1 Sistemi dinamici tempo continuo
ESEMPIO 2
Σ = {C ic(t) = i(t)VR (t) = Ri(t)
Posto u = vG ; x = vC ; y = vR ; si ha:
Σ = {ẋ(t) = 1/RC (u(t)− x(t))y(t) = u(t)− x(t)
1 Sistemi dinamici tempo continuo
ESEMPIO 2
Σ = {C ic(t) = i(t)VR (t) = Ri(t)
Posto u = vG ; x = vC ; y = vR ; si ha:
Σ = {ẋ(t) = 1/RC (u(t)− x(t))y(t) = u(t)− x(t)
Equazione (differenziale) di stato
Σ = {ẋ(t) = f(x(t), u(t), t)y(t) = g(x(t), u(t), t)
Equazione (algebrica) di uscita
I Sistemi dinamici tempo continuo
ESEMPIO 2
Σ ={ C\dot{v_{c}}(t) = i(t)V\dot{R} (t) = Ri(t)
Posto u = v\dot{G} ; x = v\dot{C} ; y = v\dot{R} ; si ha:
Σ = { \dot{x}(t) = \frac{1}{RC}(u(t)-x(t))y(t) = u(t) - x(t)
I Sistemi dinamici tempo continuo
ESEMPIO 2
Σ ={ C\dot{v_{c}}(t) = i(t)V\dot{R} (t) = Ri(t)
Posto u = v\dot{G} ; x = v\dot{C} ; y = v\dot{R} ; si ha:
Σ = { \dot{x}(t) = \frac{1}{RC}(u(t)-x(t))y(t) = u(t) - x(t)
Equazione (differenziale) di stato
{ \dot{x}(t) = f(x(t), u(t), t)y(t) = g(x(t), u(t), t)
Equazione (algebrica) di uscita
1 Sistemi dinamici tempo continuo
Σ =
- ẋ(t) = f(x(t), u(t), t)
- y(t) = g(x(t), u(t), t)
Fissato un istante iniziale t0 ∈ ℝ e noti x(t0) e u(t) per t ≥ t0, integrando l'equazione differenziale di stato si calcola
x(t) per t ≥ t0 MOVIMENTO NELLO STATO
x(t) = φ(t, t0, x(t0), u(t)[t0, t])
Sostituendo x(t) e u(t) nell’equazione algebrica dell’uscita si calcola
y(t) per t ≥ t0 MOVIMENTO NELL'USCITA
y(t) = η(t, x(t), u(t))
1 Sistemi dinamici tempo continuo
ESEMPIO 2
t0 = 0, u(t) = vo(t) = Usinωt, t ≥ 0
x(0) = vC(0) = x0
Σ =
- ẋ(t) = 1/RC(u(t) - x(t))
- y(t) = u(t) - x(t)
x(t) = e-t/RCx0 + UωRC/1 + ω2R2C2e-t/RC + U/(1 + ω2R2C2)1/2 sin(ωt - γ)
y(t) = e-t/RCx0 + UωRC/1 + ω2R2C2e-t/RC + U/(1 + ω2R2C2)1/2 cos(ωt - γ)
γ = arctan(ωRC)
I Sistemi dinamici tempo continuo
Sistemi invarianti nel tempo:
- x(t) = f(x(t), u(t))
- y(t) = g(x(t), u(t))
Movimento nello stato:
- x(t) = φ(t – t0, x(t0), u(t)[t0,t])
si può scegliere t0 = 0, per cui:
- x(t) = φ(t, x(0), u(t)[0,t])
Movimento nell’uscita:
- y(t) = η(x(t), u(t))
I Sistemi dinamici tempo continuo
ESEMPIO 2:
Sistema SISO lineare, invariante nel tempo, proprio
Posto u = vG; x = vC; y = vR; si ha:
- ∑ ≡m ẋ(t) = 1/RC (u(t) – x(t))
- y(t) = u(t) – x(t)
ESEMPIO 3:
Sistema SISO non lineare, invariante nel tempo, proprio
Posto u = FM; x1 = s; x2 = ṡ; y = ET; per t ≥ t0 si ha:
- ẋ1(t) = x2(t)
- ∑ ≡m ẋ2(t) = 1/M (u(t) – k0e-ω02x1(t)))
- y(t) = 1/2 k0e-ω02x12(t) + Mx22(t)
1 Sistemi dinamici tempo co
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