Equazioni della fisica matematica, lezioni

Equazioni della fisica matematica

Appunti aula corso base (web)

Appunti completi (web)

Dispense (Bernelli + Gianni)

• 40% equazioni e sistemi del primo ordine (di cui: propagazione (ecologia fisica), dinamica delle popolazioni, sistemi lineari, shallow water)
• 20% equazioni del secondo ordine (economia, black scholes, probabilità)
• Calore, propagazione e differenze
• 10% Laplace, probabilità
• 10% filtri per immagini

26 Febbraio 2018

Notazione

\(\ddot{x} + \omega^2 x = 0\)

\(x(0) = x_0,\quad \dot{x}(0) = v_0\)

\(x: T \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)

\(F(t, x, \dot{x}) = 0\)

Oscillatore armonico

Se un'incognita dipende in generale anche dallo spazio

\(u = u(x,t)\)

Spaziotempo

Quindi come notazione useremo

\(z = (z_1, \ldots, z_m) \in \mathbb{R}^m, \Omega \subseteq \mathbb{R}^m\) aperto con banda sufficientemente regolare (escludiamo cose tipo i conti, supponiamo che le superfici siano piane)

\(u: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: (x,t) \rightarrow u(x,t)\)

Equazioni della fisica matematica

Appunti aula (annotazioni lavagna)

Appunti completi

Dispense (Bernelli + Gianni)

• 40% equazioni e sistemi del primo ordine (di cui, propagazione dinamica delle popolazioni, sistemi reattivi, shallow water)
• 20% equazioni del secondo ordine (economia, onde acustiche, probabilita’)
• Calore, propagazione e diffusione
• 10% Laplace, probabilita’
• 10% filtri per immagini

Nota

_x + ω²x = 0x(0) = x₀, ẋ(0) = v₀x : T ⊂ ℝ → ℝ F(t, x, ẋ) = 0^*

Di un’incognita dipendiamo in generale anche dallo spazio

u = u(x, t)

Freccia in su tempo

Freccia a destra spazio

Quindi come notazione usiamo

z = (z₁,...,z_m) ∈ ℝ^m, Ω dominio di ℝ^m aperto con bordo sufficientemente regolare (escludiamo cose tipo i coni, lasciamo che la superficie sia piana)

u : ℝ × ℝ → ℝ (x, t) ↦ u(x, t)

Derivate parziali e operazioni differenziali

1. Le derivate parziali le marchiamo con: ∂y_i = ∂_xiu = u_i; ∂y/∂x = ∂_nu = u_n

Alcune operazioni differenziali caratteristiche (sempre apprendendo che n>1 ed m>2)

• ∇u = [∂y/∂x_n, …, ∂y/∂x_m] gradiente
• Div u = ∂u_n/∂x_n + … + ∂u_m/∂x_m divergenza

α. Il gradiente da una funzione associa un campo vettoriale, mentre la divergenza ad un campo vettoriale associa una funzione

3. Δu = div ∇u = ∂²u/∂x_n² + … + ∂²u/∂x_m² laplaciano

Teorema della divergenza

Se D ⊆ ℝ^m e u: ℝ ⊆ ℝ^m → ℝ^m è regolare, è un campo vettoriale allora

∫∫_D div w dv = ∫∫_∂wi w · n da

Dove dv = elemento volume di ℝ^m e da = elemento volume 2d : Sn = normale esterna al 2D

Equazioni differenziali alle derivate parziali

F(x,t,u,u_x,u_t,...) = 0

Derivate parziali fino all'ordine m

Dove u: ΩxI → R; (x,t) → u(x,t)

m = ordine massimo delle derivate = ordine della PDE

E per problemi che non dipendono dal tempo:

G(x,u,∇u,...) = 0 con u: Ω → R x→u(x)

Che cos'è una soluzione

ṽ(t) è soluzione di F(t,ṽ,ṽ',ṽ'') = 0 se F(t,ṽ(t),ṽ'(t),ṽ''(t)) = 0 ∀t

Definiamo soluzione classica una funzione:

ū: IxT → R, tale che ū è C^m (IxΩ) e F(x,t,ū,ū_x(x,t),ū_t(x,t),...) = 0 ∀(x,t) ∈ IxΩ

È un po' troppo chiedere che valga per ogni (x,t)

Uno scopo generalizzato è chiedere che valga quasi ovunque

Abbiamo anche un problema ai regolamenti

Posso avere soluzioni deboli che non rispettano l'equazione differenziale, così come scritta alla PDE

Equazioni lineari del primo ordine

u_t + c(x,t)⋅u_x = 0 con u: ℝ × ℝ → ℝ

x∈ℝ, t∈ℝ, e comunque c(x,t) ∈ C¹(ℝ R x)

Lo PDE F(x,t; u,∇u,∇²u,...) = 0 dice ammette di operare linearmente nella u e le sue derivate.

F(z,t; u + W,∇(u + W),∂t[λ(u + W),...]) =λF(z,t; u,∇u,∂t u) + F(z,t; W,∇W,∂t W) con λ∈ℝ, u,w: ℝ × T → ℝ

Equazioni quasi lineari del primo ordine

u_t + c(u)⋅u_x = 0 con c: ℝ → ℝ

Lo PDE F(x,t; u,∇u,∇²u,...)