10 Equazioni differenziali

Derivazione e integrazione dell'operatore

PGG dove IeriIYQQQQPG y comy py qsoluzione duela almenocontinue èpaioRiscriviamo l'ca derivationdifferenziale dil'operatorecomePyDy q qraccolgo xpyy transitivaFly laFGChiamo Dtp proprietàperqche fare integrareè adandarevoglioquello sfruttandolinearitàdi poichéquellauna proprietà DX l'e CieFdyFly 94 conTeorema: linearità dell’operatore di derivazione G FGè lineareF nel Flipseno dell'operatore µµgDimostrazione:Fly dytpyDtpyitp fqf.mgpif Xpft if gµ g Mpgµg pegteX FGfg'tpgff µxp µTeorema: di struttura dal'integrale datoèftp.qgenerale oFlyl'integrale dell'eeggenerale omogeneasoluzionela dell'eq Fly 9completoparticolare Per ciòJpg dimostrareDuque YG Yank diho bisogno mealtro cometeoremadimostrarianeparticolareomogeneaTeorema: la soluzione dell’equazione omogenea è chiuso rispetto alle comb. lineariHa ER s abbiamotf.ge se

solari one macanneeµ lineare dell'eqcombinati qualunquedue maomogeneasohu.nameècombinariane ifeng.ESlineare

Dimostrazione (omogenea):

Es oFGf FG Hppalio perq o.X O è soluzioneXFGI duqueFCXftmg pefcg O.pe

Dimostrazione (struttura):

solvianeFCI poiché e FG FlyporticatoqFM FLY OFCI9 IHppm FLIFlyFly 0 Flys onon linearitàil teoremasI di styyperyMetodo di risoluzione: cipaneuriolisi deglioleinasfruttano proprietàet ftp.fxyD similemolto ciòet_fe y y ay anode in queiieche99 810ggscegliamo pDEI D yene PGeg yprendiamo differenzialel'ergi quiPG4 y IP diehDFly PG D4 eyG pxyFly 94 transitivaproprietàper diIP PdehD yd e qch'EI queld IIehehID dj qè quy cOss!: y=S+yNotiamo scrittoessereche può comeyK 7 ftp.yepè Isey yEsempi: eloYaxey.ci f2xexytt2xy1 cetdxfaxety.cipensa cÈ9 f2xdx Htcy.ci ce'l è etffzx.ecfax2 2 2y x y c4lychee è c 1PG esatto2x in Rdefinite esseredevonocosì solaaxqui

lacondizionileRisolvo 12alcon cantorino Xoyo3Ècè sc 11 yen4 Èè 1Èy È3 cy y.INT fa.em dx2yes cfoo UfoPCN flgdef.iuRiIdgdmquep a 100g294 dixK c 2condicione 3allaImpongo contorno3Si okye ao oyµl'intervallo dovemassimale èIEDè 1vi avevoyoI eKEIxY ndYfIIy.ciya4 c1Xxi A2 4 cdcdofftffdx.lu dato chex Illo11PG 13 a0 1 modelilfaxXxi Rito e B1A 1qui In 41 duepqifoo.io vGixoouCo 1 3 X2 XCdi e2 1 c cy condizioni alle cantoneApplico8 2C4 si R4 yG 1o tooy1Teorema: discontinuità di una funzione derivataRSia derivabileb alloraf la fenianafumiamomaai colR discontinuitàbdelineata di Iha specief unapiùaiDimostrazione: E b discontinuità fdidiXo aprendiamo pieno te1 di eliminabilesiaSupponiamo specieche7 Lline t fewI defa perio pe fioline usandoI'Go dila definizionedelicataXoÈ Efigo impossibileHppene2 di IsiaSupponiamo specieche7 linelive.IE è defme èpoi perXÒio fcxs.fm usando

dilaliline definizione

figo derivataHoxò tfewfai usando dilaline definizione

Lf A derivataHoxò Idiha

Allora diceesclusione al più specieunaperOss!: attenzione alle Hp derivabile in

Se 0l'Hp continuitàdi 1cade è1 non4di scoutduneavereposso innedi saltoesiguate oliospecie y in