Appunti di Equazioni della fisica matematica

Equazioni della fisica matematica è un corso della Laurea Magistrale in Matematica a Torino da 6 cfu che tratta le equazioni differenziali alla derivate parziali. Equazioni lineari: legge di bilancio della massa, trasporto passivo, convezione, flusso diffusivo, metodo delle caratteristiche, esempi: trasporto inquinante in un fiume e dinamica delle popolazioni. Equazioni quasi lineari: variante del metodo delle caratteristiche, breaking time, soluzione di tipo shock (onda d'urto) e onde di rarefazione, teorema di trasporto di Reynolds, Rankine-Huganiot, problema di Riemann e condizione di Lax, esempi: modello del traffico (onda semaforica e ingorghi) e shallow waters (back/front propagation, back/front shock, solutore di Riemann). Equazione del calore: problema di Dirichlet e di Neumann, proprietà dei problemi omogenei, principio del massimo, soluzione esponenziale, separazione delle variabili, heat kernel, esempi: problema delle cantine. Equazione di reazione diffusione: soluzioni a variabili separate, esempi: formazione di pattern alla Turing. Equazione di Laplace: separazione delle variabili, soluzioni fondamentali, identità di Green, funzioni di Green (calcolata per il semipiano superiore e il cerchio centrato in zero), separazione variabili e funzione di Green. Applicazioni: Black-Scholes, probabilità di prima uscita di un moto browniano, tempo atteso di prima uscita, applicazione all'elaborazioni di immagine (filtro di diffusione, Perona-Malik, equazione dell'iconale, shape from shading) Equazione delle onde: corda vibrante lineare, tamburo, variabili separate, problema di propagazione, formula di D'Alambert.