Spazio duale e biduale, Geometria analitica

Def:

V l.k-sp. vett. se definisce spazio duale V* = Hom(V,l.k). Gli elementi di V* vengono indicati con v_i* e sono detti funzionali lineari

Prop:

Se B={v₁...v_n} base di V, ℓi sia ε ℓi: V ^→ l.k ^→

definito da ℓ_i(v_j) = delta_ij =>

B* = {v^*₁ ... v^*_n} è base di V*, detta base duale di B

Idea V^* sono lin. indipi.: data a₁v₁+...+a_mv_m* = 0 => (a₁v₁*+...+a_mv_m*) (v_j) = a_j = 0 ∀ v_j generano

ma cerc g(w) = 0 ∀ g È V^* =>

v = 0 (se v ≠ 0 => )

j È V^* t.c.:

g(w) ≠ 0.

=> tesi.

Montrare che fissato ₀= ... _n¹

_{0⁰ ◦0⁰(vi) = 0⁰(vⁱ) = vi (li salto in uno stesso ed eli (v'¹)}

_00(vj)

_(v^•)(v^')

_{1⁰(v) = ij*}

^{psi(v•) = (v*(v'1) = (v'0j') = _ij'}

1. S ⊆ V Ann(S)

2. di V Ann(f) = _ψk(kεf) = 0

def Ann(f) = {x [f(x) = o] f ( . 0 t.c. f|S = o}

1). V F f=dim ◊ = ισ Skyl to Bain = dim ◊A m |ι (dim ( ) ⊆ S) . U

2) se V^k+1...Vⁿ sono indipendenti :

3) f∈ Ann(S) : f = Q₁t + ₁^x

prop: ∀ φ ∈ P(SCV) non degenere ∀ f ∈ End(V) ∃ f*: V --> V b.c.

φ(fx,y) = φ(f*x,y)

dim sia uno y ∈ V e poi amo g(x) = φ(fx,y)

g(x) e sicuramente lineare (g ∈ V*) per il teorema di rapprensentazione di riesz ∃! w ∈ V t.c. g(x) = φ(w,x) = φ(x,w)

∀ x ∈ V φ(fx,y) = φ(x,w) ∀ x ∈ V poichè w dipende solo da y poniamo w= f*(y) e ho definita l’applicaz.

f*: V V φ(fx,y) = φ(x,f*y) ∀ x,y ∈ V

def l’applicazione f* è detta “aggiunto di f rispetto a φ

prop 1) f* e lineare

2) (f*)* = f (involuzione)

3) ker(f* )= im (f ⊥)

4) im (f*) = ker (f ⊥)

5) V é base di V, A=U_c(f), A*=U_c(f*), M=U_c(φ) => A* = M^t A M

dim 1 ∀ x,y,u,μ ∈ V φ(f,x) = φ(u,βy1 + μz1)

=> φ(x,αy+βz) = α φ(x,y) + β φ(x,z) => φ(u,f(αx,y)) = α φ(x,f*y1) + β φ(z,f*y2) = φ(f(αx+βy),u) = α φ(fx,y) + β φ(z,u) - dimp g_α(f(x,α+βy,z) = α g (y,α(f*x,y) = φ(x,αg+y,z) < φ(z)

f*(u,x,y(b,αx)) - f*x,α => f*x,y ∈ Rad(φ) => φ(x∪f*x,y) - φ(αx(f,z))

dim 2 ∀ x,y φ(f(x,y)) = φ(x,f*y1) = φ(x,f*y1) = φ(y1)

φ(αx+x,f*y1)= φ(f*y1, y = φ(y1z)= φ( xz))

dim 3) v ∈ ker(f)⊥ ∀ f(w)∈im f. φ(v,f(w))

φ(x,w) = φ(sw) => ∀ v∈ V φ(f(x)w,ν) = φ(f(w),ω) = φ(w,x) = 0 => x φ(w,fσω) = φ(f[-x]_ω) = φ(w,ν) = φ(x,w,ω) = φ(w,x) => f*w φ(x) =0 è f(w)ε Rad(φ) => 0δ) ker(f* = im(f⊥ ) applicando l’ortogonale

dim 5) ∀ v,ω ∈ V φ( f(ω,w) ) = φ(v,f*w) -

t^xAMy= t^xMA y = φ(AμM= MA A*) => A* = M^t M^t φ A M

os: se B ortho-normale A * = t A