Trasmissione dei segnali digitali - Particolarizzazione del ricevitore a minima distanza nel caso di segnalazioni lineari e costellazioni

DOMANDA 17 – Modulazioni Lineari e Costel-

lazioni

Nelle trasmissioni digitali basate su modulazioni lineari, l’insieme dei segnali

trasmissibili viene generato a partire da un unico impulso di base p(t) (reale

o complesso), modulato in ampiezza e/o fase tramite un coefficiente complesso

a :

m s (t) = a p(t), m = 1, 2, . . . , M (199)

m m

{a }

L’insieme degli M valori discreti costituisce la costellazione del sistema

m

nello spazio dei segnali.

Proiezione e Metrica di Decisione Coerente

Il ricevitore calcola la correlazione (proiezione) del segnale ricevuto r̃(t) rispetto

a ciascun possibile segnale della costellazione s (t):

m

+∞ +∞ +∞

Z Z Z

∗

∗ ∗ ∗

R = r̃(t)s (t) dt = r̃(t) [a p(t)] dt = a r̃(t)p (t) dt

m m

m m

−∞ −∞ −∞ (200)

Definendo la variabile fondamentale R come la proiezione del segnale ricevuto

sull’impulso di base p(t): +∞

Z ∗

R = r̃(t)p (t) dt (201)

−∞

la correlazione sul singolo ramo si semplifica nella forma:

∗

R = a R (202)

m m

L’energia associata al segnale trasmesso s (t) è data da:

m

+∞ +∞

Z Z

2 2 2 2

E |s |a | |p(t)| |a | E

= (t)| dt = dt = (203)

m m m m p

−∞ −∞

E

dove rappresenta l’energia dell’impulso generatore p(t).

p

Di conseguenza, la regola di decisione ottima ad aggancio di fase (coerente)

si riduce a massimizzare la metrica: 2

|a | E

m p

∗ − (204)

m̂ = arg max Re [a R]

m 2

m 40

Scomposizione Geometrica e Distanza Efficace

Sfruttando il teorema di rappresentazione (o scomposizione di Gram-Schmidt),

possiamo scomporre lo spazio del segnale ricevuto r̃(t) in due componenti mu-

tuamente ortogonali: p(t)

r̃(t) = r̃ (t) + r̃ (t) = R + r̃ (t) (205)

⊥ ⊥

∥ E

p

dove:

• r̃ (t) rappresenta la proiezione unidimensionale di r̃(t) lungo la direzione

∥

di p(t).

• r̃ (t) rappresenta la componente ortogonale (interamente dovuta al ru-

⊥

more fuori dallo spazio del segnale).

Se calcoliamo la distanza euclidea tra il segnale ricevuto r̃(t) e l’ipotesi

trasmessa s (t), otteniamo:

m

+∞ +∞

Z Z

2 2

|r̃(t) − |(R −

s (t)| dt = a )p(t) + r̃ (t)| dt (206)

⊥

m m

−∞ −∞ +∞ +∞

Z Z

∗ ∗

2 2

|R − | E |r̃ −

= a + (t)| dt + 2 Re (R a ) r̃ (t)p (t) dt

⊥ ⊥

m p m

−&inf