Statistica - primo parziale

frequenza assoluta: (N_i) → unità statistiche che possiedono xi tot: N

frequenza relativa: (fi) → ni/N tot: 1

fi → frequenza percentuale: → fi∗100 tot: 100%

frequenza cumulata assoluta: (N_i) → unità statistiche che coinvolgono il ≤ xi

N_i = n₁ + n₂ + n₁ + n₂ + n₂ + n₃ + ... → se lo Ni perd. trovare

FL = N_i/N

frequenza cumulata relativa: (F_i) → N_i/N o F1 = f1 F2 = f1+f2 F3 = F2+f3

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE

• ORDINARI → no possono prendere misure

• QUALITATIVO NON NUMERICO
• QUALITATIVO ORDINALE
• QUANTITATIVO DISCRETO
• QUANTITATIVO IN CLASSI CONTINUO → possono prendere misure

a torta a barre ad aste istogramma

a torta → ampiezza fette % quali. nom

a barre → x = modalità della variabile quali. nom ord q/t di

y = fi di ni

base uguale altezza uguale a fi di ni

a asto y = fi di ni quanti diss.

x = modalità

istogramma rettangolo per ogni classe/categori accostati quanti conti

→ area b ∗ k = f_i ∗ di = fi

base = lunghezza classe di = C_i-C_i0

altezza = fi/di = fi/(di-deguista)

a chi permette di confrontare classi di ampiezza diversa

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE F(x)

F(x) = Fr(X ≤ x) è frequenza relativa es: k redatto x:1000 F(x) ≤ 1000

1^o caso v quantitativo discreto

f1+ff = 1 cos F1 F1 1

F(x) composta da 0 per x minore del più piccolo e 1 per x e maggiore del più grande

grafico a scalini proprietà torde a cero per valori di fi molto piccoli continua in x con salto per f(x) > 0

a percentuale di modo grande finerale (0 x=a)

a decrescente continua parte da ad altezza gradini

2º caso: quantitativo continuo (classi)

F(i)=F(a_i-1) + f(i)(x-c_i-1)

Grafico: i punti si uniscono in modo lineare per trovare i punti cambiodi e tra i due estremi della classe (prima uno e poi l'altro). Proprietà: spettato formato da tratti differenti diventa _x→-∞lim F(x)⁺ = 1/2lim F(x)_-∞ e non è decrescente è continua.

INDICI SINTETICI:

MISURE DI CENTRALITÀ

MISURE DI VARIABILITÀ

MISURE DI CONCENTRAZIONE

medie

varianza

indice di Gini

mediana

moda

quartili

INDICI DI POSIZIONE

MEDIE ANALITICHE: aritmetica/aritmetica ponderata/geometrica/quadratica

MEDIE DI POSIZIONE: mediana/primo e terzo quartile

MODA

Media

aritmetica quantitativi

μ= (x1 + x2 + ... + xn)/N = ∑ xi / N

Con frequenze assolute (ni) => xi na tx1 n2t2 ... tx^pK n^c = (∑ xsnx) / N = 1/N ∑i^s=1 xsns = μ

con frequenze relative (fi) => x1f1 x2f2 ... xkfk = ∑ fi xi ci = μ

caratteri in classi:

Con ni = μ ∑ fi xi:

xj= (Cα+Cβ)/2

Con fi => xi= Σs=xfi ki => approssimazione non migliore quando le classi hanno ampiezza ridotta

Proprietà: linearità/associativa/media aritmetica non è robusta

Media

aritmetica ponderata

β⁼ valore di X wι= peso di x

μw= ∑ xi wi / ∑ wi

VARIANZA

g² = S₂/N

g²: la media degli scarti al quadrato di x dalla media aritmetica

• dati a gruppetti: g² = 1/m Σ (xi - M)²
• frequenze assolute: g² = 1/N Σ (x_i - M)² n_i
• frequenze relative: g² = Σ (x_i - M)² f_i
• variabili a classi: g² = Σ (x_i - M)² f_i

M.c. g² ≥ 0 e g = 0 se e solo se tutti gli scarti sono nulli, tutte le x_i sono uguali alla media o una fa da estremo superiore

• VANTAGGI: uso tutti i dati
• SVANTAGGI: dipende dall'unità di misura della ​ x
• PROP: g² ≥ 0 (ma) e fórmula alternaviva: g² = 1/N Σ (x_i - N · M)² trasformazioni lineari

SCARTO QUADRATICO MEDIO (DEVIAZIONE STANDARD)

radice quadrata della varianza

G = √g²

• VANTAGGI: siamo tutti di misura della ​ abbina
• FUSA tutti i dati

USO per intervalli di confidenza: M ± δ

COEFFICIENTE di VARIAZIONE

(CV)

• serve per confrontare la variabilità di 2 o più variabili che hanno un'unità di misura diversa
• unica ea permette il confronto tra caratteri diversi

CV = δ/|M| → índica pura in unità di misura

• CV ≥ 0
• CV = 0 e solo se tutte le xi sono uguali tra loro e alla media x = x₁ = ... = x_n = xM
• CV non fa da estremo superiore

MISURE DI CONCENTRAZIONE

Si identifico concentrazione la tendenza dei dati ad benne concentrati "nelle mani di poche unità",

statistica → se reddito fume più dimensione / attivato aziendale

CASI ESTREMI

• minima concentrazione: caso di equidistribuzione quando tutte le unità statistiche dei non posseggono la stessa quantità della variabile xi = x₁ = x₂ = ... = x_n = A/N = Σ
• massima concentrazione = quando è sola unità statistica possiede tutto l'intero ammontare disponibile della variabile di interesse: x₁ = x₂ = ... = x_n = 0 < x_i ≠ l

xM = Σ_kN = Σ_FM = A (committente complessivo)

Indipendenza lineare e indici di concordanza

• Indipendenza statistica: vale per x e y di qualunque natura.
• Indipendenza in media: almeno una delle due variabili (x e y) deve essere quantitativa.
• Indipendenza lineare: entrambe le variabili devono essere quantitative.

L'indipendenza statistica si media quale: se Fono legame

L'indipendenza statistica è la forma piú forte ed implica tutte le altre forme f (x) f (x,y)

• Se x e y sono statisticamente indipendenti allora x (qualunque) è anche indipendente in media da y (valore) e tutte le medie condizionate di x sono uguali tra loro e al valore di x.
• Se x (qualunque) è indipendente in media da y (valore) allora x è solo statisticamente indipendente y dipende in media da x e y sono solo dipendenti statisticamente.

Indipendenza lineare (d'incominciate): si studia se esterne un legame di tipo lineare e approssimabile con una retta tra x e y, entrambe quantitative.

• Si osserva la nuvola di punti e si ipotizza un modello lineare ai valori di x dell'axis pdf. I corrispondo valori su di essa, e si osserverebbe un debole legame crescente.

Ogni punto indica un'unità statistica

Tipi di grafici lineari

• • Linea crescente perfetta
  • X costante e Y varia (legame lineare nullo)
  • Punti sparsi in maniera randomica sul piano (legame lineare nullo)
• • Linea decrescente perfetta
  • Punti sparsi
• • Forte legame positivo
  • Legame positivo abbastanza forte

(Casi in cui non c'è legame lineare tra x e y)

Indici per misurare il grado di indipendenza lineare tra x e y

• Covarianza
• Coefficiente di correlazione lineare

Covarianza: misura quanto x e y co-variano (variano insieme) in maniera lineare.

• x e y co-variano in senso positivo: a valori piccoli/grandi di x corrispondono valori piccoli/grandi di y.
• x e y sono concordanti, co-varianza positiva.