Spazio duale e biduale, Geometria analitica

Def.

V 1k-sp. vett. si definisce spazio duale

V* = Hom(V,1k). Gli elementi di V* vengonoindicati con vi* e sono detti funzionalilineari.

Prop. Sia B = {v1,...vn} base di V. Ici sia V_i*: V → 1kdefinito da V_i* (vj) = δ_ij ⇒B* = {v_1^*... v_n^*} è base di V*detta base duale di B

LDim: v_i sono lin. indip.: dataa1v1 +...+ amvm = 0 ⇒ (a1v1* +...+ amvm* )(vj) = a_j = 0∀j a_j = 0i v_i* generano:ma ƒ ∈ V* cerco a1,...an t.c. ƒ = a1v_1^* +...+ anv_n^*∀j ƒ(v_j) = a^j ⇒ base scegli a_i = ƒ(v_i)

Def.

Si definisce spazio biduale di V V** = Hom(V*,1k)

Corollario dim v / = dim V**

Notazione v₁,... vn base di V _φi V → V**vi = vi*

Teorema

L'applicazione Ψv: V ——> (V*)^* doveΨv (w) : V ——> 1kΨv(w)_i = w(v_i) 1) è un isomorfismo canonicoj ( ) j ∀ B base φB*ºφB = Ψ

LDim proviamo la linearità.

Ψv(a₁v₁ + a₂v₂)(g) = g(a₁v₁ + a₂v₂) = a₁g(v₁) + a₂g(v₂) = (a₁Ψv(v₁) + a₂ Ψv(v₂))(g)

Ψv(w)(λƒ+μg) = (λƒ + μg)(w) = λ ƒ(w) + μg(w) = λ Ψv,w (ƒ) + μ Ψv,w (g)

poiché dim V = dim(V*)* mi basta provare l'iniettività:per dimostrare che è una iniezione

Ψv(w) = 0 ⇒ g(w) = 0 ∀ g ∈ V* ⇒ v = 0 (se v ≠ 0 ⇒ ∃j ∈ V* t.c. g(w) ≠ 0 ) ⇒ tesi.

Def.

V lk-sp.vett. si definisce spazio duale

V* = Hom (V, lk). Gli elementi di V* vengono indicati con v_i* e sono detti funzionali lineari.

Prop.

Sia B = {v₁, ..., v_n} base di V, ∀i sia v_i* : V ⟶ lk

definito da v_i* (v_j) = s_i,j ⇒

B* = {v₁*, ..., v_n*} è base di V* detta base duale di B

dim. : v_i sono lin. indip.: data

a₁v₁ + ... + a_mv_m = 0 ⇒ (a₁v₁* + ... + a_mv_m*)(v_j) = a_j = 0

• v_i* generano V*,
• perché' ∀v cerco a₁... a_m t.c. f = a₁v₁* + ... + a_mv_m*
• ∀i f(v_j) = a_j ⇒ base scelta ai = f(v_i)

Def.

Si definisce pario biduale di V V** = Hom (V*, lk)

corollario dimV = dimV* = dim (V**)

notazione f₁... f_n base di V f_β : V ⟶ V*

f_β : v_i ⟼ v_i*

Teorema

l’applicazione Ψ_V : V ⟶ (V*)* dove

Ψ_V(v) : V* ⟶ lk

v_(u) 1) e’ un isomorfismo canonico

dim. proviamo la linearità

Ψ_V (a₁u₁ + a₂v₂) (g) = g(a₁u₁ + a₂v₂) = a₁g(v₁) + a₂g(v₂) = (a₁Ψ_V(v₁) + a₂Ψ_V(v₂)) (g)

Ψ_V (v) (λf + μg) (w) = (f + μg) (w) = λf(w) + μg(w) = λ Ψ_V,w(f) + μ Ψ_V,w(g)

perchè _{f( ... )} dimV = dim (V*) ⇒ mi basta provare l’iniettività

per dimostrare che è una iniezione

Ψ_V(w)(g) = 0 ⇒ g(w) = 0 ∀g ∈ V* ⇒ v =0 (se v ≠ 0 ⇒ ∃)

g ∈ V* s.c. g(w) ≠ 0 ) ⇒ tes.

dim

1) Mostro che fissato

B = {v₁, ..., v_n}

φ_k°φ_B(i) = ψ_ki ∀i: (li ralbo in uno stesso ed el di (v_i)

λ_ki⁽²⁾(φ_B(v_i); (v_i)^° = φ_kx (v_i; v_i) = φ x (v_i; x (v_i)^° = (v_i)^°(v_i) ° d_ij

Def

S &sub V, n definisce annullatore di S

Ann(S)= {f ∈ V^* t.c. f|_S = o}

prop

1. V ⊂ V → Ann(S) ssv di V^*
2. S ⊂ T → Ann(S) ⊂ di V^*
3. U ssv di V → dim V = k → dim U = k → →
4. ∀f∈V^* Ann(f) = ψ_x(ker f)
5. ∀ U ssv di V Ann(Ann(U)) = ψ_x(u)

dim

1) O ∈ Ann(S), O|_S = o

ii) nsao{f,g}∈Ann S f+g*(S)=o &Harr; f*(S)+ρ(S)=o

f∈Ann(S)→fuu=0∀v∈T ⊂S∀εAnn(S)

dim

3)Ora{u₁,...,v_k1,...,v_n} base di U vorsa a base di V

Vogli... mostrare che v_k1...v_n ∑ere Ann(U)

i) V_k1...v_n∈ Ann(U) in quanto (v_i)*(u_i)=o ∀i,

ii)∑ivamente V_k1...V_n sono indipendente in quanto ∈(B^x

iii) are f∈Ann(S) f=a₁U₁^*...+a_cU_c*+V_k1..^* vorsei f(U_i)...U_k∈Ann(U)=f=a_c1V_k1¹...+Q_nV_n^*

dim

Ann(F)= {f ∈ V^k}, h(f)=o⇐ φ_xh | φ_xo φ_x | φ_x

= Ψ{f|x{cα}=o} = Ψ(ker f)

dim

5) dim (Ann(Ann(U))) = m(n-k) = k

→ mostro in soli continuiemento sm attere la tesi

φ(U) ⊂ Ann(Ann(U)) in quanto φ(x)|Ann(U)=o : ∀f∈Ann(U)φ(x)(f)=f(x)=o

in quanto f ∈Ann(u)i

Def

f: V → W lineare, definiamo tf: W^* → V^*

tf (g)_q = g·f

è una buona definizione; g: W → k

g·f: V → W → k = (g·f) ∈ V^*

prop

1. tf: W^* → V^* lineare
2. tf (f_v) = f

schema di digramma tf (g·tf) è commutative

3. h: W → Z lineare → b(h·f) = f o h
4. ker (tf) = Ann(Im f)
5. Im (tf) = Ann(ker f)

B base di V, S base di WU_{S,V(tfv) = t(UV,S(f))}

dim

1. ∀ α₁, α₂ ∈ k, ∀ g₁, g₂ ∈ W^* si ha che

tf (α₁g₁ + α₂g₂) = (α₁g₁ + α₂ g₂ )·f = α₁ g₁· f + α₂ g₂·f = α₁ tf(g₁) + α₂ tf(g₂)

nt

2. Voglio mostrare che

t(f)_V) Ψ_w(ϱ) = Ψ_w Ψ_vf(ϱ)

Ψ_w(ϱ)(ω) = Ψ_wf (ω)(g)

t(f_v) Ψ_w(ϱ) = Ψ_w g ((f(ω))(υ) = g (f(ω))(υ)

t(f_p) Ψ_ω(ϱ) = Ψ_w ((tf(ϱ).Ψ_x(ιp)) = Ψ