Prima parte Appunti di statistica per la sperimentazione e le previsioni in ambito tecnologico

ŷ_i = β₀ + ∑_j=1^k β₃ X_jƐⁱ i = 1, 2, ..., n

y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + ... + β_kX + e

dove β_j = Coefficienti di regressione

β_j = Rappresenta la variazione attesa della risposta y per ogni variazione unitaria di X_j,

supposto tutte le rimanenti variabili indipendenti

siano mantenute costanti.

Metodo dei minimi quadrati ordinari (OLS)

Utilizzato per stimare i coefficienti di regressione in

un modello di regressione lineare multipla in una

popolazione standard senza iperdispersione né effetti

di sostanzialità.

Si assume che E(ɛ) = 0; V(Ɛ) = δ² e che {Ɛ_i siano variabili

casuali. Le n coppie (x, ŷ) sono normalmente

distribuite.

Il metodo dei minimi quadrati ordinari permette di

ottenere le stime di β_i in modo tale da che l'occorrenza dei

suoi valori (stima) sia più prossima ai valori osservati. Questo

non implica però che esso assuma un valore ridotto/allegro.

Funzione asimmetrica e quadratica

y = Xβ + e

da cui ŷ = y̅ = β₀ β = 1/N X Ɛ

d'obiettivo è tracciare il vettore degli stimatori di (β) che

minimizzano I [ - 1/2 Eᵢ͟ = ɛᵀɛ = (y - xβ)ᵀ(y - xβ)

dlasod deve soddisfare dAi = -2X'ɛ + 2XX'β = 0

Che si semplifica con la formula X'XX'βXy

per cui B̂ = (X'X)^-1 X'y

Il modello di regressione adattato è: ŷ = Χβ̂

Ossia in formula standard obiettiva: ŷ = β₁ =₃Хβ₃X_jɛ_i

da differenza tra l'osservazione effettiva yi e la

corrispondente fitten value ȳ e chiamata residuo

e residuo = y - ŷ e_i

SSE = somma dei = ∑ⁿ_i=1 (y_i - ŷ_i)² = ∑ⁿ_i=1 e_i.

ŷg's = β̂'X'y

QUADRATI del residuo

(con n-p Grado)

Incerte: E(SSE) = θ^₂ = SSE/n-p

Il teorema degli LS permette una stima imparziale

del parametro β nel modello di regressione

LINEARE

Infatti

(β/₁) = β

1(x_i) = 2)/(x^TAx1x^-1I

quindi var(β̂) = [(β̂) - ɛ{(B̲̂]} [β-ch(B)I]ᶦ

SST = SOMMA DEI QUADRATI TOTALE

SSR = ........ DOVUTA ALLA REGRESSIONE

TEST DI SIGNIFICATIVITÀ

L'ipotesi standard è che i residui eᵢ siano distribuiti in modo indipendente e normale con media zero e varianza costante.

Il test serve per vedere se c'è relazione tra la variabile di risposta (y) e x₁x₂…xₖ

• H₀ : β₁ = β₂ = βₖ = 0
• H₁ : βⱼ ≠ 0 per almeno un j

Ovvero si deve dimostrare nulla implica che almeno una delle variabili (regressori x₁x₂…xₖ) contribuisca in modo reale al modello.

SST = SSR + SSE

STATISTICA TEST : F₀ = SSR/k = MSR

SSE/n-k-1 MSE

Rifiuto H₀ se: F₀ > f_α,k,n-k-1

pvalue < α

SSE = y'y - B'x'y

SST = y'y - (Σiy(bar)²/n)

R 2₂ = SSR

SSE

R²Adj = 1 - SSE/(n-p) = 1 - (n-1) (1-R²)

SST/(n-1) (n-p-1)

VERIFICA DI UN SINGOLO COEFFICIENTE

Le HP per testare il significato di un singolo coefficiente di regressione sono:

• H₀ : β₃ = 0
• H₁ : β₃ ≠ 0

Se accetto H₀ allora Xⱼ può essere cancellata

dallo modello

STATISTICA TEST = B₃

Rifiuto t₀ se |t₀| > t_{α/2, n-k-1}

TESTARE UN SOTTOINSIEME DI COEFFICIENTI

Consideriamo un modello di regressione con variabili. Vediamo velocemente come se un insieme di variabili rispetto altre variabili continui a rilevare significatività nel modello.

H₀ : β₃ = 0

H₁ : β₃ ≠ 0

Il modello è scritto come: y = xβ + ε = xᵢ β₁ + x₂ β₂ + ε

SSR (Bα|B₂) = SSR (A₡|B₁) - SSR (Bα|B₂)

Design of Experiments (D.o.E)

Un fattore di disturbo (fonte di variabilità) può influenzare un esperimento e produrre una risposta che non interessa allo sperimentatore.

Disegno Sperimentale

• Rappresenta la selezione delle prove sperimentali per ottenere osservazioni.
• Consiste inizialmente in osservazioni (sperimentali) ottenute effettuando un esperimento con variabile di risposta quindi trattura continua (y) in cui le unità sono osservazioni associate casualmente secondo k gruppi (k livelli) di un fattore.

Fonti di Variabilità

• Ciò che influenza l'osservazione (vero fenomeno)

Esempio Plantule

• 20 plantule = campioni = n esercito
• Fattore = unica fonte di variabilità

Disegno

• Bilanciato = stesso n di osservazioni per ogni livello k
• Completamente randomizzato = assegnazione casuale delle unità sperimentali alle combinazioni sperimentali

Scopo del Disegno Sper.

Minimizzare la variabilità accidentale non spiegata

Devianza

• Within (entro) = d. var. acciden. non spiegata
  • D_w = ∑∑ (y_ij - μ_i)²
• Between (tra) = d. var. sistematica
  • D_b = ∑(μ_i - μ)² n_i

d_w è dovuta alle diverse combinazioni sperimentali ai livelli del fattore

• y̅_i = media campionaria del livello i del fattore
• μ_i = media calcolata per il livello i
• μ = media generale

STRINGA CHE USO

PER FRAZIONARE

Se frazionassi più vetre avrei tantissimi Defining Contrast.

CONFOUNDING EFFECT

Esempio:

• Becco
• Positivo
• I = ABC

Il Confounding Effect comporta problemi. Non riesco a stimare separatamente gli effetti.

MATRICE ORTOGONALE

• Se in un fattoriale a 2 livelli, la matrice è ortogonale sia.
• Se la matrice è ortogonale, _.. individua i 2 vettori e l'ultimo quindi il prodotto _..

AUIAS PATTERN

• Rappresenta la strutturazione di tutti i confondimenti, ci identifica _...

CRITERIO DI RISOLUZIONE

• Identifica la Ipoteco ai Confondimenti.
• R = Criterio di Risoluzione:

2) ROTABILITÀ

OMOGENEITÀ = Omogeneità delle varianze

I disegni del I ordine si basano su queste ipotesi:

• Eu ~ N(0; σ₂)
• Eu indipendenti
• Eu = Normale

Per Hp de Covariante Eu e Ei sono nulle

Var(B_i) = θ²/N

Var(B₀) = θ²/N N= B₀ = ₅/ⁱ

= Var (y(x_i)) = Var(B_o) + Σ Var(B_i x_i²) =θ²(1 + Σ x_i²) ^l/1 + p²)

= distanza euclidea del punto dal centro del disegno costituisce

–> la varianza del punto sperimentaleequidistante da centro il punto è

del disegno

2) DISEGNO HANNO LA STESSA VARIANZA

SE UN DISEGNO È ROTABILE, LA VARIANZASPERIMENTALE E LA STESSA PER TUTTI I PUNTI CHESONO EQUIDISTANTI DAL CENTRO DEL DISEGNO

3) UNIFORME PRECISIONE = Assicura chePunti in area di Raggio

Unitario (R = 1) hanno La STESSAVARIANZA

SEQUENZIALITÀ DELL’ESPLORAZIONE DI UN RSI.

S da Metodologia Corese Superficie di Risposta

1 - Varianze dell’Errore

• approccio sequenziale è in tutte e due tipologie,
• Varianze dell’Errore nel I e del der
• sequenzialità tra I 1o e II ordine

1. SEQUENZIALITÀ NEL II ORDINE
2. PIANIFICAZIONE DOE
3. Combinazione statistica
4. ottimizzazione

Pianificazione Doe – In base a Fattori e a quei diversi casiRilevati per la misura di errori Il range immagine dei pattern è scelto sulla

anom o condisioni scelte a priori o un’analisi precedentemente

sue