico della distribuzione) otteniamo:

Andando a calcolare la deviazione standard come radice della varianza ottengo:

La deviazione standard corrisponde proprio al valore dell’incertezza.

Distribuzione di probabilità normale (o gaussiana)

Si usa quando si capisce che la probabilità che il valore misurato sia vicino al valore medio è maggiore della probabilità che il valore misurato sia lontano dal valore medio.

Distribuzione di probabilità normale (continua).

Usando una probabilità del 95,7 % che il valore misurato si trovi tra –a e a, il mio a vale proprio 2 volte la deviazione standard:

Distribuzione di probabilità triangolare

Si usa se il valore misurato è più probabile che sia vicino al valore medio che vicino agli estremi di intervallo xm-a e xm+a, e se è ipotizzabile una variazione lineare tra il valore medio e gli estremi di intervallo.

Usando la formula della varianza per le distribuzioni continue e effettuando le dovute sostituzioni (guardando il grafico) otteniamo:

Il valore della deviazione standard è proprio l’incertezza:

Distribuzione di probabilità a “U”

Si usa quando c’è maggiore probabilità che il valore misurato sia vicino agli estremi che non vicino al valore medio.

Esempio di incertezza di tipo “B”: multimetro HP 34401A

Il manuale d’uso del multimetro in figura riporta delle tabelle particolari chiamate accuracy specifications che riporta l’incertezza che lo strumento ha dopo vari tipi di misurazione fatti.

Nella tabella è possibile trovare il valore dell’incertezza sulla base di alcune condizioni iniziali (come temperatura, giorni dalla taratura ecc…).

Trovato il valore dell’incertezza, (ad esempio u = 0,11 + 0,05 e 5 Vrms tensione del multimetro) possiamo valutare:

• Incertezza sulla lettura: Wr = 0,11 x (1/100) x 5Vrms = 0,0055 Volts.
• Incertezza sul fondo scala: Ws = 0,05 x (1/100) x 10 = 0,0050 V (10 Volts sono arbitrari e presi come “valore di fondo scala”).
• L’incertezza complessiva di tipo B su una lettura di 5Vrms sarà: x = 5 +/- (0,0055 + 0,0050) Volts.

Se la temperatura cui viene fatta la prova è diversa da quella della normale fascia in tabella, si usa una correzione:

Da cui si calcolano i due coefficienti correttivi:

Dove 3 è la correzione calcolata (un esempio).

Da qui calcoliamo l’incertezza complessiva di tipo B ad una temperatura diversa dalla normale come:

Modello della misurazione e incertezza composta

Tipicamente il misurando Y (ciò che viene misurato) non viene misurato in maniera diretta ma è ricavato da altre grandezze misurate X. C’è quindi una funzione f che lega il misurando a tali grandezze:

Y = f(X1,X2,….,Xn)

Le grandezze Xi comprendono anche fattori di correzione che tengono conto di alcune piccole variazioni tipo uso di strumenti differenti, osservatori differenti ecc….

Per ottenere una stima y del misurando Y basterà esprimere la y in funzione delle stime x di X.

y = f(x1,x2,….xn)

Come si valuta l’incertezza composta della stima y di Y? Nella GUM l’incertezza composta di y (della stima di Y) viene stimata ipotizzando che il modello f sia analitico e derivabile con derivate note e mai tutte nulle e che le incertezze relative a x siano sufficientemente piccole. Si utilizza lo sviluppo in serie di Taylor arrestato al primo ordine (i termini lineari) attorno al punto xi. Si considerano termini maggiori di quelli del primo ordine se la non linearità di f è significativa rispetto all’incertezza relativa delle quantità Xi. In questo caso le cose si complicano parecchio.

Legge di propagazione delle incertezze

Prendiamo in considerazione il misurando Y che è in funzione f di altre n grandezze X, di cui abbiamo a disposizione medie e incertezze assolute; la stima y della grandezza Y è pari alla funzione delle medie delle grandezze Xi più il valore di incertezza composta si calcola a partire dalla funzione f stessa.

Calcolando la serie di Taylor arrestata al primo ordine di f, con punto iniziale proprio la media dei valori Xi che chiameremo “mi” corrispettivamente, otteniamo gli scostamenti di Y attorno al suo valore medio mi:

Spiegazione della formula

• Tenuto conto che (come ovvio) f è una funzione di n variabili, il punto iniziale x0 della formula sovrastante avrà n coordinate i cui valori saranno proprio pari a quelli delle medie x0(m1,m2,….mn).
• La derivata prima della formula è data dalla somma delle derivate parziali rispetto alle singole componenti.

Da qui lo sviluppo in serie di Taylor sarà:

Dato che f(m1,m2,….mn) rappresenta il valore medio di Y, possiamo scrivere la precedente semplicemente come:

Portando la media di y a primo membro, elevando tutto al quadrato e applicando il valore atteso si ottiene la varianza associata alla stima y della grandezza Y:

Da cui è possibile ricavare l’incertezza quadratica sulla grandezza Y:

Facendo la radice quadrata dell’incertezza quadratica si ottiene l’incertezza sulla stima y della grandezza Y. La legge in verde è detta [legge di propagazione dell’incertezza per le grandezze correlate].

Le derivate parziali della formula sono dette coefficienti di sensibilità.

Se le grandezze xi e xj nella formula sono indipendenti (quindi incorrelate), il termine r(xi;xj) = 0 (quindi tutto il secondo termine al secondo membro diventa nullo).

Incertezza estesa

Calcolata l’incertezza composta dalla legge di propagazione dell’incertezza per le variabili correlate (vista prima), si calcola per regola un intervallo che contiene i valori che possono essere attribuiti al misurando Y, sulla base di un livello di fiducia indicato con la lettera P. Tale intervallo è detto intervallo fiduciario.

L’intervallo fiduciario permette di definire un’incertezza di tipo esteso U(y) per la quale vale la seguente relazione:

U(y) = k uc(y)

Dove k è un fattore di copertura scelto tra i valori 2 e 3.

Da qui possiamo rappresentare il risultato della misura come:

Y = y+/- U

Regressione

Tecnica usata per analizzare una serie di dati che consistono in una variabile dipendente e una o più variabili indipendenti. Si stima l’eventuale relazione funzionale che c’è tra di esse (dipendente indipendente).

Mettendo a confronto delle grandezze su un grafico è possibile effettuare analisi più comodamente ed in maniera approfondita. Esiste il “diagramma dei risultati sperimentali”.

Un diagramma dei risultati sperimentali si ottiene dai risultati di misura e mostra spesso una dipendenza del tipo y = f(x).

Ad esempio può essere utilizzato per rappresentare l’andamento della distribuzione degli errori per le misurazioni effettuate…

Quando usiamo la regressione?

Quando vogliamo ricavare dai dati campionari un modello statistico che “predica” i valori di Y dipendente a partire da quelli della variabile indipendente X.

La relazione tra y e x può essere anche non lineare.

Come si applica la regressione?

• Si individua la legge che lega Y a X (che sia essa lineare o non lineare): la legge è costituita da parametri da ricercare; si usa il metodo dei minimi quadrati per trovare tale legge. Quando la legge non è lineare si ci riconduce ad un polinomio descrittivo della legge.
• Si cacciano fuori anche i dati sperimentali che non abbiamo attraverso l’analisi regressiva. Molto utile per predire l’andamento futuro.

L’uso del metodo dei minimi quadrati per il calcolo della legge che lega Y a X ci porta a fare previsioni che non sono esenti da errori.

Le differenze tra valori effettivamente osservati e valori stimati (quelli descritti dalla regressione) che si indicano con sono chiamate errori o residui.

Per poter eseguire un’analisi regressiva occorre che:

• Gli errori abbiano una distribuzione normale.
• La variabilità degli errori è costante rispetto ai valori Xi: omoschedasticità.
• Error