Statistica descrittiva

Densità di frequenza per la distribuzione

Si determinino le densità di frequenza per la seguente distribuzione:

5frequenza della i-esima classe = 2.5h =h = D1.i 2.0ampiezza della i-esima classe 17 = 8.5h =2 2.0... 6 = 3.0h =7 2.0si consideri la classe c - c con frequenza n e ampiezza d = c - ci-1 i i i i i-1 dsi suddivida la classe in n intervalli della stessa ampiezza iiD niPer DISTRIBUZIONE UNIFORME DELLE UNITÀ NELLE CLASSI si intendequesta particolare disposizione delle n unità nella classeiconseguenza = prendendo un sotto intervallo di ampiezza δ nella classe i-esima, il numero di unità, n(δ;i), appartenenti ad esso è proporzionale a δ, n •con coefficiente di proporzionalità pari alla densità di frequenza della classe in(δ;i) = δd i le x si dispongano sullascolonna, mentre le ycostruzione di una distribuzione doppia di frequenza tx , x ,…, x = modalità distinte di X1 2 s sulla riga in modo dapartendo da una serie

doppia di osservazioni (x ; y ),… (x ;y )1 1 n n D y , y ,…, y = modalità distinte di Y1 2 t avere una tabella s • tcaselle

Il conteggio avviene idealmente esaminando la singola coppia(x ;y ) della serie doppia di osservazioni e inserendo una lineettai iverticale nell'apposita casella di una tabella di spoglio doppio

ESEMPIO: si costruisca la distribuzione doppia di frequenza per le coppiedi osservazioni contenute nella seconda e terza colonna:

classi = 4.5 - 10.5; 10.5 - 15.5; 15.5 - 20.5; 20.5 - 25.5 f

La distribuzione doppia di frequenza è denominata anche TABELLA DI CONTINGENZAi2 tipologie speciali di dati = serie storiche e serie territoriali

SERIE STORICA: sequenza ordinata delle modalità di una variabile quantitativa osservati a intervalli ditempo equidistanti (tempo = intervallo temporale o preciso istante)

ESEMPIO 1: intervallo temporale

ESEMPIO 2: preciso istante

SERIE TERRITORIALE: quando le modalità della variabile

rilevazioni statistiche (nella matrice di dati vi sono una o più righe in meno rispetto al numero di unità statistiche rilevate) può succedere che l'insieme dei rispondenti non sia rappresentativo della popolazione di riferimento. Le seconde si hanno quando uno o più intervistati non rispondono a qualche domanda (i dati mancanti sono sparpagliati nella matrice di dati).

SOLUZIONE = vengono utilizzati criteri di pulitura dei dati standard, che restituiscono una matrice senza lacune (meccanismo casuale o basato su criteri di similarità).

DATI ANOMALI = sono rappresentati da quelle modalità che differiscono sensibilmente dalle restanti = possono essere causati da un'elevata variabilità intrinseca del fenomeno al quale ci si riferisce, da errori di rilevazione/registrazione,...

SOLUZIONE: se è causato a un errore di rilevazione non correggibile, si elimina e si tratta come dato mancante; se è causato dalla variabilità

intrinseca della variabile, si conserva e si attua una trasformazione per attenuarne l'effetto sull'elaborazione dei dati

ERRORI DI MISURA = sono definiti come le differenze tra le modalità reali assunte dalle variabili e quelle rilevate dalla singola unità statistica = possono essere causati dal rispondente/rilevatore, durante il trattamento ed elaborazione del dati,...

Gli errori di misura possono essere irriconoscibili o produrre dati inammissibili/anomali (quelli inammissibili vengono cancellati e trattati come mancanti)

i dati mancanti e gli errori di misura sono qualificati come errori non campionari, in modo da differenziarli dai cosiddetti errori campionari che tra l'altro si riferiscono all'interno campione

I grafici hanno la capacità di rappresentare in modo sintetico ed efficace i dati:

• visibili le caratteristiche essenziali dei dati, facilitando l'interpretazione dei fenomeni;
• semplificano la complessità dei

dati;• consentono il confronto fra due o più insiemi di dati.

DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA DI VARIABILI DISCRETE

distribuzione di frequenza di una variabile discreta

GRAFICO A PUNTI: dove la modalità x viene rappresentata con un punto se il numero n delle unità non è grande, una rappresentazione semplice è il grafico a punti ripetuto tante volte quant'è la sua

ESEMPIO: grafico e punti della distribuzione di frequenza della variabile esame frequenze n i (punti disposti in colonna)

GRAFICO DELLA FUNZIONE DI FREQUENZA: per descrivere la relazione tra frequenza e modalità in una distribuzione di frequenza di rappresentazione grafica una variabile discreta, si può definire la funzione di frequenza consiste nel riportare i valori della variabile sull'asse x, se x = x, i = 1, 2,..., ki in(x) = orizzontale, le frequenze 0, altrove

ESEMPIO: sull'asse verticale e disegnare per ogni x una linea verticale idistribuzione del numero di

Esami superati nel 1° anno di altezza nel corso di economia si ottiene il GRAFICO AD ASTEGRAFICO A NASTRI: le linee verticali associate alle modalità della distribuzione possono essere sostituite con nastri di altezze/lunghezze corrispondenti alle frequenze = GRAFICO A NASTRIESEMPIO: distribuzione percentuale delle famiglie per dimensione in Italia, Francia e Germania nel 2018GRAFICO DELLA FUNZIONE DI RIPARTIZIONE: data una distribuzione di frequenza della variabile discreta X, la funzione di ripartizione, F(x), è la funzione che associa a ogni numero reale x la frequenza relativa delle unità in cui X < xESEMPIO: distribuzione di frequenza ipotetica del numero di figli in un campione di 50 famiglieF = frequenza relativa cumulata per x = x (x = 0, x = 1, x = 2)i i 1 2 3{ è la frequenza delle unità che presentano una modalità minore di x (più piccola)0, se x < x 1 non ci sono unità che presentano modalità maggiore

di x e minore di xF , se x < x < x , i = 1, 2,… k-1F(x) = i i+1i i i+1 tutte le unità presentano una modalità minore o uguale a x (più grande)1, se x > x kkè una funzione costante a tratti che presenta del salti pari a f , f ,... f nei punti x , x ,...x1 2 k 1 2 k

ESEMPIO:funzione di ripartizione della distribuzione di frequenza della tabella del numero diesami superati nel 1º anno di corso della facoltà di economia.

Le frequenze relative cumulate delle modalità: 0, 1, 2, 3, 4, 5 sono: 0.044, 0.175, 0.438, 0.806, 0.984, 1.000

funzione di ripartizione = funzione costante a tratti che assumevalore 0.044 nell' intervallo [0;1), 0.17 nell'intervallo [1;2) e così via

DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA IN CLASSIGRAFICO A PUNTI:può essere utilizzato anche per rappresentare una serie di osservazioni di una variabile continua(prima che queste siano raggruppate in classi) n osservazioni1della classe c - c ,0 1n

osservazioni distribuzione di frequenza in classi: 2 della classe c - c ,1 2 e così via

l'istogramma di frequenza rappresenta una distribuzione di frequenza in classi. Per la sua costruzione si riportano gli estremi di classe sull'asse orizzontale, le densità di frequenza sull'asse verticale; si disegna poi sopra ogni classe un rettangolo di altezza pari alla densità di frequenza e di larghezza pari alla frequenza di classe = h

ESEMPIO:

il grafico può essere usato anche per le frequenze relative = sull'asse verticale si pongono le densità delle frequenze relative f / di i

GRAFICO DELLA FUNZIONE DI RIPARTIZIONE:

data una distribuzione di frequenza in classi, nell'ipotesi di uniforme distribuzione delle unità nelle classi, la funzione di ripartizione F(x) assume la forma

{ 0, se x < c

01 nF(x) = i se c < x < c , i = 1, 2,… k

(x - c )F + • i-1 ii-1i-1 n d i

1, se x > ck

la pendenza di questa retta

è determinata dalla densità di frequenza della classe c - ci-1 i• il grafico si costruisce individuando i punti di coordinate (c , 0), (c , F ),0 1 1(c , F ),… (c , 1)2 2 k

ESEMPIO:funzione di ripartizione della distribuzione di frequenza in classi =funzione di ripartizione mette in luce il ritmo di accrescimento delle frequenzecumulate delle varie classi (segmenti con pendenza maggiore sono quelli associatialla 3º, 4° e 5º classe che sono le classi con densità di frequenza maggiore)

DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA DI VARIABILI QUALITATIVEsono rappresentate con grafici a nastri, in cui la singola modalità è rappresentata da un rettangolodi altezza/lunghezza uguale alla frequenza della modalità

ESEMPIO:il grafico a nastri rappresenta la distribuzione di frequenzapercentuale della popolazione francese per religione

Un'alternativa al grafico a nastri è il GRAFICO A TORTA, in cui un cerchio è suddiviso in settori

circolari di dimensioni proporzionali alle frequenze delle singole modalità (settori circolari colorati diversamente per tenere distinte le modalità)

ESEMPIO: rappresentazione in un grafico a torta per la distribuzione della popolazione francese in base alla religione

• bidimensionale
• tridimensionale

Una distribuzione di frequenza di una variabile qualitativa con k modalità può essere rappresentata ponendo uno sopra l'altro i k nastri, ciascuno avente altezza pari alla frequenza della singola modalità. Si ottiene così un grafico a nastri sovrapposti (utile per confrontare divergenze).