Advanced International Trade - Appunti con passaggi algebrici

ADVANCED

INTERNATIONAL

TRADE

Dispensa a cura di Gabriele Pelli, tratta dal corso

di Advanced International Trade del professor

lecture notes

Paolo Epifani (e dalle relative )

Dispensa a cura di Gabriele Pelli

Università Commerciale Luigi Bocconi

Indice

1 Preliminaries .................................................................. 5

1.1 Cobb-Douglas preferences ......................................................... 5

Elasticità della domanda al prezzo ............................................ 7

Elasticità di sostituzione ........................................................... 7

Log-utility .................................................................................. 8

Un continuum di beni ............................................................... 9

Funzione di utilità indiretta ...................................................... 9

1.2 CES preferences ....................................................................... 10

Elasticità della domanda al prezzo .......................................... 12

“n” beni ................................................................................... 13

Funzione di utilità indiretta .................................................... 14

1.3 Cobb-Douglas technology ........................................................ 15

1.4 CES technology ....................................................................... 20

2 Ricardo........................................................................ 22

2.1 Il modello ricardiano con un continuum di beni ..................... 22

Assunzioni ............................................................................... 22

Implicazioni ............................................................................. 23

Soluzione del modello .............................................................. 23

Gains from trade ..................................................................... 26

Funzione di utilità indiretta .................................................... 27

2.2 Applicazioni ............................................................................. 29

Crescita e benessere in un’economia aperta ............................ 29

Effetti sul benessere dell’immigrazione.................................... 30

Algebra .................................................................................... 32

Costi di trasporto .................................................................... 34

Algebra con costi di commercio asimmetrici ........................... 36

Effetti di una politica protezionistica unilaterale .................... 36

2 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

Università Commerciale Luigi Bocconi

3 Heckscher-Ohlin ........................................................... 37

3.1 Il modello di Heckscher-Ohlin 2x2x2 ....................................... 37

Assunzioni ............................................................................... 37

Implicazioni ............................................................................. 37

Introduzione ............................................................................ 37

Funzionamento ........................................................................ 38

Factor Price Insensitivity (FPI) .............................................. 40

Rybczynsky ............................................................................. 41

Factor Price Equalization (FPE) ............................................ 42

Stolper-Samuelson ................................................................... 43

Magnification effect ................................................................. 44

Dimostrazione delle implicazioni ............................................. 44

Equilibrio di Autarchia ........................................................... 45

Equilibrio in Free Trade con FPE .......................................... 47

Gains from trade (GFT) ......................................................... 51

Factor Price Difference (FPD) con costi di commercio .......... 52

continuum

3.2 Il modello di Heckscher-Ohlin con un di beni ....... 53

Assunzioni ............................................................................... 53

Equilibrio in Free Trade con FPD .......................................... 55

Equilibrio di free Trade con FPE ............................................ 57

4 Krugman ..................................................................... 60

4.1 Introduzione ............................................................................ 60

4.2 Il modello ................................................................................. 60

Assunzioni ............................................................................... 60

Implicazioni ............................................................................. 61

Equilibrio di autarchia ............................................................ 61

Equilibrio di free-trade ............................................................ 65

4.3 The Home Market Effect......................................................... 68

4.4 Una versione a due settori del modello di Krugman ............... 71

3 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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5 Romalis ....................................................................... 76

5.1 Introduzione ............................................................................ 76

5.2 Assunzioni ............................................................................... 77

5.3 Implicazioni ............................................................................. 78

5.4 Analisi dell’equilibrio con costi di commercio ......................... 79

Domanda ................................................................................. 79

Equilibrio dell’industria ........................................................ 80

5.5 Simulazione numerica dell’equilibrio generale ......................... 83

6 Melitz .......................................................................... 87

6.1 Introduzione ............................................................................ 87

6.2 Assunzioni ............................................................................... 88

6.3 Implicazioni ............................................................................. 88

6.4 Equilibrio di autarchia ............................................................ 89

Aggregazione e benessere......................................................... 92

6.5 Equilibrio di libero scambio .................................................... 94

6.6 Equilibrio con costi di commercio ........................................... 94

Aggregazione e benessere......................................................... 97

6.7 Pareto distribution of productivity ......................................... 98

Autarchia ................................................................................. 99

Costi di commercio ................................................................ 100

4 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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1 Preliminaries

1.1 Cobb-Douglas preferences

Assumiamo che il consumatore rappresentativo sia caratterizzato

dalla seguente funzione di utilità Cobb-Douglas (CD):

( ) ( )

* +

Denotiamo con il consumo del bene .

Il vincolo di bilancio (VB) sarà dato da: ( )

dove è il reddito e è il prezzo del bene .

( )

Per una generica funzione di utilità , la domanda

(Marshalliana) per i beni e viene ottenuta dal seguente

problema di massimizzazione vincolata:

( ) ( )

Per risolvere tale problema, usiamo la funzione Lagrangiana:

( ) ( ) ( ) ( )

Dove è il moltiplicatore di Lagrange (pari, in questo caso,

all’utilità marginale del reddito).

Le condizioni del primo ordine (FOC) saranno date da:

( )

( ) ( )

5 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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Dove è l’utilità marginale del bene . Facendo il rapporto tra la

(5) e la (6) otteniamo la seguente condizione di ottimalità:

( )

dove è il saggio marginale di sostituzione nel consumo

dei beni e ( ), che deve essere uguale a , cioè il

prezzo relativo del bene .

La (7) si traduce nella condizione di tangenza tra la più alta curva

di indifferenza e il vincolo di bilancio.

Con preferenze CD, abbiamo che:

( ) ( )

( ) ( )

Sostituendo la (8) e la (9) nella (7) e riarrangiando i termini,

otteniamo la funzione di domanda relativa con preferenze CD:

( )

( )

Sostituendo la (10) nella (2) (cioè nel VB), otteniamo:

( )

Da cui ricaviamo la funzione di domanda per ciascun bene, cioè:

( )

( )

{

Si noti che la quota di reddito spesa per ciascun bene è costante

ed è pari all’elasticità dell’utilità rispetto a quel bene.

Questa è una proprietà molto utile della CD, perché implica che le

quote di spesa sono esogene rispetto ai prezzi dei beni.

6 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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Elasticità della domanda al prezzo * +

L’elasticità della domanda al prezzo per il bene è data

da: ( ) ( ) ( )

( )

Essa è quindi il valore assoluto del rapporto tra la variazione

( )

percentuale nella domanda del bene ( ) e la variazione

( )

percentuale del suo prezzo ( ).

Nel caso di preferenze CD, prendendo il logaritmo della (11) e

differenziando, otteniamo: ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ,( ) - ( ) ( )

{

Il che implica che un aumento dell’1% nel prezzo di un bene si

traduce nella diminuzione dell’1% della sua domanda, lasciando la

spesa invariata.

Elasticità di sostituzione

L’elasticità di sostituzione nel consumo tra il bene e il bene è

definita come: ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Quindi, è il valore assoluto del rapporto tra la variazione

( ))

percentuale della domanda relativa del bene ( e la

( )).

variazione percentuale del suo prezzo relativo ( ( )

Con preferenze CD, prendendo il logaritmo della e

differenziando, otteniamo: . /

( ) . / ( ) ( )

. /

7 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

Università Commerciale Luigi Bocconi

Il che implica che un aumento dell’1% nel prezzo relativo del bene

comporta una riduzione dell’1% della sua domanda relativa,

lasciando inalterata la quota di reddito spesa in ciascun bene.

Quote di spesa costanti implicano quindi un’elasticità di

sostituzione nel consumo unitaria.

Log-utility

Si consideri la seguente trasformazione logaritmica di una funzione

di utilità CD: ( ) ( )

Da cui otteniamo: ( )

{

Applicando la (7) avremo che: ( )

( )

E sostituendo nella (2) (nel VB) otteniamo infine:

( )

( )

{

Quindi (a ulteriore conferma del fatto che le preferenze CD sono

omotetiche), una trasformazione logaritmica delle preferenze non

incide le funzioni di domanda assoluta e relativa, che sono le stesse

viste in precedenza.

La ragione di questo fatto è che ogni trasformazione monotona

della funzione di utilità non incide sul rapporto delle utilità

marginali della (7). 8 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

Università Commerciale Luigi Bocconi

Un continuum di beni

Si consideri la seguente funzione di utilità CD su un continuum di

, -

beni : ∫ ∫ ( )

Vogliamo derivare la funzione di domanda per un generico bene

, -. Il vincolo di bilancio sarà dato da:

∫ ( )

La funzione Lagrangiana è quindi data da:

( ) ∫ ( ∫ ) ( )

che implica un continuum di FOCs del tipo: ( )

Sostituendo la (21) nella (19) (nel VB) otteniamo:

∫ ∫

da cui: ( )

Funzione di utilità indiretta

La funzione di utilità indiretta (FUI) è definita come:

( ) ( ) ( )

dove e denotano il consumo ottimale dei due beni, i.e. il

livello che massimizza la funzione di utilità.

rappresenta quindi il valore massimo dell’utilità.

9 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

Università Commerciale Luigi Bocconi

Inoltre, dato che il consumo dipende dal reddito e dal prezzo dei

beni, la FUI è una funzione di , e ed è cruciale per le

analisi di benessere.

Con preferenze CD, abbiamo che: ( )

( ) ( ) ( )

. / . /

. / . /

dove è il price index ideale associato a

preferenze CD.

rappresenta la (minima) spesa necessaria per acquistare

un’unità di utilità.

La FUI è quindi data dal reddito reale (e quindi spesa reale), che è

una misura appropriata per l’analisi di benessere, dal momento

che viene usato un price index “ideale”.

Infine, con un continuum di beni avremo:

∫ ∫ ( )

∫ ∫ ( )

1.2 CES preferences

Si consideri la seguente funzione di utilità con elasticità di

sostituzione costante (CES): ( )

( ) ( )

Per derivare le funzioni di domanda dei due beni, procediamo

come per le preferenze CD. 10 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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In particolare, avremo che: ( )

( )

[ ] ( )

( )

[ ]

Sostituendo la (27) e la (28) nella (7), quest’ultima diventa:

( )

( )

Da cui otteniamo: ( ) ( ) ( )

La (29) rappresenta la funzione di domanda relativa associata a

preferenze CES.

Prendendo il logaritmo della (29) e differenziando otteniamo:

( ) ( )

Da cui, per la (14) otteniamo la seguente espressione per

l’elasticità di sostituzione: ( ) ( )

( )

La (29) implica inoltre (moltiplicando per il prezzo relativo

da ambo i lati) che il rapporto tra le quote di reddito spese nel

consumo dei due beni sia dato da:

( ) ( )

Si noti che, per ( ), la spesa relativa per il bene è

decrescente nel suo prezzo relativo (questo, chiaramente, perché

l’esponente diventa negativo).

11 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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In questo caso, diremo che i due beni e sono sostituti nel

consumo.

Per ( ), invece, la spesa relativa del bene è crescente

nel prezzo relativo. In questo caso diremo che i due beni sono

complementi.

Un caso estremo è quando le preferenze sono alla Leontief. In

questo caso, ( ), e i due beni saranno perfetti

complementi.

Infine, se ( ) torniamo al caso CD con elasticità di

sostituzione unitaria, mentre se ( ), i due beni

saranno perfetti sostituti.

Sostituendo la (29) nella (2) (nel VB), avremo:

( )

Da cui:

La funzione di domanda per il bene sarà quindi data da:

( )

Elasticità della domanda al prezzo

Prendendo il logaritmo della (32) e differenziando, otteniamo:

( ) ( )

Dalla (12) abbiamo che:

Poiché: ( )

12 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

Università Commerciale Luigi Bocconi

Avremo che: ( )

( )

Da cui: ( )

( )

Cioé: ( ) ( )

“n” beni

Si consideri la seguente funzione di utilità CES con beni:

(∑ ) ( )

* +

Dove denota il consumo del bene .

Il vincolo di bilancio è dato da:

∑ ( )

Consideriamo due beni qualsiasi e , quindi calcoliamo e

e applichiamo la (7) ottenendo: ( )

Da cui ricaviamo la seguente espressione per la funzione di

domanda relativa del bene :

( ) ( ) ( )

Il che implica che l’elasticità di sostituzione tra due qualsiasi beni

è ancora pari a . 13 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

Università Commerciale Luigi Bocconi

Sostituendo dalla (38) nella (36) (nel VB)

quest’ultima diventa:

∑ ∑ ( )

Da cui otteniamo la funzione di domanda per il bene , cioè:

( )

∑

L’elasticità della domanda al prezzo è un’ovvia generalizzazione

della (34), cioè: ( ) ( )

∑

Si noti che, se tutti i beni vengono venduti allo stesso prezzo , la

(41) diventa: ( ) ( )

Se il range di beni disponibili è sufficientemente ampio, il

secondo termine del lato destro diventa trascurabile e l’elasticità

della domanda al prezzo può essere approssimata con l’elasticità di

sostituzione, cioè .

Funzione di utilità indiretta

La funzione di utilità indiretta associata alla (26) è data da:

( )

*( ) ( ) +

. /

14 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

Università Commerciale Luigi Bocconi

Poiché:

Avremo che: . /

. / ( )

. /

. /

Dove è il price index ideale associato a

preferenze CES.

Con beni, la funzione di utilità indiretta è data da:

(∑ ) (∑ ( ) )

∑

Da cui: ( )

(∑ )

(∑ )

Dove è il price index ideale con preferenze

CES ed beni.

1.3 Cobb-Douglas technology

Si consideri la seguente funzione di produzione Cobb-Douglas a

rendimenti costanti di scala (CRS):

( ) ( ) ( )

15 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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Dove è l’output, è la total factor productivity (un parametro

tecnologico), e e sono i fattori produttivi usati per produrre

.

Vogliamo trovare la funzione di domanda condizionale per i fattori

(condizionata al livello dell’output da produrre), la factor-intensity

(i.e. la domanda relativa dei fattori) e le funzioni di costo totale e

unitario associate a questa funzione di produzione.

( )

Per una generica funzione di produzione le funzioni

di costo sono il risultato del seguente problema di minimizzazione

vincolata: ( ) ( ) ( )

* + ( )

dove è la remunerazione del fattore e

è il costo totale.

La funzione Lagrangiana per questo problema è data da:

. ( )/ ( )

dove il moltiplicatore di Lagrange è il costo marginale del bene

shadow price

(i.e. lo di produrre un’unità di output in più).

Le FOCs saranno date da: ( )

( )

( )