Theory of Measurement

Represents the possible value that the error might have within a given confidence interval. It is then a

function of the selected confidence interval: according to it the way the error is evaluated changes (come già

detto, lʼerrore commesso dipende dal numero di prove che abbiamo considerato per eseguire lʼesperimento).

Esempio:

Measurement of the heat transfer coefficient :

Measured value: .

Error: .

Confidence interval , this means that out of measurements, only will fall out of the range

.

oss: Significa che abbiamo eseguito lʼesperimento e solo una volta il valore misurato di è ricaduto

nellʼintervallo aspettato. Questo è un modo per dichiarare lʼerrore associato a una certa misurazione

tenendo in considerazione quanti provini sono stati usati per ottenere la misurazione finale (che è sempre

una media).

Linear instrument

oss: Sono i più diffusi siccome sono i più semplici. In generale, si cerca sempre di creare trasduttori lineari

per la loro semplicità di utilizzo.

Given the calibration law (linear equation):

Variance of output signal:

oss: rappresenta la deviazione standard della grandezza elettrica (alla quale non si è interessati) che deve

essere legata alla deviazione standard della grandezza da misurare (alla quale si è interessati). Il parametro

che permette di legare le due quantità è proprio la sensitivity.

Variance of input signal:

Theory of Measurement 8

where is the sensitivity (che è il parametro che si osserva per scegliere che trasduttore utilizzare).

oss: La legge di calibrazione ovviamente è lineare e rappresenta la sensibilità (sensitivity) mentre, in

questo caso, . Curve 2 higher sensitivity because for small

changes in the input signal ( ) it gives

high variations in the output signal (

).

oss: La sensitivity non è altro che la pendenza della

curva. La curva due è più interessante siccome a

una piccola variazione di corrisponde una grande

variazione di (maggiore sensitivity).

oss: La sensitivity è il parametro che caratterizza il comportamento statico dello strumento e che devo

osservare per sceglierlo.

Error evaluation – confidence interval

( of measures falls inside ).

( of measures falls inside ).

( of measures falls inside ).

oss: Spesso il primo caso non è sufficiente quindi si usano dei multipli della deviazione standard. Tipicamente

si utilizza il fattore due.

Altri modi per presentare i risultati (in termini di errore) sono:

•

: .

•

of reading:

Esempio (measurement of ):

Theory of Measurement 9

Pitot tube installed inside the channel (circular cross section).

oss: Il tubo è perfettamente allineato con la direzione del flusso quindi il flusso impatta sulla sonda per

realizzare, idealmente, una fermata isoentropica.

Hp: incompressible isentropic flow.

Letʼs apply Bernouilli eq. between sections 1 (upstream, undisturbed flow) and 2 (probe nose):

oss: Tra queste due sezioni non abbiamo variazione di lavoro e nemmeno di calore; abbiamo solo

pressione ed energia cinetica.

But (siccome il flusso impatta sulla sonda), thus:

oss:

Siccome allora la pressione misurata dal tubo di Pitot è pari alla pressione totale a monte,

ovvero nel flusso indisturbato, che è quella che vorremmo conoscere.

La sezione del tubo di Pitot deve essere piccola rispetto alla sezione trasversale siccome altrimenti

altera troppo il flusso e non misuriamo più il flusso indisturbato ma quello disturbato dalla presenza

della sonda (da evitare). Il tubo di Pitot può alterare localmente il flusso ma non deve alterare la portata

massica generale che attraversa il sistema.

Then:

Probe  Pitot tube (responsabile della misurazione della grandezza fisica che vogliamo valutare [la

pressione in questo caso]).

Transducer  U manometer.

Acquisition system = us (siamo noi a leggere la misurazione fatta).

Theory of Measurement 10

oss:

Per poter leggere la misura tipicamente si ha un tubo

ad U trasparente (fatto di vetro) con allʼinterno acqua,

alcool oppure mercurio (dipende dalla precisione

[sensitivity] voluta, che varia in base alla densità del

liquido contenuto).

Questo trasduttore viene utilizzato nel caso di

misurazioni stazionarie siccome, finché siamo noi a

dover leggere la misura, non siamo in grado di

seguire rapide variazioni. Se siamo in condizioni

stazionarie siamo quindi in grado di tradurre una

variazione di pressione in unʼaltezza.

Letʼs apply Bernouilli eq. between the free surfaces A and B of manometric fluid:

If , and :

Where in the relative total pressure.

oss: In questo caso non abbiamo scambio di lavoro, inoltre supponiamo di non avere perdite e di star

facendo una misurazione stazionaria (non avremo quindi energia cinetica); in questo caso avremo solo

pressione e altezza.

Pro: no calibration (non necessita di calibrazione siccome si basa su un principio fisico).

Contro: the frequency response of the recording system (può essere utilizzato solo per un flusso

stazionario e quindi non può essere applicato nel caso di numerose misurazioni).

oss: Essendo costante allora la sensibilità in questo caso è quindi cambiando tale valore può cambiare

il valore ottenuto in uscita. Questo trasduttore darà sempre un valore corretto di pressione siccome è

basato su un principio fisico (il legame tra pressione e altezza è noto a priori e non richiede calibrazione).

To improve the speed of the measurements the solution is change the trasductor; a tipical trasductor used

in this type of measurements (used not only for pressure) is strain gange:

Assuming that the deformation of the diaphragm is small and that the bridge works near the equilibrium

condition, then a linear relationship between voltage and pressure can be assumed:

Theory of Measurement 11

oss: La relazione lineare la si ha solo nel caso in cui si hanno piccole variazioni di pressione; in questo

caso la sensibilità è .

Pro: voltage output easy to be acquired (adatto per misurazioni rapide di pressione).

Contro: a calibration is request (bisogna definire la relazione tra pressione e voltaggio).

oss: Siccome la calibrazione varia in base a come si acquisiscono i dati è sempre una buona idea rifare la

calibrazione tra un utilizzo e lʼaltro.

Calibration consists in experimentally evaluate the values of constants and necessary to define the

Calibration Curve.

oss: Esistono diverse classi di strumenti in base ai differenti livelli di accuratezza. I trasduttori primari che

sono i riferimenti mondiali (mantenuti da degli istituti); per certificare la calibrazione di uno strumento

bisogna quindi mandarlo allʼistituto dove si trova il trasduttore primario che permette di fare la calibrazione.

Se non devo certificare la calibrazione si può calibrare un trasduttore in laboratorio utilizzandone uno

caratterizzato da unʼaccuratezza e una precisione migliore di quello che voglio calibrare. In questo caso,

collego lʼimpianto dellʼaria compressa, tramite una valvola, a un plenum che permette di alimentare

entrambi i trasduttori in parallelo con la medesima pressione; agendo sulla valvola posso variare la

pressione ottenendo in uscita, per valore discreti di pressione, due valori di tensione (con la differenza che

quello del trasduttore di riferimento so già tradurlo in un valore di pressione siccome conosco la sua

calibrazione). Comparando la pressione del trasduttore di riferimento con il voltaggio di quello da calibrare

disegno la curva di calibrazione; mi aspetto che essa sia lineare, ma non essendo sicuro, non mi baso solo

su due punti ma su più misurazione. Per ogni punto non faccio una singola misurazione ma utilizzo più

campioni (facendo la media) creando così una curva il più precisa possibile siccome da essa dipenderà la

precisione e lʼaccuratezza delle misurazioni future.

Factors influencing the Error

Many factors affect the accuracy of the final value measured:

Theory of Measurement 12

oss: I disturbi di sistema possono essere dovuti allʼinterazione tra il sistema e il flusso. Il processamento del

segnale si ha sempre siccome non si effettua mai una misurazione diretta ma si effettua sempre una

misurazione indiretta.

The Uncertainty on the final measured value is calculated taking into account the uncertainties of all

quantities involved in the measurement chain and in the processing.

How to compute the uncertainty?

oss: Ipotizziamo che il valore misurato dipenda da variabili. Con lʼerrore massimo posso ottenere una sovra-

stima dellʼerrore reale siccome sommo tutti i contributi indipendentemente dal peso effettivo della variabile

considerata sullʼerrore (magari alcuni errori si compensano a vicenda). Normalmente si utilizza lʼerrore medio

siccome esso permette di risolvere tale problema. Il significato delle derivate parziali è la sensitivity ovvero

come il valore misurato dipende dalle varie variabili.

Esempio (measurement of ):

Theory of Measurement 13

oss: è la tensione che si ha quando la variazione di pressione perfettamente nulla (la membrana dello

strain gange è piatta). Nel mondo reale la variazione di resistenza non sarà mai perfettamente nulla

anche quando le due pressioni sono perfettamente identiche (siccome, in generale, sono molto piccoli

e possono presentare problemi di deposizione del materiale resistivo) producendo quindi una tensione

in uscita non nulla. Questo crea un contributo spurio che può essere eliminato sottraendo (cosa

fatta in campo accademico ma non industriale creando un errore ulteriore). Prima di iniziare una

misurazione si effettua quindi unʼacquisizione per avere il valore di (zero dello strumento) che verrà

sottratto a tutte le acquisizioni future permettendo di misurare correttamente la pressione.

Conoscendo la curva di calibrazione noto che vi sono delle variabili allʼinterno; in particolare, il valore

letto alla fine (pressione) dipende da come realizzo lo zero dello strumento, dalla sensitivity dello

strumento e dal modo in cui leggo il voltaggio. Le quantità con il delta davanti rappresentano

lʼincertezza che ho su tali grandezze. Applicando la definizione di errore medio visto in precedenza

devo valutare le derivate parziali di ogni variabile ottenendo il valore di ; il primo termine può essere

eliminato correggendo lo zero dello strumento, il secondo termine dipende da come ho eseguito la

calibrazione (anche essa è affetta da incertezza siccome non ho utilizzato uno strumento perfetto ma

ho usato un trasduttore secondario). Bisogna quindi applicare lo stesso approccio alla calibrazione

andando a calcolare la sensitivity . Sostituendo le due equazioni ricavate si può trovare da cosa

effettivamente dipende il della lettura del trasduttore. In conclusione, esso dipende dallo zero dello

strumento, dallʼincertezza del riferimento scelto e due volte dal modo di lettura