Recipienti in pressione

PERCHE’ QUINDI SE LA SOLLECITAZIONE È COSTANTE, LA TENSIONE

FLESSIONALE È NULLA? Lo sappiamo già dallo studio delle travi: nel caso della flessione, la

SOLLECITAZIONE (FLESSIONALE) HA UN ANDAMENTO A FARFALLA. Se ad essa aggiungo

una trazione, gli stati tensionali si sommano ma non avrò mai sollecitazione costante nello spessore;

se invece la sollecitazione fosse costante nello spessore, verrebbe chiamata membranale e rappresenta

il modo migliore per sollecitare un materiale.

QUALI SONO LE CONSIDERAZIONI FINALI? Nel caso di flessione, il valore assoluto della

tensione massima nella sezione considerata, per rimanere in campo elastico, non deve superare la

tensione di snervamento. Essendo l’andamento a farfalla, il valore assoluto della tensione media non

deve superare la metà della tensione di snervamento. Quindi, IN UNO STATO FLESSIONALE

FACCIO LAVORARE IL MATERIALE ALLA META’ DELLA CAPACITA’; al contrario, in

UNO STATO TENSIONALE DI TRAZIONE, se volessi imporre che la tensione non superi lo

snervamento in un punto, IL MATERIALE LAVORA OVUNQUE NELLO STESSO MODO, AL

MASSIMO DELLE SUE CAPACITA’.

CONCLUSIONI: Il recipiente di piccolo spessore sfrutta lo stato tensionale membranale; quindi, è in

grado di far lavorare il materiale al massimo delle sue capacità.

PERCHE’ IL TAPPO PIANO HA SPESSORE MAGGIORE RISPETTO A QUESTO? Perché

in esso non si ottiene lo stato tensionale membranale bensì quello flessionale: se approssimassimo il

fondo piatto a una trave vincolata, otterremmo che la pressione sul fondo coincide con un carico che

la fa inflettere. PER EVITARE CHE IL FONDO TRASMETTA LA FLESSIONE AL CILINDRO

(danneggiando quindi l’intero sistema) LA FLANGIA DEVE ESSERE REALIZZATA CON UNO

SPESSORE MAGGIORE.

COSA SUCCEDE A TUTTE LE FORMULE VISTE SE LA PRESSIONE FOSSE ESTERNA

E NON INTERNA? Questo potrebbe essere il caso di sollecitazione dei sottomarini. Semplicemente,

AL POSTO DEL RAGGIO INTERNO DOVREMMO USARE QUELLO ESTERNO (anche se,

nell’ipotesi di piccolo spessore, essi possono essere scambiati) e SI CAMBIA IL SEGNO ALLA

PRESSIONE (otteniamo uno sforzo di compressione agente sul componente).

COSA SUCCEDE SE IL RECIPIENTE PRESENTA UN GRADIENTE DI PRESSIONE? Lo

stato tensionale viene determinato come DIFFERENZA TRA PRESSIONE MAGGIORE E

MINORE.

1.2) TENSIONE AMMISSIBILE

I recipienti in pressione sono un caso in cui le normative vengono in aiuto. Viene riportata quella

americana ma quella europea è analoga. La ASME prevede che la TENSIONE AMMISSIBILE SIA

LA MINORE TRA LE SEGUENTI:

• 1/4 della TENSIONE DI ROTTURA A TRAZIONE A TEMPERATURA AMBIENTE E

ALLA TEMPERATURA DI LAVORO = questo perché i recipienti possono lavorare a

temperature diverse e questo influisce. Devo calcolarle entrambe;

• 5/8 della TENSIONE DI SNERVAMENTO A TRAZIONE A TEMPERATURA AMBIENTE

E A QUELLA DI LAVORO;

• La TENSIONE CHE PRODUCE L’1% DEL CREEP IN 100.000 ORE ALLA

TEMPERATURA DI LAVORO = per determinare questo parametro, si usa un provino alla

temperatura di lavoro per 100.000 ore e si annota quale carico produce l’1% del creep (va da

sé che questa determinazione sia costosa da ottenere);

• L’80% della TENSIONE CHE PROVOCA ROTTURA AL TERMINE DELLE 100.000 ore

ALLA TEMPERATURA DI LAVORO.

NELLA PRATICA, COME SI OPERA? Se la SOLLECITAZIONE È DI TIPO STATICO e SE IL

RECIPIENTE LAVORA ALLA TEMPERATURA AMBIENTE, allora possiamo PRENDERE UN

COEFFICIENTE DI SICUREZZA PARI A 1.5 e trovare la tensione ammissibile come il rapporto tra

la tensione di snervamento e 1.5.

2) RECIPIENTI CILINDRICI DI GROSSO SPESSORE

Questa condizione si verifica quando lo spessore non è più due ordini di grandezza inferiore rispetto

al diametro del recipiente. Sicuramente, non possono valere tutte le ipotesi fatte precedentemente:

NON ABBIAMO PIU’ COMPORTAMENTO MEMBRANALE. Infatti, LA TENSIONE

CIRCONFERENZIALE NON È PIU’ COSTANTE NELLO SPESSORE e la TENSIONE RADIALE

NON È PIU’ NULLA/TRASCURABILE. ➔ In questo caso, non possiamo più

confondere i vari raggi ma dovremmo

separarli opportunamente.

2.1) STUDIO DELLO STATO DI SOLLECITAZIONE = isoliamo una striscia di spessore

infinitesimo all’interno del cilindro: avremo separatamente un raggio interno, un raggio esterno e uno

spessore. Scriviamo quindi l’equazione di EQUILIBRIO per questa porzione del materiale.

Eseguiamo una sezione del recipiente e determiniamo le TENSIONI CIRCONFERENZIALI.

All’INTERNO NON ABBIAMO PIU’ LA PRESSIONE BENSI’ LA TENSIONE RADIALE (che

sarà COSTANTE in quanto la pressione che agisce sulla semi-circonferenza interna di spessore “dr”

sarà la stessa).

Il MATERIALE ESTERNO ALLO CORONA CIRCOLARE INFINITESIMA applicherà a sua volta

una tensione “σr+dσr” . Si osserva che: IL SEGNO “+” NON INDICA CHE LA TENSIONE SIA

MAGGIORE BENSI’ CHE SI DIFFERENZIANO.

EQUILIBRIO VERTICALE:

Semplificando i termini e risolvendo alcuni passaggi otteniamo:

EQUAZIONE DIFFERENZIALE:

OSSERVAZIONE: Questa equazione lega le tensioni circonferenziale e radiale e la derivata di

quest’ultima ma è una EQUAZIONE IN DUE INCOGNITE. NON È SUFFICIENTE A RICOLVERE

IL PROBLEMA quindi sarà necessario eseguire lo studio dello stato di deformazione del sistema.

2.2) STUDIO DELLO STATO DI DEFORMAZIONE = si studiano nello specifico le

deformazioni nelle direzioni ASSIALE e RADIALE. Concettualmente torna perché: SE

AUMENTIAMO LA PRESSIONE ALL’INTERNO DEL RECIPIENTE, ESSO SI DILATERA’.

OSSERVAZIONE: Possiamo ipotizzare che le TENSIONI ASSIALI SIANO COSTANTI PER

QUALSIASI VALORE DEL RAGGIO e quindi che anche le DEFORMAZIONI ASSIALI SIANO

COSTANTI NELLO SPESSORE.

Possiamo quindi concludere che la DEFORMAZIONE È SIMMETRICA RISPETTO ALL’ASSE

DEL CILINDRO E DIRETTA RADIALMENTE (dobbiamo pertanto valutare solo quelle

circonferenziali e radiali). In base a quanto detto prima, prendendo un punto generico del recipiente

che si trova ad una distanza “r” dal centro, in seguito alla dilatazione, esso si sposterà in direzione

radiale perché IL MATERIALE ADIACENTE VINCOLA ALTRI SPOSTAMENTI.

OSSERVAZIONE: Lo SPOSTAMENTO RADIALE viene visto come la variazione della posizione

del punto in direzione del raggio; quello CIRCONFERENZIALE, invece, viene calcolato come la

differenza tra la circonferenza finale e iniziale definite dalle posizioni del punto rapportate a quella

iniziale (basta che vada a calcolare le lunghezze delle circonferenze iniziale e finale).

COME RISCRIVO I VALORI DELLE TENSIONI? Imponiamo un COMPORTAMENTO

ELASTICO LINEARE e, con le EQUAZIONI DI LEGAME, troviamo le seguenti espressioni:

ULTIMO TERMINE EQUAZIONE EQUILIBRIO:

Sostituendo quindi nell’equazione di equilibrio iniziale, posso determinare l’equazione differenziale

nella sola incognita “u”. Possiamo definirne anche la soluzione:

COME RISOLVO QUESTA EQUAZIONE DIFFERENZIALE ? Trovando i valori delle costanti

“A” e “B”, derivanti dalle CONDIZIONI AL CONTORNO. Per comprendere quali esse siano

dobbiamo ragionare sulla TENSIONE RADIALE: essa ha direzione, appunto, radiale e AGLI

ESTREMI (cioè in corrispondenza del raggio interno ed esterno) EGUAGLIA LA PRESSIONE DEL

FLUIDO CHE PREME CONTRO LA PARETE; esternamente si ha aria ma il valore è molto basso.

CONDIZIONI AL CONTORNO:

Sostituendo il valore della soluzione generale all’interno delle equazioni delle tensioni

circonferenziale e radiale, otteniamo:

OSSERVAZIONE: IL TERMINE DELLA TENSIONE ASSIALE PUO’ ESSERE INGLOBATO

ALL’INTERNO DELLA COSTANTE “A”. Si ottiene:

Ricavo a questo punto i valori delle costanti “A’ ” e “B” e li sostituisco nelle equazioni scritte sopra,

ricavando infine i valori delle tensioni circonferenziale e radiale.

TENSIONI:

COME SI CALCOLA QUINDI LA TENSIONE ASSIALE? Innanzitutto, occorre ricordare che

viene assunta COSTANTE SU TUTTO LO SPESSORE. Essa, per definizione, CONTRASTA LA

PRESSIONE CHE TENDE AD ALLUNGARE ASSIALMENTE IL CILINDRO. Per determinarla,

è necessario risolvere l’equilibrio tra le tensioni sul fondo dovute alla pressione e le tensioni assiali

stesse. 2

FORZE AGENTI SUL FONDO: ()

= ∗ ∗ 2

FORZE DOVUTE ALLE TENSIONI ASSIALI: ( )

= ∗ ∗ −

OSSERVAZIONE: Uguagliando queste equazioni, si ottiene il valore visto precedentemente.

2.1) ANDAMENTO DELLE TENSIONI IN FUNZIONE DEL RAGGIO

Studiando le funzioni matematiche che esprimono le tensioni appena determinate, possiamo

affermare che: LA TENSIONE RADIALE È SEMPRE NEGATIVA e LA TENSIONE

CIRCONFERENZIALE È SEMPRE POSITIVA.

➔ Questi sono gli andamenti di queste tensioni in

funzione del raggio all’interno di un recipiente di grosso

spessore sottoposto a una PRESSIONE INTERNA.

➔ La tensione circonferenziale parte da un valore

esterno e CRESCE QUADRATICAMENTE fino al

valore massimo in corrispondenza del raggio interno

TENSIONE RADIALE = vediamo che la pressione è sempre positiva ed essendo “Re>Ri”, anche il

termine immediatamente successivo è positivo. Il parametro di studio “r” varia dal raggio interno fino

a quello esterno. Quando pongo “r=Re” il termine all’interno della parentesi si annulla (in linea con

le condizioni al contorno). PER TUTTI GLI ALTRI VALORI DI “r” SI HA CHE IL RAPPORTO È

SEMPRE MAGGIORE DI 1, quindi il TERMINE TRA PARENTESI RISULTA NEGATIVO.

TENSIONE CIRCONFERENZIALE = potendo eseguire un ragionamento speculare rispetto al

caso precedente e possiamo affermare che il TERMINE DENTRO LA PARENTESI È SEMPRE

POSITIVO e, in più, NON SI ANNULLA MAI. Possiamo quindi affermare che la TENSIONE

CIRCONFERENZIALE RISULTA SEMPRE DIVERSA DA 0.

TENSIONE ASSIALE = studiando la sua formula matematica, possiamo notare come essa possieda

un termine in comune alle altre tensioni ma non abbia quello tra parentesi. Quindi, essa SARA’

SEMPRE POSITIVA MA COMUNQUE INFERIORE ALLA TENSIONE CIRCONFERENZIALE.

I SEGNI DI QUESTE TENSIONI TORNANO ANCHE NELLA REALTA’? Dobbiamo

analizzare singolarmente tutte le tensioni:

• TENSIONE CIRCONFERENZIALE = la pressione interna tende ad APRIRE/ALLARGARE

IL CILINDRO, quindi è ovvio che, nella sezione, le tensioni siano di trazione con valore

massimo all’interno e che, piano piano, decresce;

• TENSIONE RADIALE = la pressione tende a COMPRIMERE IL MATERIALE; quindi, crea

uno scostamento del punto in corrispondenza del raggio interno. Tale scostamento fa

comprimere il materiale subito dopo e così via. Il materiale è chiaramente soggetto a

COMPRESSIONE. ➔ In questo grafico sono riportati gli a