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Funzioni

Definizione di funzione

Una funzione è una relazione che associa a ogni elemento di un dominio X uno e un solo elemento di un codominio Y. Questo è definito come la funzione dal dominio X al codominio Y.

Immagine di una funzione suriettiva

Una funzione è suriettiva se l'immagine di f coincide con l'intero codominio Y.

Definizione di controimmagine

La controimmagine di una funzione f è l'insieme di tutti gli elementi del dominio X che vengono mappati a un elemento specifico nel codominio Y.

Definizioni: iniettivo e suriettivo

Una funzione è iniettiva se ogni elemento del codominio Y è l'immagine di al massimo un elemento del dominio X. Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio Y è l'immagine di almeno un elemento del dominio X.

Funzioni biunivoche

Una funzione è biunivoca quando è sia iniettiva che suriettiva, ossia esiste esattamente una controimmagine per ogni elemento del codominio.

Funzioni inverse

Definizione di composizione

La composizione di due funzioni f e g, indicata come g(f(x)), è la funzione risultante dall'applicazione di f seguita dall'applicazione di g.

Funzione invertibile

Una funzione è invertibile se esiste una funzione inversa tale che la composizione della funzione e della sua inversa dà l'identità.

Teorema di caratterizzazione

Una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca. Inoltre, una funzione e la sua inversa hanno i grafici simmetrici rispetto alla retta y=x.

Calcolo algebrico della funzione inversa

Per calcolare la funzione inversa, è necessario isolare la variabile x nell'equazione della funzione data.

Funzioni reali

Somma e prodotto

Le funzioni reali possono essere sommate o moltiplicate secondo le operazioni standard tra funzioni, ottenendo nuove funzioni reali.