Algebra Booleana e sistemi di numerazione posizionale

Lezione 1 – (05/10/2021)

George Boole

George Boole era un matematico inglese che voleva capire il valore di verità di una formula composta.

Assiomatizzazione

Fornire un insieme (B) che contiene due valori, ossia 0 ed 1, dove lo 0 rappresenta il falso e 1 il vero.

• Assioma numero 1: La consistenza – Fornisce un insieme (B) che contiene due valori (1 e 0) 0,1 ∈ B
• Assioma numero 2: La chiusura – x + y x ∈
• Assioma numero 3: L’identità – x + 0 = x
• Assioma numero 4: L’inversione – x + (-x) = 1 questa è una tautologia, ossia una formula sempre vera
• Assioma numero 5: La commutatività – x + y = y + x
• Assioma numero 6: La distributività – x + (y * z) = (x + y) * (x + z)

Attraverso l’algebra booleana, si rimpiazza il + con il *, e lo 0 con 1 (e viceversa).

Proprietà soddisfacibili attraverso gli assiomi

• Associativa: x + (y + z) = (x + y) + z diventa x * (y * z) = (x * y) * z
• Idempotenza: x + x = x diventa x * x = x
• Involuzione: --x = x
• Contraddizione: x * (-x) = 0 è una formula sempre falsa in quanto non è possibile essere e non essere al contempo

La logica classica del primo ordine

La logica, in filosofia, indica lo studio delle leggi e delle funzioni che caratterizzano la struttura del pensiero in sé (logica formale), oppure dei procedimenti seguiti dal pensiero in riferimento ai diversi contenuti cui può applicarsi (logica materiale).

La logica matematica (o simbolica) indica lo studio della formalizzazione dei procedimenti e delle operazioni logiche in linguaggio matematico (ciò che studieremo noi).

La formula è un’espressione ben formata nel linguaggio (italiano, fisico, matematico…) alla quale può essere attribuito un valore di verità: vero o falso.

Esempio: X è un numero pari – se rimpiazzo alla X un valore, questa non ha più variabili e si chiama: proposizione o asserzione (se in una formula dell’algebra booleana non ci sono le variabili).

Domani ci sarà il sole – non è una formula, in particolare una proposizione, perché non si può dire al 100% se è vera o falsa.

Proposizioni atomiche e composte

Se la proposizione non contiene connettivi, si chiama atomica. Se le ha, si chiama composta o molecolare.

Le proposizioni composte hanno dei connettivi: NOT (-), AND (*), OR (+), XOR (⊕), IF…THEN (⇒), IFF (≡).

Lezione 2 - 12/10/2021

Abbiamo risolto il problema dei tre esploratori con i cappelli bianchi o neri.

Operatore NOT (1-A)

È la n...