Algebra e geometria lineare - le matrici

Prodotto vettoriale e prodotto misto

Definizione: Detti due vettori ^v e ^w, eseguire il loro prodotto vettoriale si indica con ^v ∧ ^w e ha modulo direzione versomodulo _{|^v||^w| cosθ}. La direzione è ortogonale al piano individuato dai due vettori. La proprietà commutativa non vale, infatti ^v ∧ ^w ≠ ^w ∧ ^v.

^v ∧ ^w = 0 ⇔ ^v // ^w (il modulo vettoriale è nullo solo quando due vettori sono paralleli, ovvero quando il seno di θ è nullo e cosθ = 1).

(λ^v) ∧ ^w = λ(^v ∧ ^w), (^v ∧ _w) ∧ z = ^v ∧ (_w ∧ z).

(^v ∧ ^v) = 0, non ^v ∧ ^v ≠ λⁱ² modulo infinito, tre versi I∧I = J∧J = J∧K = K∧I = J.

Proiezione: prodotto misto

^v ∧ ^w rappresenta il volume del parallelepipedo costruito su tre vettori. ^v ∧ ^w = 0 se i tre vettori sono coplanari (sullo stesso piano).

v ∧ v per nulla il modulo vettoriale e per quelli radone u ∧ w I2 u ∧ v = λ radone.

Prodotto vettoriale e prodotto misto

Definizione: Detti due vettori v, w: oblique, il loro modulo si indica con v ∧ w = v, avere modulo direzione versomodulo |v||w| cosθ. La direzione è ortogonale ai piani individuati dai due vettori. Le proprietà commutative si valgono v ∧ w = -w ∧ v, v ∧ w = 0 ⇔ |v||w||cosθ.

Il modulo vettoriale è nullo solo quando i suoi vettori sono paralleli, ovvero quando il senso di rette è quindi θ=0 o cosθ=>(av)∧w = a(v∧w).

v ∧ (w+z) = v ∧ w + v ∧ z.

Modulo intrinseco tra versori

I ∧ I = J ∧ J = K ∧ K = 0, I ∧ J = K, J ∧ K = I, K ∧ I = J.

Prodotto misto

v ∧ w conv∧w rappresenta il volume del parallelogramma costruito su tre vettori (l'ordine v∧w due vettori sono coplanari).

v ∧ w = 0...per prima il 1. per il modulo vettoriale e più per volume v ∧^t = λ scalare.

Vettori equivalenti

Due vettori paralleli, equipollenti, equivalenti. Ammassi, classe di equivalenza che ha come rappresentante un vettore libero. Vettori paralleli, il cui modulo è uguale al vettore e altro dato.

(\(\vec{v_0}, *, k\) -> spazio vettoriale dove gli elementi sono vettori che godono delle norme e del prodotto esterno.

Componenti di un vettore

Se ho un vettore, lo devo individuare come una terna di numeri \(\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)\) nello spazio, nel piano sarebbe due punti \(\vec{v} = (1, 2, 3)\).

\((1, 2, 3)\) sono le coordinate dell'estremale dal punto A. \(\vec{v}\) = (1, 2, 3) = i + 2j + 3k \(\vec{v}\) secondo minore \(\vec{v}\) per due e mezza.

Operazioni di vettori mediante componenti

\(\vec{v} + \vec{w} = (v_i + w_i)i + (v_j + w_j)j + (v_R + w_R)k\)

V = i + 2j + 3k, U₁ = 3i + k, U₂ = 2i + RU₁ + U₂ = 3i + 2j + k + 2R = 3i + 2j + 3R.

Prodotto esterno

\(\vec{v}\) = (av_x, av_y, av_z) = av_x + av_y + av_z = a\(\vec{v}\)_R

Prodotto scalare

\(\vec{u}\), (1, 1, 0), \(\vec{v}\), (1, 1, 1) V_i = x \((1, 2, 0), (1, 1, -1)\) = 1 × 2; 1 + 0 = (..) =3 prodotti vettoriale.

Modello vettoriale

a_i = V_i, v_j = V_j, V_k = v_k, V_k = v₁ * |v| * |l| • cos(θ) = |v|•cos(θ).

Matrici

X =a_ij dove i indica le righe e j le colonne. K tutte le matrici, 3 righe 4 colonne. Si possono indicare come 3x4 e l'insieme di tutte le matrici 3x4 appartengono allo spazio → K^3,4 quindi righe e colonne m*n e K^m*n a_ij ∈ ∈ex R^2,2 matrici 2x1 a componenti reali.

Se m=u le matrici si dicono quadrate di ordine n, ovvero una (ex matrice di ordine 3 → 3x3).

Somma e prodotto esterno di matrici

Ex Dati A,B ∈ ∈^2,3 devono essere dello stesso tipo. Prodotto Esterno = ΣP.

Proprietà: le somme fra matrici godono delle proprietà associative (a+b)+c=a+(b+c)......... a+b=b+a ........costitutiva F.P1=(a-b)+A.

Chiamiamo matrice nulla l’elemento neutro delle somme fra matrici (tutte le parole da zero). Chiamiamo una matrice opposta ad a=(a_ij) la matrice -A=(-a_j)A=.

Prodotto tra due matrici

(non è sempre possibile!)

Condizione fondamentale: il numero di colonne della prima matrice deve essere uguale al numero di righe della seconda matrice. B=_nxm A B = ?nxm.

A_2x3 B_3x1 A B = ? -> viene fuori una matrice 1x1 come numero di colonne.

cn A_3x1 B_2x1 C_3x2 A = B = prodotto riga per colonna = 1^a riga n. moltiplica, per tutte le colonne nella seconda matrice.

C = 0 1 0 -2 2320 1 0 -2 03 2 A = (2 1 0)(0 1 1)(2 -1 1) B = (2 -1 0)(0 -1 1)(3 2 0).

Calcolare A.B A.B. 54+2.B A = (2 1 4)(0 1 -1)(2 1 0) B = (1 3 2)(1 2 1)(2 0 -1) Calcolare A.B Però A.B =/= B.A.

Ex A_nxm B_mxp C= _n,p Bn A _{n p = mare est} L’elemento matrice quadrata uxu( a₁₁ a₁₂ a_1u )( a₂₁ a₂₂ a_2u )( a_u1 a_u2 a_uu ).

Diagonale principale

Quindi sarò (1 0 0)(0 1 0)(0 0 1).

Non vale la legge dell'annullamento del prodotto A ⋅ B = Ω non è vero che A = Ω o B = Ω. Non tutte le matrici ammettono l'inverso rispetto al prodotto A ⋅ B = I dove B = A^-1.

(A ⋅ B)^-1 = B^-1 ⋅ A^-1 infatti (A ⋅ B)(B^-1 ⋅ A^-1) = I.

Una matrice A è detta ortogonale se a_i, a_j ort f.s) ex Matrice triangolare superiore o inferiore.

Calcolare A ⋅ B: (^{2 2} _{4 -1} 0) (4 0 -1) (^{2 3} _{-1 2} -4) (⁴ ₃ -1) (⁰ _{5 -3} -1) 2A ⋅ 2I = (² _{1 1} 0) (0 1 1) (⁴ ₂ 0) (¹ ₀ 2 2) A ⋅ B = (² _{1 0} 0) (0 1 1) (^{3 2} _{0 -1} 1).

(^{4 -2 0} _{2 0 2} 2) (-6 4 -2) (2 0 0) (^{-4 2 0} _{-1 1} 2) (3 2 0) (-6 4 -2) ) (^{4 -3 -1} ₃ -1) (^{2 -3} ₃ 0) (^{0 1 2} ₃ 1) (1 3) (5 -1) A ⋅ B = (^{2 1 0} ₂ 0 0) (0 1 1) (^{2 -1} ₂ 1) (1 3) (3 2).

3A + 2B = 3 (^{2 1 0} _{0 1 1} 2) 2 (^{2 1 0} ₀ -1 -1) (3 2) (^{6 4} ₁ 0) (6 16) (³ _-2 5) (5 -1) (2 1 0) (^{3 2} _{1 0}) (⁰ -6 4) (3 2 0) (6 10) (3 -1) (⁰ -2) Calesiana A B AB = (1 - 4 | 3)(0 - 1 | 1)(2 3 5x 3 | -2) (1 - 2 | 7).

Sottospazi

ENS, 1) chiuso rispetto + sottospazio 2), "+" elementi w _{W CN} H_w sottospazio Teo (1, 3, x) Teo sottospazio (w_i,) gruppo abeliano VV spazio vettoriale quindi valgono tutte le proprietà e quindi valgono anche su W* * sono generali, interne a wo _CV quindi W è sottospazio. Nessun sottospazio sarà mai vuoto, perché c'è sempre la top gex W={ (x,y)∈ℝ² | 2x-y=0 } y=2x verificare che W è sottospazio di ℝ².

Devo verificare le 3 proprietà:

• Somma chiusa rispetto alle somme, cioè ∀ z₁, z₂ ∈ W⇒ z₁ + z₂ ∈ Wω₁ = (x,2x) ∈ Wω₂ = (y,2y) ∈ Wω₁ + ω₂ = (x+y, 2(x+y)) = (x+y, 2(x+y)) → ∈ W? Sì
• a ∈ ℝ ∀ω ∈ W ⇒ a·ω ∈ W(x,2x) Consideriamo a·ω = a(x,2x) = (ax, 2ax) ∈ W? Sì, perché 2ax=x (si duplica 2x)
• Non retta nello (0,0) ⊂ W? Sì, perché considerabile perni con (si duplica, a·0, 0) Ogni sottrazione o a 2x-y=0 ex W={ (x,y)∈ℝ² | 2x-y= 1 } Verificare che W non è un sottospazio di ℝ²

V₁ = { (z,y,z)∈ℝ³ | 3z-y=0 } ⊂ ℝ³ V₂ = { (x,y,z,t)∈ℝ³ | x-2y+z ≥ x-t=0 } ⊂ ℝ³ V₃ = { (x,y,z,t) ∈ ℝ⁴ | z-2y+2 -3.5x = x-y - x+x+0=x }⊂ ℝ V₄ = { (x,y,z,t) ∈ ℝ⁴ | x-y =1, 3x = 2y - 2t +0 }⊂ ℝ V₂ = {(x, y, z) ∈ ℝ³ | x - 2y + z = 0 ; x - z = 0 }.

{ x - 2y + z = 0 x - z = 0 } { 2x - 2y = 0 x = z } x = y = z (x, y, z) = (x, x, x) Di elemento si ottiene anche (x + x₁, x + x₂, x + x₃) = (x, x₁, x₁, x₁, x + x₁, x + x₁) ∈ ∅ V₂, 99 V₁ 2) ∀a ∈ K ∀v ∈ V₂ → a.v ∈ V₂. Calcoliamo a.v = a(1, ..., x, x) = (ax, ax, ax).

3) Q = {(0, 0, 0) } ∈ V₂ x - 2y + z = x - z = 0 0 - 0 + 0 = 0 = 0 è sotto spazia ex V₂ = { { a b c d} ∈ ℝ^2×2 | 2a + b + e = 3b - 2c; a - 2c + 2e + f = 0}∈ ℝ² V₂ = { a b c d}∈ ℝ^2/2.