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LEGGI DI DE MORGAN
Esistono due teoremi di De Morgan:
- Il NOT di (A AND B) è equivalente a (NOT A) OR (NOT B)
NOT (A AND B) = (NOT A) OR (NOT B)
A B -A -B A*B -(A*B) (-A) + (-B) 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 - Il NOT di (A OR B) è equivalente al NOT di A e al NOT di B
NOT (A OR B) = (NOT A) AND (NOT B)
A B -A -B A+B -(A+B) (-A) * (-B) 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1
Piccolo suggerimento: il NOT è un po' come il prezzemolo, quando si presenta, il senso diventa l'opposto. Quindi:
- Se in una formula c'è NOT (A AND B) => AND diventa OR => (NOT A) OR (NOT B)
- Se in una formula c'è NOT (A OR B) => OR diventa AND => (NOT A) AND (NOT B)
Le leggi di De Morgan servono:
- A negare (e semplificare) le espressioni complesse: NOT (x>5 OR y<3) => NOT (x>5) AND NOT (x<3)
- Mostrano che i tre operatori AND, OR, NOT non sono indipendenti, essi sono legati tra loro
- È possibile...
Esprimere AND tramite OR e NOT:
A AND B = NOT NOT (A AND B) = NOT ((NOT A) OR (NOT B))
Esprimere OR tramite AND e NOT:
A OR B = NOT NOT (A OR B) = NOT ((NOT A) AND (NOT B))
L'OPERATORE XOR (RESTO A+B;2)
Operatore XOR (disgiunzione esclusiva) ⊕
A B A XOR B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A XOR B è vera solo e solo se solamente una delle componenti è vera. È simile all'OR per i primi 3 casi, quindi si sommano le due componenti. Per l'ultimo caso però è diverso: se facessimo 1+1 risulterebbe 2, ma con questo metodo noi vogliamo ottenere solo i valori 0 e 1, quindi i risultati che otteniamo si devono dividere per 2, e il valore intero che otteniamo è il nostro risultato:
A B A+B A XOR B (resto dato dalla divisione per 2)
0 0 0 (0:2) 0
0 1 1 (1:2 è 0 con resto di 1) 1
1 0 1 (1:2 è 0 con resto di 1) 1
1 1 2 (2:2 è 1 con resto di 0) 0
Equivale ai punti dei due insiemi, esclusi i punti
di intersezione
Esempio di un autobus: se da un autobus si può sia scendere che salire contemporaneamente, equivale ad un OR, se si può o salire o scendere equivale ad uno XOR.
In Excel si indica =RESTO(A+B;2)
Esempio:
A XOR B diventa => RESTO(A+B;2)
A XOR B XOR A diventa => RESTO(RESTO(A+B;2)+C;2)
NOT (A XOR B) diventa => 1-(RESTO(A+B;2))
A⊕B = (-A*B) + (A*(-B))
| A | B | -A | -B | (-A)*B | A*(-B) | (-A*B)+(A*(-B)) | A B =⊕1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
IF…THEN e IFF (SE A>B;0;1) (implicazione logica)
| A | B | A => B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Si può leggere in tre modi:
- A implica B
- A è condizione sufficiente per B
- B è condizione necessaria per A
A: sono le ipotesi – B: sono le tesi. Se l’ipotesi è vera, la tesi deve essere vera. Se invece si parte da una ipotesi che è falsa, la tesi può essere sia vera che falsa, proprio perché si parte da qualcosa di assurdo.
*per ricordare: A implica B
se nell'implica (=>) facciamo sparire temporaneamente l'uguale, diventa A>B, il che è sempre falso* Essere bergamaschi è condizione necessaria o sufficiente per essere lombardi? Bisogna individuare l'insieme più piccolo (bergamaschi) e quello più grande (lombardi). L'insieme più piccolo è A e di conseguenza essere bergamaschi è condizione sufficiente per essere lombardi (B), mentre invece essere lombardi è condizione necessaria per essere bergamaschi.
In Excel si indica =SE(A>B;0;1)
Lezione 5 - (19/10/2021)
SISTEMI DI NUMERAZIONE POSIZIONALI
Il sistema decimale è un sistema di numerazione posizionale: per ogni cifra posso inserire solo un valore che va da 0 a 9. La posizione in cui scriviamo ciascuna cifra ha un peso specifico.
Sistema decimale: 10 diverse cifre che possiamo inserire per ogni posizione.
Sistema binario: 2 diverse cifre che possiamo inserire in ogni posizione.
Sistema esadecimale: 16
SISTEMA DECIMALE: la base del sistema decimale è 10 perché per ogni posizione possiamo inserire 10 tipi di valori.
SISTEMA BINARIO: la base del sistema binario è 2 perché per ogni posizione possiamo inserire solo 2 tipi di valori.
Con un registro con 4 celle posso rappresentare 2^4, ossia 16 valori (da 0 a 15).
Avendo a disposizione 8 bit, io posso rappresentare 2^8, ossia 256 valori (da 0 a 255).
SISTEMA ESADECIMALE: la base del sistema esadecimale è 16 perché in ogni posizione possiamo inserire 16 tipi di valori.
Una cifra esadecimale sintetizza l'informazione contenuta in 4 bit.
CONVERSIONE
Per passare da decimale a binario basta prendere la calcolatrice Windows e andare nella modalità "programmatore" e inserire il numero da convertire.
Un altro metodo per convertire i numeri decimali è su Excel: se per esempio dovessimo convertire il numero 13,25 in binario (da base
- 10 a base 2):
1. Dividere le cifre intere da quelle decimali.
2. Le cifre intere bisogna dividerle per 2 e segnarsi il resto da parte fino ad ottenere 0 nell'importo da dividere.
3. Una volta ottenuto lo 0 basta leggere dal basso verso l'alto le cifre ottenute dal resto.
Per le cifre decimali:
1. Al posto di dividere bisogna moltiplicare la cifra per la base (2).
2. Il risultato del prodotto bisogna metterlo sulla sinistra togliendo la parte intera del risultato (che andrà sulla parte destra).
3. Una volta ottenuto lo 0 a sinistra, il risultato del numero trasformato in binario si dovrà leggere dall'alto verso il basso. - Convertire (EF,8) in base 10: da esadecimale a decimale e viceversa
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