Algebra Lineare - Determinante di matrici - esercizi svolti e proposti

Algebra Lineare: Esercizi svolti ed esercizi proposti

suI calcolo dei determinante di matrici

• A = 31 5-2

Applicando la formula si ottiene subito det 31 5-2 = 3(-2) - (1)(5) = -6 - 5 = -11

• A = ab c1

Come sopra, si ha det A = a - b, ∀a, b ∈ ℝ

ESE0RCIZIO: calcolare il determinante della matrice A = sin asin 2a cos acos 2a

• A = -572 3-31 031

in questo caso si può operare per 2 modi diversi, si può utilizzare la regola di Sarrus, oppure la regola di Laplace

Con la regola di Sarrus si ha

det -572 3-31 031 =

= (-5)(-3)(1) + (3)(3)(2) + (7)(1)(0) - (2)(-3)(0) - (1)(3)(7) - (-5)(3)(1) =

= 15 + 18 - 21 + 15 = 27

In generale SOLO per matrici 3×3, si applica la regola di Sarrus, ed è la seguente

det a₁₁a₁₂a₁₃ a₂₁a₂₂a₂₃ a₃₁a₃₂a₃₃ =

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₃a₂₁a₃₂ + a₁₂a₂₃a₃₁ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₁a₂₃a₃₂ - a₁₂a₂₁a₃₃

ESE0RCIZIO: Calcolare con la regola di Sarrus, il determinante della matrice A = 25105 1127 421

Invece la regola di Laplace, conviene utilizzarla quando nella matrice si hanno tanti zeri, ed è anche utile per il calcolo del prodotto vettoriale!

ESEMPIO: Siano dati i vettori x₁ y₁ z₁ , x₂ y₂ z₂ , calcolare il prodotto vettoriale v × w

Si ha

det ijk x₁y₁z₁ x₂y₂z₂ = i · det y₁z₁ y₂z₂ - j · det x₁z₁ x₂z₂ + k · det x₁y₁ x₂y₂

Ove i, j, k sono versori di ℝ³

Algebra Lineare: Esercizi svolti ed esercizi proposti

• A = ₃/₅ 1 _-2

Applicando la formula si ottiene subito det ₃/₅ 1 _-2 = 3(-2) – (1)(5) = -6 - 5 = -11

• A = _a/_b 1

Come sopra, si ha det A = a – b, ∀a, b ∈ ℝ

• A = _{-5 7 2}, _{3 -3 1}, _{0 3 1}

in questo caso si può operare per 2 modi diversi, si può utilizzare la regola di Sarrus, oppure la regola di Laplace

Con la regola di Sarrus si ha

det _{-5 7 2}, _{3 -3 1}, _{0 3 1} =

= (-5)(-3)(1) + (3)(3)(2) + (7)(1)(0) – (2)(-3)(0) – (1)(3)(7) – (-5)(3)(1) =

= 15 + 18 – 21 + 15 = 27

In generale SOLO per matrici 3x3, si applica la regola di Sarrus, ed è la seguente

_{a11 a12 a13}, _{a21 a22 a23}, _{a31 a32 a33}

det =

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₃a₂₁a₃₂ + a₁₂a₂₃a₃₁ – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₁a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁a₃₃

Invece la regola di Laplace, conviene utilizzarla quando nella matrice si hanno tanti zeri, ed è anche utile per il calcolo del prodotto vettoriale!

ESEMPIO: Siano dati i vettori _x1, _y1, _z1 e _x2, _y2, _z2, calcolare il prodotto vettoriale

Si ha

det j k

det _{x1 y1 z1} / _{x2 y2 z2} =

= i : det _{y1 z1}, _{y2 z2} - j : det _{x1 z1}, _{x2 z2} + k : det _{x1 y1}, _{x2 y2}

Ove i, j, k sono versori di ℝ₃

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