Analisi Matematica 1 – Esercizi vari svolti
(Tutti gli esercizi che seguono, sono stati presi da varie esercitazioni e tutorati – Cdl in Matematica)
ES 1
Sia 1 √3
∈ ℂ, = +
2 2
Calcolare e scrivere il numero in forma trigonometrica ed esponenziale
2
||, , √
In generale si ha 2 2
√
||
= + → = = +
forma trigonometrica
= (cos + sin )
forma esponenziale
= exp() + 2 + 2
= √ (cos ( ) + sin ( )) , = 0, … , − 1
√3
1
Nel nostro caso, abbiamo ⁄
= ⁄ , =
2 2
2
2
1 1 3
√3
√( √
||
= = ) + = + = 1
( )
2 2 4 4
tan = = → =
√3
3
Forma trigonometrica
= cos + sin
3 3
Forma esponenziale = exp ( )
3 + 2 + 2
2
= √ (cos ( ) + sin ( )) , = 0,1
2 2
+ 2 + 2
3 3
2
= cos ( ) + sin ( ) , = 0,1
2 2
ES 2 Sia calcolare 4
> 0, ∈ ℝ, = ̅
Passiamo alla forma esponenziale
=
Quindi si ha
4 4 − 3
= → ( exp(4) − exp(−)) = 0
3
→ = 0 ∨ exp(4) − exp(−) = 0
Per = 0 , = 0
3 3
exp(4) − exp(−) = 0 → exp(4) = exp(−)
Due numeri complessi in forma esponenziale sono uguali SE E SOLO SE i 2 numeri
hanno lo stesso modulo, mentre gli argomenti differiscono di 2
Quindi 2
3 3
= = √ 3
→ → = √ ∨ =
{ { 5
4 = − + 2 5 = 2
∈ [0,2] 2
0 ≤ ≤ 2 → 0 ≤ ≤ 2 → 0 ≤ 2 ≤ 10 → 0 ≤ ≤ 5
5
In forma trigonometrica
2 2
3
= √ (cos ( ) + sin ( )) , 0 ≤ ≤ 5
5 5
ES 3 Calcolare la somma della serie
+∞ 2 + 7
∑ +1
9
2
+∞ +∞
+∞ 2 + 7 1 2 7
∑ = ( ) + ∑ ( )
[∑ ]
+1
9 9 9 9
2 2 2
La serie parte da 2, per calcolare la somma dobbiamo farla partire da 0
+∞ +∞
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