Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
INDICE APPUNTI
- Knapsack Binario P.3
- Max Matching P.6
- Min Node Cover P.8
- Max Indipendent Set P.9
- Max Clique P.10
- Assegnamento P.11
- Vincoli e Exor P.13
- Set Covering P.21
- Set Partitioning P.22
- Set Packing P.23
- Regione non Convessa P.25
- Scheduling P.27
- Attivazione y nella f.o. P.33
- Bin Packing P.34
- Diversi tipi di Vincoli P.37
- Knapsack Intero P.41
- Poliedri e Formulazioni P.42
- Combinazione Convessa P.45
- Bound per la f.o. P.47
- Rilassamento Lineare P.51
- Bound tramite Dualità P.52
- Dualità MM e MNC P.53
- TSP e Rilassamento Combinatorio P.58
Rilassamento Lagrangiano P.61
Algoritmi
- Totale Unimodularità P.64
- Branch & Bound P.65
- Programmazione Dinamica P.70
- PD per Knapsack P.73
- PD per TSP P.74
Algoritmi Approssimati
- TSP 2-Approx P.78
- TSP 3/2-Approx (Christofides) P.82
Algoritmi Euristici
- Greedy Knapsack Binario P.83
- Greedy Set Covering P.85
- Ricerca Locale P.87
- Ricerca Locale TSP P.88
- Ricerca Locale TSP Simmetrico P.89
- Ricerca Locale Knapsack P.93
- Ricerca Tabù P.94
Complessità Computazionale
- Problemi in forma di Decisione P.96
- Ricerca Binaria P.97
3x1 + 5x2 → max. 3x1 = 2 → 2.5
x1, x2 ε ℤ {0,1}
x1, x2 ε ℚ ≤ 5
{0,2} ε ℤ = r
{x1 = 2.5, x2 = 5} → ε ℚ ≠ ℤ
→ la variabile x1 ci dicese contribuisce o menoalla j-esima coefficc.di quanto contribuisce
Possiamo anche utilizzare una variabile yi:
yi = {02, xi ε { → 1xi ε {
t.c. x1 + y2 = 1x2 + y2 = 1logicamente opposta
x1 e yi paglo variabili complementari
Posso dire che:max Z = x1 - y2 e x1 = 1 - y2
max Z = ∞ - y2 + 5y2 (*)
Prova che mi permette di valutare gli Zeri:quando le variabili non annullano il coefficiente
[2 - 2y2 = 0], Σ(1 - xi) = 1.0
→ r = 2y2 + 1 = 2y2 intera
dover porti la transizione
Max Z = -5y2 + 9x2 ε S,2
Utilità: se ci fossero più utilità dovrei decidere spesso toccare, mentre posta passivo da zero e escludo quanto aggiungere
Calcolando obiettivo o elemciottengo la stessa fogl.
… 8y2 + tij
Mi dice che per rispettare il vincolo devo lasciare degli oggetti, t.c.la loro fortuna ma almeno capacità totale = 2 dove Z è la differenzatra il peso dei 2 oggetti xi + 2.0 meno la capacità: 20 - 2y2
Se stolt fosse di MCivi avrebbe la soluzione banale vuota che rispetta il vincolo.
La scelta degli oggetti mi definisce gli insiemi S ⊂ r o ℤ ovvero una bipartizionein modo che S ⊂ 3 − A con S elementi preli 3 − basement
Max Matching:
- Dato: Grafico G = (V, E)
- Ora bisogna trovare → one vettore di archi ("link")su ogni nodo incida ≤ con un arco di M
Informazione:|M| è sia MAX
Insieme Universo E (archi) → definisco una variabile y arco di E
xe = {0 ⊂ R em
|E| = |7|
→ x → |(2,1,0,1,3,0,2)
|M| = |6| = 0°° "i" nei vettori di incidenza
|M| = Σx = R, z
3 .0 . max Z = ∑ |E| → .Zo . → Devo prendere + Archi possibili
voglio prendere il minimo numero di archi t.c. ogni lodo ha almeno un arco incidente
per capire se utilizzare A o A’ basta guardare se la soluzione <Z nei lodi o sugli archi
Assegnamento:
- Dati: n¹ persone, m¹ lavori
- Costo ci,j t.c. se la persona i fa il lavoro j, i=1,...,n; j=1,...,m
tutti possono fare tutto
Trovare: chi fa cosa → abbinare persone e lavori
minimizzato il costo complessivo e ogni lavoro va portato a termine
e ogni operaio deve fare qualcosa (lineare (non è compatto))
grafo bipartito persone - lavori:
- completo, t.c. incideno tutti i lavori
Dato G bipartito completo nei pesato sugli archi
Trovare: un matching perfetto (c.l.)
- - ogni nodo Pi incida un arco di M
- - ogni nodo Lj incida un arco di M
- imbro le soluzioni perchè non avrebbe senso prendere persone per uno stesso lavoro se devo minimizzare
- Potre servire come:
- dato G bipartito completo = (P∪L,E)
- pesato sugli archi cij ≥ 0 ∀ (i,j) ∈ E
→ Trovare un matching perfetto:
- t.c. min ∑ Cij
- (i,j)∈M
- xij = {1 se (i,j)∈M
- 0 se pi fa lavoro j e (i,j)∈E
- 0 altrimenti
- f.o.
- min z = ∑ Cij * xij
- (i,j)∈E
- ∑ Xij = 1, j = 1,...,m → tutti i lavori devono essere svolti da qualche persona
- ∑ Xji = 1, i = 1,...,m → ogni lavoratore deve svolgere solo un lavoro
variabili: x ∈ {0,1}³
- x ∈{0,1}³²
La y mi permette di generare 2 cui e separare i 2 vincoli che non potrebbero coesistere, non posso risolvere ∑ xi ≠ 3, perciò non posso introdurlo nel simplice.
s.t.) {y2 = {j|insieme di cardinalità 2 o 4}}
- min
- max
s.t. ∑ xi ≤ 2 - My e ∑ xi ≥ 2 + My
x ∈ {0,1}n y ∈ {0,1}
xi = 2, i = 1 a 3, n = con z.
∑ xi ≥ 4 + M(1-y)
.y = 0 → ∑ xi z ≤ 2 → ∑ xi ≥ 2 → 4 + M → z = 0 → 2 ∑ xi = 4 + M
Diventano insufficienti
∑ xi = z
Non possiamo utilizzare l'uguaglianza perché non varrebbe per entrambi i casi. Pa'øvale 2 → z = 4
.y = 2 , __∑ xi z ≥ 2M - 4 = o = ∑ xi = 2 + M = ∞
∑ xi z ≥ 4
∑ xi ≤ 4
∑ xi = 4
Potrei risolverlo anche così:
j.t.: ∑ xi = 2 + 2t
x ∈ {0,1}n t ∈ {0,1}n
s.t.: y2 = {sottinsiemi che escludo g elementi}
A = {Q2, Q3...Qm} {m,7,4}
x ∈ A ⊆ X ⊆ ∃ Q : x
2 + x = A ⊆ X ⊆ ∃ Q : x
Vettore indue\nta del \ga{1}\e
min
max
z = ∑ xi ci
(∑ x) = ∑ ci
Per escludere gli elementi blusa contare gli Zeri
Devo considerare le tensione (1-x) per ogni variabile
Set Covering
Dati: un insieme A = {a1, a2, ..., am} di m elementicosti ci ≥ 0 i = 1, ..., muna famiglia ℱ = {A1, A2, ..., An} Ai ⊆ A; i = 1, ..., m
Trovare:un sottoinsieme X di A non necessariamente della famiglia ℱ
t.c.:costo complessivo di X sia min → ∑civenga scelto almeno un elemento da ogni A
Es.Variabili: Xi = {0,1}, i ∈ XVettore di incidenza nel generico sottoinsieme,insieme universale A
f.o.: min z = ∑i=1n ci Xi
(Vincoli) s.t.x1 + x3 + x9 ≥ 2x3 + x4 + x7 + x9 ≥ 2x3 + x6 ≥ 2x0 ≥ 2
xi ∈ {0,1}30
Formulazione Vettoriale:
min z = C xs.t. BX ≥ 2x ∈ {0,1}3
B matrice m × n → Matrice dei Coefficienti
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10B = | 1 0 1 0 0 0 0 0 0 | | 0 0 1 1 0 0 1 0 0 | | 0 0 0 0 0 0 0 0 1 | ...Le colonne si dicono in quanti sottoinsiemi si trovano i diversi elementiLa somma per colonna mi dice in quanti sottoinsiemi si trova ogni elementoLe righe sono vettori di incidenza del sottoinsieme corrispondente
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
