Analisi 1- limiti notevoli e asintotici

Analisi 1 - Lezione 6

Teorema dei carabinieri

Ipotesi:

f(x), g(x), h(x) definite in:

g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∈ I(x₀)

lim_x→x₀ f(x) = lim_x→x₀ g(x) = L

L ∈ ℝ

Tesi:

lim_x→x₀ f(x) = L

Osservazioni:

lim_x→x₀ h(x) = -∞ ⇒ lim_x→x₀ f(x) = -∞

Dimostrazione:

finito

lim_x→x₀ g(x) = L ↔ ∀ε > 0 ∃ δ > 0: ∀x ∈ (x₀ - δ, x₀ + δ) x ≠ x₀

L - ε < g(x) < L + ε

lim_x→x₀ h(x) = L ↔ ∀ε > 0 ∃ δ > 0: ∀x ∈ (x₀ - δ, x₀ + δ) x ≠ x₀

L - ε < h(x) < L + ε

⇒ L - ε < g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) < L + ε

⇒ L - ε < f(x) < L + ε

Teorema funzione limitata per un'infinitesima

Se f(x) è una funzione limitata in I(x₀)

g(x): lim_x→x₀ g(x) = 0

⇒ lim_x→x₀ f(x)g(x) = 0

Analisi 1 - Lezione 6

Teorema dei Carabinieri

Ipotesi:

f(x), g(x), h(x) definite su:

g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) su M(x₀)

lim_x→x0 g(x) = lim_x→x0 h(x) = L, L ∈ ℝ

Tesi:

lim_x→x0 f(x) = L

Osservazione:

lim_x→x0 h(x) = -∞ ⇒ lim_x→x0 f(x) = -∞

Dimostrazione:

finto

lim_x→x0 g(x)+ε = L ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ (x₀-δ, x₀+δ) x ≠ x₀

L-ε < g(x) < L+ε

lim_x→x0 h(x)-ε = L ⇔ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ (x₀-δ, x₀+δ)

L-ε < h(x) < L+ε

⇒ L-ε < g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) < L+ε

⇒ L-ε < f(x) < L+ε

Teorema f limitata per un'infinitesima

Se f(x) è una funzione limitata su M(x₀)

g(x): lim_x→x0 g(x) = 0

⇒ lim_x→x0 f(x)g(x) = 0

LIMITI NOTEVOLI

1. lim_x→0 ^sinx/_x = 0/0 = 1

2. lim_x→0⁺ (1 + ¹/_x)^x = e

Dimostrazione 1

limx→0+ sinx/x

Area (O^PA) ≤ area del settore (O^PA) ≤ area (O^TA)

Area (O^PA) = ¹/₂ sinx

area del settore = ¹/₂ x

Area (O^TA) = ¹/₂ tgx

¹/₂ sinx ≤ ¹/₂ x ≤ ¹/₂ tgx

1 ≤ ^sinx/_cosz ≤ ¹/_cosx

1 ≤ ^sinx/_x ≤ cosz

limx→0+ 1 = limx→0+ sinx/x = 1

lim_x→0 ^sinx/_x = 1

3) lim_x→0 (1-cosx) / x² = 1/2

lim_x→0 (1-cosx) / x² · lim_x→0 (1-cosx)/(1+cosx) =

lim_x→0 (am_x)² / x² (1-cosx) =

lim_x→0 (1-cosx) / x · 1/(1+cosx) =

lim_x→0 (am_x / x) · 1/(1+cosx) = 1 · 1/2 = 1/2

4) lim_x→0 tgx / x = lim_x→0 am_x / cosx = 1 / x² =

lim_x→0 amx₁ / x = 1 / cosx = 1

5) lim_x→0 am5x / 3x = lim_x→0 am5x / 3x = 1/3 · 5 = 5/3

6) lim_x→0 am(f(x)) =

lim_x→0 f(x) = 0 HA lim_x→0 f(x) = 0

lim_x→0 am(tg(x)) = 0/0 = 1

una roba a caso sui capitali

capitale A

tasso interesse semplice x% = x / 100 = r

1° anno A₁ = A(1+r)

anni A₂ = A(1_r) = A(1r)(1+r) =

A(1+r) = A(1³)

A_n = A(1^r)

dopo 6 mesi tasso 1/2

dopo 6 mesi A_½ = A(1_r / 2)

dopo 1 anno A₁ = A_½ (1_r / 2) A(1_r / 2) (1_r / 2) = A(1_r / 2)²

¹/_n frazione di anno

A_{m, n} = A (1 + ^r/_n)^m

A_∞ = lim A (1 + ^r/_n)^m

A→2A 72 anni / tasso d’interesse

tasso 8%

Dimostrazione ①

lim_x→∞ (1 + ¹/_x)^x = e

lim_x→∞ (1 + ^a/_x)^x = e^a a∈ℝ

lim_x→0⁺ (1 + π²/x)^x = lim_x→-∞ (1 + ^π2/_x)^x = e^-π2

②

lim_x→0 ^{log_a (x+1)}/_x = ¹/_{loge a} a > 0, a ∈ ℝ

③

lim_x→0 ^{ax - 1}/_x = log_e a a > 0 a ≠ 1

in particolare

lim_x→0 ^{log₁₀ (x+1)}/_x = ¹/_{log10 e}

lim_x→0 ^{ax - 1}/_x = -1

ASINTOTICO

f(x) ∼ g(x) asintotico

⇔ _x→x0 ^f(x)/_g(x) =1

1. lim_x→0 ^{sin x}/_x = 1 → sin x ∼ x, x→0

2. lim_x→0 ^{1-cos x}/_½x² = 1 → 1-cos x ∼ ½x², x→0

3. lim_x→0 ^{tg x}/_x = 1 → tg x ∼ x, x→0

4. lim_x→0 ^{log (1+x)}/_x = 1 → log (1+x) ∼ x, x→0

5. lim_x→0 ^ex-1/_x = 1 → e^x-1 ∼ x, x→0

lim_x→x0 f(x) ∼ lim_x→x0 g(x) NO!!!

perché i lim numerico e il lim numerico non può essere ASINTOTICO

Esempio

lim_{x → ∞} ^sinx/_x ≠ lim_{x → ∞} (sinx)¹/_x = 0

limitata

Funzione infinitesima

f(x) è infinitesima ⇔ lim_{x → x₀} = 0

Funzione infinita

f(x) è infinita ⇔ lim_{x → x₀} f(x) = ∞

"o piccolo"

f(x) è "o piccolo" di g(x) per x → x₀

f(x) = o (g(x) --- (def.))

lim_{x → x₀} ^f(x)/_g(x) = 0

Esempio

1. f(x) = x² g(x) = x
2. lim_{x → 0} f(x) = 0 lim_{x → 0} g(x) = 0
3. lim_{x → 0} ^x2/_x lim_{x → 0} x = 0

x² = o (x) questa è piccola e trascurabile

lim_{x → 0} (x²)/x

2. lim_{x → x₀} ^x/_x² = 0 lim_{x → x₀} ¹/_x = 0

per x → x₀ x = 0 (x²)