Appunti automatica presi a lezione

1 Sistemi dinamici tempo continuo

Esempio 2

∑_Cv_C(t) = i(t)

v_R(t) = Ri(t)

Posto u = v_g; x = v_C; y = v_R; si ha:

• ∑ =
  • ẋ(t) = ¹/_RC(u(t) - x(t))
  • y(t) = u(t) - x(t)

1 Sistemi dinamici tempo continuo

Esempio 2

• ∑ =
  • ẋ(t) = ¹/_RC(u(t) - x(t))
  • y(t) = u(t) - x(t)

Equazione (differenziale) di stato

• ∑ =
  • ẋ(t) = f(x(t), u(t), t)
  • y(t) = g(x(t), u(t), t)

Equazione (algebrica) di uscita

1 Sistemi dinamici tempo continuo

x(t) = f(x(t), u(t), t) y(t) = g(x(t), u(t), t)

Fissato un istante iniziale t₀ ∈ R e noti x(t₀) e u(t) per t ≥ t₀, integrando l'equazione differenziale di stato si calcola

x(t) per t ≥ t₀ MOVIMENTO NELLO STATO x(t) = φ(t, t₀, x(t₀), u(t)|_[t0,t])

Sostituendo x(t) e u(t) nell'equazione algebrica dell'uscita si calcola

y(t) per t ≥ t₀ MOVIMENTO NELL'USCITA y(t) = η(t, x(t), u(t))

1 Sistemi dinamici tempo continuo

ESEMPIO 2

t₀ = 0, u(t) = v_G(t) = Usinωt, t ≥ 0 x(0) = v_C(0) = x₀

Σ = { x'(t) = ¹/_RC(u(t) - x(t)) y(t) = u(t) - x(t) }

x(t) = e^-t/RCx₀ + ^UωRC/_{1 + ω²R²C²}e^-t/RC + ^U/_{√1 + ω²R²C²}sin(ωt - γ)

y(t) = e^-t/RCx₀ + ^UωRC/_{1 + ω²R²C²}e^-t/RC + ^U/_{√1 + ω²R²C²}cos(ωt - γ)

γ = arctan(ωRC)

I Sistemi dinamici tempo continuo

EQUILIBRIO Per sistemi lineari, invarianti nel tempo, nel caso di ingressi costanti u(t) = ū, ha interesse considerare eventuali movimenti dello stato e dell'uscita che risultino anch'essi costanti nel tempo. Tali movimenti vengono detti stati di equilibrio e uscite di equilibrio.

DEFINIZIONE Dato il sistema lineare, invarianti nel tempo Σ =

• x(t) = f(x(t), u(t))
• y(t) = g(x(t), u(t))

In corrispondenza di ogni stato di equilibrio x_e si ha un'uscita di equilibrio y_e data da y_e = g(x_e, ū).

x(t) = φ(t, x_e, u_i(t,0)) = x_e

y(t) = η(x_e, ū) = y_e

I Sistemi dinamici tempo continuo

ESEMPIO 2:

Per u(t) = ū , si ha lo stato di equilibrio x_e = ū e l'uscita di equilibrio y_e = 0.

Σ =

• x(t) = 1/RC (u(t) - x(t))
• y(t) = u(t) - x(t)

ESEMPIO 4:

Per u₁(t) = ū₁, u₂(t) = ū₂ si ha lo stato di equilibrio x_e =

• R/L K/L
• K/L R/L

• 0 1/L
• 0 0

I Sistemi dinamici tempo continuo

STABILITA’ DEL MOVIMENTO

DEFINIZIONE Un movimento x(t) per un sistema Σ si dice instabile se non è stabile. ∃ ε > 0 : ∃ δ > 0

I Sistemi dinamici tempo continuo

STABILITA’ ASINTOTICA DEL MOVIMENTO

DEFINIZIONE Un movimento nello stato x(t) = φ(t, x₀, u₀) di un sistema Σ (tempo invariante) si dice asintoticamente stabile se è stabile e se lim_t→∞ ||x_t(t) − x(t)|| = 0

I Sistemi dinamici tempo discreto

STABILITÀ DELL'EQUILIBRIO

DEFINIZIONE

Uno stato di equilibrio _xe, relativamente all’ingresso costante u(t) = _ū, per un sistema Σ (tempo invariante) (x_e = φ(t, x_e, _ū) si dice stabile se, per ogni ε > 0, esiste δ > 0 tale che ‖x(t) - x_e‖ ≤ ε, per t ≥ 0, per ogni movimento x(t) (x(t) = φ(t, x(0), _ū), movimento perturbato) con ‖x(0) - x_e‖ ≤ δ.

DEFINIZIONE

Uno stato di equilibrio x_e per un sistema Σ si dice instabile se non è stabile.

DEFINIZIONE

Uno stato di equilibrio _xe, relativamente all’ingresso costante u(t) = _ū, per un sistema Σ (tempo invariante) (x_e = φ(t, x_e, _ū)) si dice asintoticamente stabile se è stabile e se lim_t→∞‖x(t) - x_e‖ = 0 per ogni movimento perturbato x(t) (x(t) = φ(t, x(0), _ū)).

I Sistemi dinamici tempo discreto

STABILITÀ DEL MOVIMENTO

DEFINIZIONE

Un movimento nello stato x(t) = φ(t, x₀, u₀) di un sistema Σ (tempo invariante) si dice stabile se, per ogni ε > 0, esiste δ > 0 tale che ‖x_p(t) - x(t)‖ ≤ ε per t ≥ 0 per ogni movimento x_p(t) con x_p(t) = φ(t, x_p(0), u₀) (movimento perturbato) per il quale sia ‖x_p(0) - x₀‖ ≤ δ.

DEFINIZIONE

Un movimento x(t) per un sistema Σ si dice instabile se non è stabile.

DEFINIZIONE

Un movimento nello stato x(t) = φ(t, x₀, u₀) di un sistema Σ (tempo invariante) si dice asintoticamente stabile se è stabile e se lim_t→∞‖x_p(t) - x(t)‖ = 0.

2 Sistemi lineari invarianti tempo continuo

e^at = _∑n=0^+∞ (1/n!) (at)ⁿ = 1 + at + (1/2!) (at)² + (1/3!) (at)³ + …

e^At = _∑n=0^+∞ (1/n!) Aⁿtⁿ = I + At + (1/2!) A²t² + (1/3!) A³t³ + …

2 Sistemi lineari invarianti tempo continuo

PROPOSIZIONE 2.3 La funzione di matrice e^At è continua e derivabile su tutto ℝ e si ha d(e^At)/dt = A e^At = e^At A.

ESERCIZIO 2.3 Si dimostri la Proposizione 2.2 utilizzando la definizione di e^At e le proprietà delle serie di funzioni assolutamente convergenti.

Possiamo adesso affermare che la soluzione del sistema di equazioni differenziali ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), dove A ∈ ℝ^nxn, B ∈ ℝ^nxm, con u(t) = [u₁(t) … u_m(t)]^T continuo su {0,+∞) e condizione iniziale x(0) = x₀ ∈ ℝⁿ è data da

x(t) = e^Atx₀ + _∫0^te^A(t-τ)B u(τ) dτ

ESERCIZIO 2.4 Si dimostri quanto affermato sopra.

ESERCIZIO

Σ = ∫₀^t [ x₁(t) = ½x₁(t) + ½x₂(t) + b₁u x₂(t) = ½x₁(t) + ½x₂(t) + b₂u ] y = c₁x₁ + c₂x₂

A = [ -½ ½ ] [ ⅓ ½ ]

Vado a calcolare gli autovalori di A:

det(λI - A) = det([ λ+½ -½ ] [-½ λ-½ ]) = λ² - ¼ = λ² - 1/4 = (λ+½)(λ-½)

λ₁ = -1 λ₂ = 1

Vado a cercare gli autovettori:

(-4I - A) = [ -1 -½ ] [-½ -1 ] ➔ [ -½ ½ ]

A QUESTO PUNTO CERCO IL NUCLEO E UNA SUA BASE:

[ -½ ½ ][ μ₁ ] [ μ₂ ] = 0

μ₁ = 1 μ₂ = -1

λ₁ = -1 ➔ M₁ [ 1 ] [-1 ]

(I·I - A) = [ 1+½ ½ ] [ ½ ½+½ ] = [ ⅔ ½ ] [ ½ ¾ ]

[ ½ ½ ][ μ₁ ] [ μ₂ ] = 0

3/2 μ₂ - ½ μ₂ = 0

λ₂ = 1 ➔ M₂ [ 3 ]

Posso concludere che:

x(t) = e^λ₁tμ₁V₁Tx(0) + e^λ₂tμ₂V₂Tx(0) = e^{[-t ][V₁T (x(0))]} + e^{[3 ][V₂T x(0)]}

B²

TRAJETTORIA NELLO STATO LA COMPONENTE DELLE X DIVENTA SEMPRE PIÙ PICCOLA E QUELLA DELLE Y SEMPRE PIÙ GRANDE e^-∞ ➔ 0 e^∞ ➔ ∞ C₂ C₁