Statistica descrittiva

Capitolo 2

Insieme di n unità statistiche.

Variabili statistiche

X, Y, Z, … = variabili rilevate

x, y, z, … = modalità che le variabili assumono nell'unità statistica i (= 1,2,3,...n)

Matrice dei dati

Forma tipica per presentare i dati delle variabili osservate su un insieme di unità statistiche è la Matrice dei Dati.

• Riga = un’unità statistica e contiene le modalità delle variabili osservate sull'unità stessa.
• Colonna = una variabile e contiene le modalità di quest'ultima.

Esempio di matrice: la matrice dei dati è composta da tante colonne quante sono le variabili considerate. Considerando una singola colonna, indichiamo X con la variabile corrispondente, in questo caso il sesso: sequenze M, F, M, … possono essere indicate con x₁, x₂, …, x_n (dove x_i, con i = 1,2,3,…n, è la modalità di X osservata sull'unità i).

Serie di osservazioni

Serie di osservazioni della variabile X = per un insieme di n unità statistiche, le osservazioni della variabile generica X sulle n unità dell'insieme vengono indicate con la sequenza x₁, x₂, ..., x_n.

Se osservazioni si riferiscono ad una sola variabile si può usare l'espressione = Serie Semplice di Osservazione.

Consideriamo 2 variabili, quelle dell’età e del peso, che indichiamo con X e Y: (A,12), (A, 15),… (C,19) = in termini generali diventano (x₁, y₁), (x₂, y₂),…, (x_n, y_n).

Serie doppia di osservazioni

Serie doppia di osservazioni delle variabili X e Y = per un insieme di n unità statistiche, le osservazioni delle variabili X e Y sulle unità dell'insieme vengono indicate con la sequenza di coppie ordinate (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_n, y_n).

Serie multipla di osservazioni

Serie tripla di osservazioni = nel caso di 3 variabili X, Y e Z, la sequenza di terne ordinate (x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂), …, (x_n, y_n, z_n).

L'espressione generale per indicare una sequenza di osservazioni su due o più variabili è Serie Multipla di Osservazioni.

Oggetto della statistica descrittiva

Rappresentazioni e analisi tramite indici sintetici di serie di osservazioni relative a singole variabili si parla di Analisi Statistica Univariata.

Distribuzione di frequenza

Come costruire una distribuzione di frequenza da una serie di osservazioni di una variabile qualitativa = bisogna contare quante volte la singola modalità della variabile è presente nei dati. Quando la serie è composta da un numero limitato di osservazioni, si utilizza una tabella di spoglio.

Esempio: Sulla base della tabella sopra, costruisci la distribuzione di frequenza per la variabile età.

Tabella di spoglio con 2 colonne, dove nella 1ª saranno le modalità e nella 2ª ci saranno i risultati dello spoglio.

Distribuzione di frequenza per una variabile quantitativa discreta

Distribuzione di frequenza = costituita dalla lista delle modalità di X e delle rispettive frequenze.

• x₁, x₂, …, x_k = le sue modalità.

Un sinonimo di distribuzione di frequenza può essere "tabella di frequenza".

Spesso accanto alle frequenze assolute vengono inserite le Frequenze Relative (o proporzioni), si ottengono rapportando le frequenze assolute al totale delle unità n: f_i = n_i / n, i = 1, 2, …, k.

Proprietà: f₁ + f₂ + … + f_k = 1, 0 < f_i < 1, i = 1, 2, …, k.

P_i = f_i • 100, i = 1, 2, …, k.

Quando associamo alle modalità le frequenze relative o le frequenze percentuali = Distribuzione di Frequenza Relativa oppure Distribuzione di Frequenza Percentuale.

Frequenze cumulate

Se le modalità della variabile sono ordinabili, si possono definire le frequenze cumulate. Data la distribuzione di frequenza della variabile X a modalità ordinabili, la frequenza cumulata delle modalità x_i (i = 1, 2,…, k) è definita come il numero di unità che presentano modalità inferiori o uguali a x_i: N_i = n₁ + n₂ + … + n_i, i = 1, 2, …, k.

Associando alle modalità di X le rispettive frequenze cumulate, si ottiene la distribuzione di frequenza cumulata.

Le quantità F_i = N_i / n, i = 1, 2, …, k, moltiplicate per 100 fanno ottenere le Frequenze Cumulate Percentuali.

Esempio: Calcola la distribuzione di frequenza cumulata (assoluta e relativa) per la seguente distribuzione di frequenza.

• Frequenze assolute cumulate: la prima si ottiene con la 1ª frequenza assoluta da sola, la seconda si ottiene sommando 1ª e 2ª frequenza assoluta, la terza si ottiene sommando 1ª, 2ª e 3ª frequenza assoluta e così via.
• 1ª= 6, 2ª= 6 + 8 = 14, 3ª= 6 + 8 + 3 = 17, 4ª= 6 + 8 + 3 + 2 = 19, 5ª= 6 + 8 + 3 + 2 + 1 = 20.
• Frequenze relative cumulate: si ricavano dividendo per 20 le frequenze assolute cumulate.
• 1ª= 6 : 20 = 0,30, 2ª= 14 : 20 = 0,70, 3ª= 17 : 20 = 0,85, 4ª= 19 : 20 = 0,95, 5ª= 20 : 20 = 1.

Distribuzione di frequenza in classi

Quando l'osservazione di una variabile continua dà luogo ad un insieme di misure in gran parte diverse tra loro, ha senso formare delle classi raggruppando le misure vicine tra loro in intervalli numerici. Con queste si procede allo spoglio e si ottiene la Distribuzione di Frequenza in Classi.

Raggruppiamo in classi i dati della lunghezza dell'avambraccio di 140 maschi adulti: classi: [41,42], [43,44], [45,46], [47,48], [49,50], [51,52], [53,54].

Per ciascuna unità si legge il valore assunto dalla variabile e lo si assegna alla classe di appartenenza. Al termine dell'operazione di spoglio vengono conteggiati i casi appartenenti alla singola classe e viene costruita la distribuzione di frequenza associando a ciascuna classe la rispettiva frequenza.

Ad ogni osservazione di variabile continua, corrisponde un intervallo di valori possibili = intervallo di tolleranza, quindi le classi si devono riscrivere: sono le cosiddette Classi Reali 40,5 - 42,5; 42,5 - 44,5; ... ; 52,5 - 54,5.

Tendenzialmente le classi reali si utilizzano quando la variabile è una durata espressa in intervalli temporali (giorni, mesi, anni), es. l'età in anni compiuti, il numero intero che esprime la durata è il risultato di un'approssimazione per difetto della durata effettiva.

Se gli estremi di classe sono numeri che presentano la stessa precisione delle osservazioni da classificare, bisogna stabilire la chiusura prima di eseguire lo spoglio.

Esempio: Per raggruppare nelle classi 1.0 - 2.0 e 2.0 - 3.0 le osservazioni: 1.2, 1.8, 2.4, 2.0, 1.5,... bisogna decidere dove collocare 2.0? Classe chiusa sia a destra che a sinistra:

• Se si assegna alla prima classe = ciascuna classe sarà chiusa a destra: [a;b].
• Se si assegna alla seconda classe = ciascuna classe sarà chiusa a sinistra: (a;b].

Le k classi in cui è suddivisa la variabile X sono indicate con: c₀ - c₁; c₁ - c₂; ...; c_k-1 - c_k. Il limite superiore di ogni classe è uguale al limite inferiore della classe successiva.

Dunque, la distribuzione di frequenza di una variabile suddivisa in classi, denominata Distribuzione di Frequenza in Classi, è costituita dalle classi con le rispettive frequenze.

Conseguenza del raggruppamento in classi = perdita di informazioni; queste non si conoscono più individualmente, ma se ne conosce solo l'appartenenza alla classe.

Esempio: Considerando la seguente distribuzione di frequenza, si individuino le classi reali e si spieghi il significato delle classi estreme.

Le classi reali sono: <15, 15 - 35, 35 - 65, >65. Classi estreme = la prima contiene i soggetti con età minore di 15 anni, mentre l'ultima contiene tutti i soggetti con età maggiore o uguale a 65 anni.

Valore centrale di classe, ampiezza di classe e densità di frequenza

• Il valore centrale della classe si ottiene determinando la semi-somma degli estremi: x_i = (c_i-1 + c_i) / 2.
• L'ampiezza della classe si ottiene determinando la differenza tra estremo destro ed estremo sinistro: d = c_i - c_i-1, i = 1, 2,...k.
• La densità di frequenza si ottiene determinando il rapporto tra frequenza e ampiezza della classe: h = n_i / d_i, i = 1, 2,...k.

Le densità di frequenza sono particolari rapporti di densità: la frequenza della classe i viene divisa per l'ampiezza di questa, in modo tale che il numero risultante indichi quante sono in media le unità per unità di ampiezza della classe.

Esempio: Si determinino le densità di frequenza per la seguente distribuzione: frequenza della i-esima classe = 2.5, ampiezza della i-esima classe 2.0, h = 1.25.

Distribuzione uniforme delle unità nelle classi

Per Distribuzione Uniforme delle Unità nelle Classi si intende questa particolare disposizione delle n unità nella classe i.

Conseguenza = prendendo un sotto intervallo di ampiezza δ nella classe i-esima, il numero di unità, n(δ;i), appartenenti ad esso è proporzionale a δ, con coefficiente di proporzionalità pari alla densità di frequenza della classe: n(δ;i) = δ • d_i.

Costruzione di una distribuzione doppia di frequenza

Si consideri la classe c_i-1 - c_i con frequenza n_i e ampiezza d_i = c_i - c_i-1. Suddividendo la classe in n_i intervalli della stessa ampiezza d_i si ottiene:

Costruzione di una distribuzione doppia di frequenza: partendo da una serie doppia di osservazioni (x₁; y₁), …, (x_n; y_n), le x si dispongono sulla colonna, mentre le y sulla riga in modo da avere una tabella s • t caselle.

Il conteggio avviene idealmente esaminando la singola coppia (x_i; y_i) della serie doppia di osservazioni e inserendo una lineetta verticale nell'apposita casella di una tabella di spoglio doppio.

Esempio: Si costruisca la distribuzione doppia di frequenza per le coppie di osservazioni contenute nella seconda e terza colonna: classi = 4.5 - 10.5; 10.5 - 15.5; 15.5 - 20.5; 20.5 - 25.5.

La distribuzione doppia di frequenza è denominata anche Tabella di Contingenza.

Serie storiche e serie territoriali

Serie Storica: Sequenza ordinata delle modalità di una variabile quantitativa osservate a intervalli di tempo equidistanti (tempo = intervallo temporale o preciso istante).

Esempio 1: Intervallo temporale.

Esempio 2: Preciso istante.

Serie Territoriale: Quando le modalità della variabile d’interesse sono riferite a entità territoriali.

Esempio: Si supponga di aver osservato p variabili, X₁, X₂, …, X_p, su un insieme di n unità statistiche.

• La matrice dei dati ha dimensioni n • p e i suoi elementi sono caratterizzati:
• Le righe rappresentano le n unità statistiche.
• Le colonne rappresentano le p variabili osservate.
• Generico elemento x_il (i = 1, 2,…n; l = 1, 2,…p).
• Elementi della generica riga i-esima rappresentano le modalità delle p variabili osservate sulla stessa i-esima unità (riga intera = intero corredo informativo della i-esima unità).
• Elementi della generica colonna l-esima rappresentano le modalità della variabile l-esima osservate su tutte le n unità.

Tipi di dati mancanti

Due tipi di dati mancanti = Mancate Risposte Totali e Mancate Risposte Parziali.

• Le prime si hanno quando sono assenti tutte le informazioni riguardanti una o più unità delle rilevazioni statistiche (nella matrice di dati vi sono una o più righe in meno rispetto al numero di unità statistiche rilevate) e può succedere che l'insieme dei rispondenti non sia rappresentativo della popolazione di riferimento.
• Le seconde si hanno quando uno o più intervistati non rispondono a qualche domanda (i dati mancanti sono sparpagliati nella matrice di dati).

Soluzione: Vengono utilizzati criteri di pulitura dei dati standard, che restituiscono una matrice senza lacune (meccanismo casuale o basato su criteri di similarità).

Dati anomali

Dati anomali = sono rappresentati da quelle modalità che differiscono sensibilmente dalle restanti = possono essere causati da un'elevata variabilità intrinseca del fenomeno al quale ci si riferisce, da errori di rilevazione/registrazione, …

Soluzione: Se è causato da un errore di rilevazione non correggibile, si elimina e si tratta come dato mancante; se è causato dalla variabilità intrinseca della variabile, si conserva e si attua una trasformazione per attenuarne l'effetto sull'elaborazione dei dati.

Errori di misura

Errori di misura = sono definiti come le differenze tra le modalità reali assunte dalle variabili e quelle rilevate dalla singola unità statistica = possono essere causati dal rispondente/rilevatore, durante il trattamento ed elaborazione dei dati, …

Gli errori di misura possono essere irriconoscibili o produrre dati inammissibili/anomali (quelli inammissibili vengono cancellati e trattati come mancanti).

I dati mancanti e gli errori di misura sono qualificati come errori non campionari, in modo da differenziarli dai cosiddetti errori campionari che, tra l’altro, si riferiscono all’interno campione.

Grafici statistici

I grafici hanno la capacità di rappresentare in modo sintetico ed efficace i dati:

• Visibili le caratteristiche essenziali dei dati, facilitando l'interpretazione dei fenomeni.
• Semplificano la complessità dei dati.
• Consentono il confronto fra due o più insieme di dati.

Distribuzioni di frequenza di variabili discrete

Distribuzione di frequenza di una variabile discreta.

Grafico a punti

Grafico a punti: dove la modalità x_i viene rappresentata con un punto. Se il numero n delle unità non è grande, una rappresentazione semplice è il grafico a punti ripetuto tante volte quante è la sua frequenza.

Esempio: Grafico a punti della distribuzione di frequenza della variabile esame (punti disposti in colonna).

Grafico della funzione di frequenza

Grafico della funzione di frequenza: per descrivere la relazione tra frequenza e modalità in una distribuzione di frequenza di una variabile discreta, si può definire la funzione di frequenza.

Rappresentazione grafica: riportare i valori della variabile sull'asse orizzontale, le frequenze sull'asse verticale e disegnare per ogni x_i una linea verticale di altezza n_i.

Esempio: Distribuzione del numero di esami superati nel 1º anno di corso di economia si ottiene il Grafico ad Aste.

Grafico a nastri

Grafico a nastri: le linee verticali associate alle modalità della distribuzione possono essere sostituite con nastri di altezze/lunghezze corrispondenti alle frequenze.

Esempio: Distribuzione percentuale delle famiglie per dimensione in Italia, Francia e Germania nel 2018.

Grafico della funzione di ripartizione

Grafico della funzione di ripartizione: data una distribuzione di frequenza della variabile discreta X, la funzione di ripartizione, F(x), è la funzione che associa a ogni numero reale x la frequenza relativa delle unità in cui X < x.

Esempio: Distribuzione di frequenza ipotetica del numero di figli in un campione di 50 famiglie.

F_i = frequenza relativa cumulata per x_i = x₁ (x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2).

• F(x) = 0, se x < x₁.
• F(x) = F_i, se x_i < x < x_i+1, i = 1, 2,…, k-1.
• F(x) = 1, se x > x_k.

È una funzione costante a tratti che presenta salti pari a f₁, f₂,... f_k nei punti x₁, x₂,...x_k.

Esempio: Funzione di ripartizione della distribuzione di frequenza della tabella del numero di esami superati nel 1º anno di corso della facoltà di economia.

Le frequenze relative cumulate delle modalità: 0, 1, 2, 3, 4, 5 sono: 0.044, 0.175, 0.438, 0.806, 0.984, 1.000.

Funzione di ripartizione = funzione costante a tratti che assume valore 0.044 nell'intervallo [0;1), 0.17 nell'intervallo [1;2) e così via.

Distribuzioni di frequenza in classi

Grafico a punti

Può essere utilizzato anche per rappresentare una serie di osservazioni di una variabile continua (prima che queste siano raggruppate in classi).

Distribuzione di frequenza in classi:

• n osservazioni della classe c₀ - c₁,
• n osservazioni della classe c₁ - c₂,
• e così via.

Istogramma di frequenza

L’istogramma di frequenza rappresenta una distribuzione di frequenza in classi. Per la sua costruzione si riportano gli estremi di classe sull'asse orizzontale, le densità di frequenza sull'asse verticale; si disegna poi sopra ogni classe un rettangolo di altezza pari alla densità di frequenza e di area pari alla frequenza di classe = h.

Esempio: Il grafico può essere usato anche per le frequenze relative = sull'asse verticale si pongono le densità delle frequenze relative f_i / d_i.

Grafico della funzione di ripartizione

Data una distribuzione di frequenza in classi, nell'ipotesi di uniforme distribuzione delle unità nelle classi, …