Analisi matematica 2 - le equazioni differenziali di Eulero

Equaz. diff. lineari di Eulero

Siano a₁,..., a_n ∈ ℝ e b(x):(a,b) → ℝ continua in (a,b),

chiamiamo equ. diff. lineare di Eulero l'equaz.

(27) y⁽ⁿ⁾ + a₁/x y^(n-1) + a₂/x² y^(n-2) + ... + a_n/xⁿ y = b(x)

o equivalentemente (moltiplic. per xⁿ)

(27') xⁿ y⁽ⁿ⁾ + a₁ x^n-1 y^(n-1) + ... + a_n y = xⁿ b(x)

Relativamente all'equaz. di Eulero cercheremo soluzioni definite in (a,b) con(i, β) ⊂ (a,b) ∩ ]0, +∞ [ oppure (i, β) ⊂ (a, b) ∩ ]-∞,0[.

Sia y(x) nuov. soluz. della (27) (o della (27')) be supp. che (i,β) ⊂ (a,b) ∩ ]0, +∞ [.

Riesamino considerando la funz. F(t) = y(e^t): (log α, log β) → ℝ;

Quindi si verifica che F(t) è soluzione di un'equaz. diff. lineare

di ordine n a coeff. costanti e viceversa.

Verifichiamo per non n=2.

SiaF'(t) = y'(e^t) e^t

F''(t) = y''(e^t) e^t + y'(e^t) e^t = y''(e^t) e e^2t = y''(e^t) (e^t)² + F'(t)

→ y''(e^t) (e^t)² = F''(t) - F'(t);

Per Hp y⁽ⁿ⁾(x) ≡ soluz. della (27'), quind.

x² y''(x) + a₁ x y'(x) + a₂ y(x) = x² b(x)   ∀ x ∈ (i, β)

Se t ∈ (log α, log β) → e^t ∈ (i, β) → (e^t)² y''(e^t) + a₁ e^t y'(e^t) + a₂y(e^t) = (e^t)² b(e^t) (28)

Equaz. Diff. Lineari di Eulero

Siano \( a_1, \ldots , a_n \in \mathbb{R} \) e \( b(x) : (a,b) \rightarrow \mathbb{R} \) continua in \((a,b)\),

dicesasi equ. diff. lineare di Eulero l'equaz.

(27) \( y^{(n)} + \frac{a_1}{x} y^{(n-1)} + \frac{a_2}{x^2} y^{(n-2)} + \ldots + \frac{a_n}{x^n} y = b(x) \)

o equivalentemente (moltiplic. per \( x^n \))

(27’) \( x^n y^{(n)} + a_1 x^{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_n y = x^n b(x) \)

Relativamente all'equaz. di Eulero cercheremo soluzioni definite in \((\alpha, \beta)\) con

\((\chi , \beta) \subseteq (a,b) \cap ] 0, + \infty [ \) oppure \((\alpha, \beta) \subseteq (a,b) \cap ] - \infty , 0 [ \).

Sia \( y(x) \) un soluz. della (27) (o) della (27’) Io supp. che \((\alpha , \beta) \subseteq (a,b) \cap ] 0, + \infty [\).

Rivisca consideriamo la funz. \( F(t) = y(x^t) : (\log \alpha , \log \beta) \rightarrow \mathbb{R} \) ;

Allora si verifica che \( F(t) \) è Eulero. di un'equaz. diff. lineare

di ordine \( n \) a coeff. costanti e viceversa.

Verifichiamo per non n = 2.

Sia

\( F'(t) = y'(x^t) \cdot x^t \cdot \ln x \)

\( F''(t) = y''(x^t) \cdot x^t \cdot (\ln x)^2 + y'(x^t) \cdot x^t \cdot \ln x = y''(x^t) (x^t)^2 + y'(x^t) \cdot x^t = y''(x^t)(x^t)^2 + F'(t) \ln x \)

\(\Rightarrow y''(x^t) (x^t)^2 = F''(t) - F'(t) ; \)

Per Hp y(x) = soluz. della (27’), quindi

\( x^2 y''(x) + a_1 x y'(x) + a_2 y(x) = x^2 b(x) \quad \forall x \in (\alpha , \beta) \)

Se t ∈ (\(\log \alpha , \log \beta\)) \(\Rightarrow e^t \in (\alpha , \beta) \Rightarrow (e^t)^2 y''(e^t) + a_1 \cdot e^t \cdot y'(e^t) + a_2 y(e^t) = (e^t)^2 b(e^t)\) (28)

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Dalle (28), astraendo (1) e (2) si ricava _(8') F''(t) - F'(t) + \alpha_1 F'(t) + \alpha_2 F(t) = e^{2t} b(\mathrel{e}^t) ossia F(t) è soluz. dell'equaz. (28') che è = li-ovre e coeff. statici; Viceversa se F(t) è soluz. della (28') in (\alphaa \beta) allora F(\log x):(\alphaa^2 \beta^3) \rightarrow \mathbb{R} è soluz. della (28).

Nella pratica si pone opure la sottituzione x = e^t e si risovra l'equazione lioveare associata, iova molte tacolate le soluzioni si sostituisce t = \log x (ricoveto de x = e^t).

Iccoì si cercoreano le soluzioni y(x) = (\alphaa \beta) \rightarrow \mathbb{R} con (\alphaa \beta) \subset \Rightarrow ,0[ allora si pone x = e^{-t} (da qui si risolve poi t = \log -x).

esempio:{ x^2 y'' + 4 x y' + 3y \ge 0 y(1) = 2 y'(1)=1 }Poiche il problema di Cauchy è relativo al punto (1^+,2,1) (quindi x_0 = 1 \in ]0,+\infty[) cerchiamo soluz. definto in ]0,+\infty[ (se il poro stato forse, ad esempio, (-1,2,1) allora avereamo cercato solun. definte in ]- \infty,0[).

poniamo x = e^t e sia z(t) = y(e^t) allora z'(t) = y'(e^t) e^t = y'(n) x \Rightarrow x y'(x) = z'(t)

z''(t) = y''(e^t) e^t e^t + y'(e^t) e^t = y''(n) x^2 + y'(n) x = y''(n) x^2 + z'(t) e^t \Rightarrow y''(x) x = z'(t);\end{equation}quindi l'equaz. associata sarà