Algebra e geometria lineare

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Revisionato il 16/05/2026

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Appunti di algebra e geometria lineare basato su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Giuzzi dell’università degli Studi di Brescia - Unibs, Facoltà …

Esame Algebra e geometria lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Giuzzi Luca

Università Università degli Studi di Brescia

A.A. 2016-2017

140 pagine

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Estratto del documento

Insiemi: collezione di oggetti distinti

(Es. {1,2,3,...})

Operazioni tra insiemi:
- Intersezione: A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}
- Unione: A ∪ B = {y : y ∈ A oppure y ∈ B}
- Inclusione: A ⊆ B ⇔ ∀a ∈ A : a ∈ B
Casi particolari:
- A ∪ B = A ⇔ B ⊆ A
- A ∩ B = B ⇔ B ⊆ A

Prodotto Cartesiano:

A × B = {(a,b) : se a ∈ A, b ∈ B}

(a,b) := {{a},{a,b}}

Esempio:

A = {1,2,3}

A × A = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}

Sequenza:

(a₁, a₂, a₃, ..., a_n) ∈ A^t ⊆ A^t

dove t indica il numero degli elementi

1,1,2 ≠ {1,2,1}

Due sequenze sono uguali se e solo se ha gli stessi elementi e ordinati nello stesso modo.

Sottoserie (o multinsieme):

Dove conta anche il numero di volte che un elemento si ripete

[1,1,2] = [1,2,1] ≠ {1,1,2}

Non conta l'ordine in cui appaiono gli elementi

Oggetti e Geometria Qualitativa:

Insieme: collezione di oggetti distinti

- Operazioni tra insiemi:

- Intersezione: A ∩ B = { ... x ∈ A & x ∈ B }
- Unione: A ∪ B = { ... y ∈ A oppure y ∈ B }
- Inclusione: A ⊂ B ⇔ ∀ a ∈ A . a ∈ B

- Casi particolari:

- A ∪ B = A ⇔ B ⊂ A
- A ∩ B = B ⇔ B ⊂ A

Prodotto Cartesiano:

A x B = { (a, b) : se a ∈ A, b ∈ B }

(a, b) := { {a}, {a, b} }

Esempio:

A = { 1, 2, 3 }

A x A = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3) }

Sequenza:

(a₁ a₂ a₃ ... a_t) ∈ A^t ∀ t

ove a₁, a₂, ... a_t ∈ A

{ 1, 1, 2 } ≠ { 1, 2, 1 }

Due sequenze sono uguali se e solo se ha gli stessi elementi e ordinati in modo uguale.

Sistema: (o multinsieme):

Dove conta anche il numero o volte che un elemento si ripete

{ 1, 1, 2 } = { 1, 2, 1 } ≠ { 1, 2 }

Non conta l'ordine in cui appaiono gli elementi

Relazione

Sia A un insieme. Si dice relazione R di A un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxA, per cui R ⊆ AxA.

Esempio:

A = {1, 2, 3}

R = {(2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}

Relazione riflessiva

La relazione si dice riflessiva se ∀a ∈ A aRa

Relazione simmetrica

La relazione si dice simmetrica se ∀a, b aRb ⇒ bRa

Esempio:

R = {(3,1), (1,3), (2,3), (2,2)}

Relazione transitiva

La relazione si dice transitiva se ∀a, b, c aRb & bRc ⇒ aRc

Relazione di equivalenza

La relazione si dice di equivalenza se è riflessiva, transitiva e simmetrica allora R si dice equivalente.

Esempio: Sia R di equivalenza su A

a ∈ A [a] = {b ∈ A : aRb} [a] si dice classe di equivalenza

Se siano a, b ∈ A

[a] = [b]
oppure sono disgiunte [a] ∩ [b] = ∅

- x ∈ [a] ∩ [b]

∃Rk bRx => xRb

- c ∈ [b] => bRc

∃Rx ∋ xRx => ∂Rb or bRc => ∂Rc

- c ∉ [a] (R=[]) ⊄ [b] ⊄ [a]

competondo i reali [a] ⊆ [b] => [a] = [b]

2. ∀a ∈ A ⧸ [a] ⊆ a

A = ℕ

R ∈ A x A

aRb ⟺ |a-b| = 2k, k ∈ ℕ

Riflexiva: |a-a| = 0 = 2k ∙ 0 = 0

Simmetrica: |a-b| = |b-a| or |a-b| = 2k => |b-a| = 2k

Transitiva: |a-b| = 2k

[b-c] = 2R

aRbRc |a-b|+|b-c| = (a-b) + (b-c) = (a-c) = |a-c| =

= 2k +2R, 2(k+R)

Esempio classe

[0] = {0, 2, 4,...} ⟹ numeri pari

[1] = {1, 3, 5,...} ⟹ numeri dispari

Insieme Quoziente:

A insieme R∈A x A è di equivalenza

Si dice insieme quoziente l’insieme di tutte le classi di equivalenza di relazione R:

A/R := {[σ] ⧸ σ∈A}

Relazione d'ordine

Diciamo che la relazione R su A² è d'ordine se è contemporaneamente

riflessiva, antisimmetrica e transitiva.

Riflessiva se: ∀a ∈ A
Antisimmetrica se: aRb & bRa ⇒ a = b
Transitiva se: aRb & bRc ⇒ aRc

Relazione di inclusione

A insieme

P(A) = {X | X ⊆ A}

Esempio:

A = {1, 2, 3}

P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

La relazione ⊆ (essere contenuti in) è d'

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