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VARIANZA (wiki)

σ_x² = E[(X - E[X])²]

è il valore atteso del quadrato della var. aleatoria centrata X - E[X]

COVARIANZA (wiki)

Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]

è il prodotto valore atteso dei prodotti delle loro distanze dalla media.

VALORE ATTESO (o V. medio)

1D: E{u}_^k(h)} = μ(h) N×1

2D: E{u(m, h)} = μ(m, h)

righe colonne M×N

VARIANZA

σ_u²(h) = E[|u(h) - μ(h)|²] = diag[̅(n, n^')]

COVARIANZA

1D: Cov[u(h), u(n^')] = E{[u(h) - μ(h)][u^*(h^') - μ^*(n^')]^T}

R_u = R = r(n, n^') (matrice N×N)

matrice (R_u) hermitiana simmetrica e trasposta

R_u = R^u*T

2D: Cov{u(m, n), u(m^', n^')} = E{[u(m, n) - μ(m, n)][u^*(m^', n^') - μ^*(m^', n^')]}

tensore 4^o ordine

r(m, n, m^', n^')

AUTOCORRELAZIONE

1D: σ²(h) = r(h, n) = diag(R)

covariano con sé stesso

N.B. NON esista un'ecologia in 2D

PROPRIETÀ

LA MATRICE DI COVARIANZA R_u È HERMITIANA

DIM: Calcolo R_u^* = E{(u - μ)(u - μ^*)^T = calcolo di complesso coniugato}

Hermitiano ⇒ la sua matrice è sua trasposta coniugato (quindi è reale e simmetrica)

Propr. fond: λ(R)_≥0 def non negativo:

∑∇ x(n)^*r(h, n)x(n^')>0

o tutti valori >0

Gli autoval. sono positivi

Possiamo ordinarli

λ₁ > ... > λ_N≥0

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VARIANZA (wiki)

σ_x² = E[(X - E[X])²] è il valore atteso del quadrato della var. aleatoria centrata

X - E[X]

COVARIANZA (wiki)

Cov (X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] è il prodotto valore atteso di prodotti delle loro distanze dalla media.

VALORE ATTESO

• 1D E{u^H/s/μ^{ut(h, h)}} N x 1
• 2D E{u(m, h)} = μ(m, h)

VARIANZA

σ_u²(h) = E[|u(h) - μ(h)|²] = diag [r(η, η')]

COVARIANZA

• 1D Cov [u(η), u(η')] = E{[u(η) - μ(η)][u^*(η') - μ^*(η')]^T} _{var. aleat. X Y}
• R_u = R = r(η, η') (matrice N x N) _{matrice Ru hermitiana simmetrica e anti diversa}
• 2D Cov{u(m, h), u(m', h')} = E{(u(m, h) - μ(m, h)) _{tensore 4^o ordine}}

AUTOCORRELAZIONE

• 1D σ²(η) = r(η, η) = diag (R)
• ≠ vettore che rappresenta le varianze delle singole componenti del vettore
• covarianza con sè stesso N.B. NON esiste un'ancora in 2D

PROPRIETÀ

LA MATRICE DI COVARIANZA R_u È HERMITIANA

DIM: - Calcolo R_u^* → R_u^* = E{(u - μ)(u^* - μ^*)^T _conjugate = calcolo il coppiens = E{(u^* - μ^*)(u - μ)^T} = _{(c.C.) trasp.}

= E{(u - μ)(u^* - μ^*)^T} = R_u

Hermitiana → la sua matrice è sua trasposta coniugata (quindi è reale e simmetrica)

Proprietà fond.

La (R_u) è def pos negativa: ∑ _h ∑ x(n) r(h, η) x^*(h') > 0 ∀ x(n) ≠ 0

ovvero gli autov. sono positivi Possiamo trovare ord. tali λ₁ > ... > λ_N ≥ 0

Stima della Covarianza

Supponiamo che \( x^{(1)}, \ldots, x^{(N)} \) sia l'insieme di \( n \) realizzazioni (osservazioni)

di un segnale random \( x \) aventi v. med\. nulla, ovvero \( E\{x\} = 0\)

Si può dimostrare che il v.m. di una funzione può essere stimato

come segue:

\[ E \{ f(x) \} \approx \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} f(x^{(k)}) \]

dunque sapendo che la mat. covar. è (qui si calcola quella di

autocorrelazione)

allora:

\[ R_{x} = E \{ x \cdot x^{T} \} \approx \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} x^{(k)} \cdot (x^{(k)})^{T} \]

dove \( f(x) = x \cdot x^{T} \)

Rendiamo la formula più completa introducendo la

"data matrix" \( X \) , una matrice \( N \times N \) che ha per colonne le

osservazioni del segnale \( x^{(1)}, \ldots, x^{(N)} \) : Quindi:

\[ R_{x} \approx \frac{1}{N} X \cdot X^{T} \]

Stesso discorso se prendiamo in considerazione \( N \) realizzazioni di

un'immagine \( u(m,n) \) , ovvero \( u^{(1)} , \ldots, u^{(N)} \)

Il tensore di covarianza si stima così:

\[ R \approx E \{