Riassunto esame Modelli Statistici, Prof. Conti Pier Luigi, libro consigliato Introduzione alla statistica , Monti

ESEMPIO

Un produttore di rame assume che la percentuale di impurità nel prodotto è 0.03%. 2

X è quindi la variabile casuale “percentuale di impurità” con distribuzione normale N(μ, (0.012) ).

Si consideri un campione casuale della popolazione di numerosità n = 18.

Test di ipotesi a livello di significatività α = 0.05:

: μ = 0.03

0

{ : μ > 0.03

1

̅ − 0.03 sulle tavole è uguale a 1.045

> →

0.05 0.05

⁄

0.012 √18

Quindi la regione critica sarà uguale a:

̅ − 0.03

> 1.045

⁄

0.012 √18

Di conseguenza la regione di accettazione sarà uguale a:

̅ − 0.03

≤ 1.045

⁄

0.012 √18 ̅

Dai dati campionari si desume che = 0.054:

0.054 − 0.03 = 8.48 > 1.045

⁄

0.012 √18

->essendo nella regione critica, rifiuto l’ipotesi nulla .

0 2 2

Sia X una variabile casuale con distribuzione normale N(μ, σ ) con media μ incognita e varianza σ

nota.

Si consideri un campione della popolazione di numerosità n con media

+ + ⋯ +

1 2

̅

campionaria ).

⁄

= ( + + ⋯ +

1 2

Test di ipotesi unidirezionale: Statistica test:

: μ = μ ̅ −

0 0

{ 0

=

: μ < μ

1 0 ⁄

√

Se è vera

0

̅ −

0

=

⁄

√

ha distribuzione Normale Standard N(0,1)

VALORE CRITICO C:

-> P(rifiutare | vera) = α

0 0

̅ −

-> P = α

0

( < | μ = )

0

⁄

√ ̅ −

Quando vera, e quindi , ha distribuzione normale standard N(0,1), dunque

0

μ =

0 0 ⁄

√

-> P = α

( )

<

deve essere uguale al valore della normale standard che si lascia a sinistra un’area di probabilità

pari a α, e quindi a destra un’area di probabilità pari a 1-α, ossia z = - z

1-α α

Quindi la regione critica sarà uguale a:

̅ −

0 < −

⁄

√

Di conseguenza la regione di accettazione sarà uguale a:

̅ −

0 ≥ −

⁄

√

• la regione critica e la regione di accettazione non variano se l’ipotesi nulla è del tipo: : μ ≥

0

(composita unidirezionale)

μ 0 2 2

Sia X una variabile casuale con distribuzione normale N(μ, σ ) con media μ incognita e varianza σ

nota.

Si consideri un campione della popolazione di numerosità n con media campionaria

, , … ,

1 2

̅ ).

⁄

= ( + + ⋯ +

1 2

Test di ipotesi bidirezionale: Statistica test:

: μ = μ ̅ −

0 0

{ 0

=

: μ ≠ μ

1 0 ⁄

√

2

̅

Se è vera ha distribuzione N(μ, σ /n)

0 ̅

Intuitivamente rifiuto quando è molto più grande in positivo o molto più piccola in negativo di

0

̅ −

, ossia quando è “grande”, quindi > c

0

| |

μ 0 ⁄

√

VALORE CRITICO C:

-> P(rifiutare | vera) = α

0 0

̅ −

-> P = α

0

| |

( > | μ = )

0

⁄

√ ̅ −

Quando vera, e quindi , ha distribuzione normale standard N(0,1), dunque

0

μ =

0 0 ⁄

√

-> P = α

( )

|| >

-> P = α

( )

( > ∪ ( < −))

Essendo due eventi incompatibili si ottiene ( )

> + ( < −)

-> = α

2( > )

-> = α/2

( > )

deve essere uguale al valore della normale standard che si lascia a destra un’area di probabilità pari

a α/2, ossia z α/2 Quindi la regione critica sarà uguale a:

̅ −

0

| | >

/2

⁄

√

Di conseguenza la regione di accettazione sarà uguale a:

̅ −

0

| | ≤

/2

⁄

√

ESEMPIO

Un produttore di biscotti produce confezioni di biscotti di peso dichiarato 250gr. 2

X è quindi la variabile casuale “peso di una confezione di biscotti” con distribuzione N(μ, (32) ).

Si consideri un campione casuale della popolazione di numerosità n = 12 confezioni.

Test di ipotesi a livello di significatività α = 0.05:

: μ = 250

0

{ : μ ≠ 250

1

➔ α/2 = 0.025

➔ = = 1.96

/2 0.025

Quindi la regione critica sarà uguale a:

̅ − 250

| | > 1.96

⁄

32 √12

Di conseguenza la regione di accettazione sarà uguale a:

̅ − 250

| | ≤ 1.96

⁄

32 √12 ̅

Dai dati campionari si desume che = 265gr:

265 − 250

| | = 1.62 < 1.96

⁄

32 √12

->essendo nella regione di accettazione, accetto l’ipotesi nulla .

0

TEST SULLA MEDIA DI UNA POPOLAZIONE NORMALE CON VARIANZA

INCOGNITA 2 2

Sia X una variabile casuale con distribuzione normale N(μ, σ ) con media μ e varianza σ incognite.

Statistica test:

̅ −

0

⁄

√ 2 2

Essendo σ incognito, σ viene sostituita dalla varianza campionaria corretta, ossia .

̂

La statistica test considerata diventa quindi:

̅ −

0

⁄

̂ √

Se è vera tale statistica test ha distribuzione nota di tipo t di student con n-1 gradi di libertà, dunque

0

̅ − = . Di conseguenza le regioni di rifiuto e di accettazione saranno simili al caso con varianza

0

−1

⁄

̂

√

nota ma i valori e saranno sostituiti con i valori e della t di student con n-1

/2 −1, −1,/2

gradi di libertà, che lasciano a destra un’area di probabilità pari rispettivamente a α e a α/2.

Test di ipotesi unidirezionale:

: μ = μ

0 0

{ : μ > μ

1 0 Regione di accettazione:

Regione critica: ̅

̅ −

− 0

0 ≤

> −1,

−1, ⁄

√

⁄

√

Test di ipotesi unidirezionale:

: μ = μ

0 0

{ : μ < μ

1 0 Regione di accettazione:

Regione critica: ̅

̅ −

− 0

0 ≥ −

< − −1,

−1, ⁄

√

⁄

√

Test di ipotesi bidirezionale:

: μ = μ

0 0

{ : μ ≠ μ

1 0 Regione di accettazione:

Regione critica: ̅

̅ −

− 0

0 | | ≤

| | > −1,/2

−1,/2 ⁄

√

⁄

√

TEST SULLA MEDIA DI UNA POPOLAZIONE IN ASSENZA DI NORMALITÀ

2

Sia X una variabile casuale con media μ e varianza σ incognite, per la quale non si può assumere una

distribuzione normale.

Si consideri un campione della popolazione di numerosità n “grande”.

Se la popolazione non è normale non è di regola possibile individuare una statistica test con una

distribuzione nota. È tuttavia possibile individuare una statistica test con una distribuzione

approssimata; infatti, se n è “grande” (n > 30), la media campionaria standardizzata ha una

̅ −

distribuzione approssimata normale, dove è sostituito da 0

̂: ⁄

̂

√

A questo punto, il test di ipotesi è eseguito con lo stesso approccio utilizzato per le popolazioni normali.

TEST SULLA PROBABILITÀ DI SUCCESSO DI UNA VARIABILE CASUALE DI

BERNOULLI

Sia X una variabile casuale di Bernoulli con probabilità di successo π, con 0 ≤ π ≤ 1.

➔ P(X = 1) = π

➔ P(X = 0) = 1-π

Si consideri un campione casuale di numerosità n; se n è sufficientemente “grande” allora

1 π(1−π)

̂ =1 ha distribuzione approssimata N(,

∑

= ).

(al livello di significatività α)

Test di ipotesi unidirezionale: • Rifiuto quando

0

̂ è molto più

: π = π

0 0

{ grande di

: π > π π

1 0 0

Regione di accettazione:

Regione critica: ̂ − π

̂ − π 0

0 ≤

>

√π (1 − π )

√π (1 − π ) 0 0

0 0

Test di ipotesi unidirezionale: • Rifiuto quando

0

̂ è molto più

: π = π

0 0

{ piccolo di

: π < π π

1 0 0

Regione di accettazione:

Regione critica: ̂ − π

̂ − π 0

0 ≥ −

< −

√π (1 − π )

√π (1 − π ) 0 0

0 0

Test di ipotesi bidirezionale:

: π = π

0 0

{ : π ≠ π

1 0 Regione di accettazione:

Regione critica: ̂

̂ − π

− π 0

0 | | ≤

|| || | |

>

√π (1 − π )

√π (1 − π ) 0 0

0 0

P-VALORE

Riducendo il livello di significatività α si riduce anche la probabilità di errore di I specie (più piccolo

è α, più grande è la regione di