Meccanica dei fluidi, parte 7 - Moto in condotta tra due serbatoi, fluidi reali, perdite e determinazione cadente J

APPLICAZIONE: TEOREMA DI BERNOULLI PER CORRENTE IN CONDOTTA TRA 2 SERBATOI

Si considera un esempio di applicazione di questo risultato a un caso concreto di corrente:

una condo a che collega due serbatoi.

La configurazione è la seguente. Si hanno due serbatoi (recipien ) che contengono fluido

fino alla quota geode ca (serbatoio di monte) e fino alla quota geode ca (serbatoio

̃ ̃

di valle). Si suppone che entrambi i serbatoi contengano lo stesso fluido di peso specifico γ. I

serbatoi sono collega da una condo a di diametro D e lunghezza L.

̃ ̃

Quando i due serbatoi vengono messi in comunicazione a raverso la condo a, il fluido si

muoverà dal serbatoio più pieno (con maggiore energia potenziale) al serbatoio con livello

più basso. Il fluido sarà in moto nella direzione dal serbatoio di monte al serbatoio di valle.

Il teorema di Bernoulli per corren lineari richiede che il fluido sia ideale, pesante e

incomprimibile, che il moto sia stazionario e che la corrente sia lineare. L'ipotesi di moto

stazionario richiede che niente cambi nel tempo.

Come per il processo di efflusso visto precedentemente, per avere un processo stazionario è

necessario:

Nel caso di volumi fini : alimentare il serbatoio di monte e far uscire dal serbatoio di

 valle la stessa portata che arriva, per mantenere i livelli costan

Nel caso di volumi infini : i volumi dei serbatoi sono talmente grandi che nel periodo

 di osservazione quello che si sposta da un serbatoio all'altro è trascurabile rispe o al

volume totale

Il termine "volume infinito" significa che il volume del recipiente è molto maggiore di quello

che circola nel tempo di osservazione. In entrambi i casi, l'ipotesi di moto stazionario implica

che niente sta cambiando nel tempo, in par colare i livelli nei serbatoi rimangono costan .

Sono no : diametro D e lunghezza L della condo a, quote e , peso specifico γ del

̃ ̃

fluido. Si assumono valide tu e e cinque le ipotesi necessarie per il teorema di Bernoulli

per corren lineari.

Si vuole determinare:

1. La linea dei carichi totali (LCT)

2. La linea piezometrica (LP)

3. La portata Q che viaggia nella condo a

Linea dei carichi totali (LCT): rappresenta il valore di carico totale medio , sezione per

sezione lungo la corrente. È l'equivalente, per le corren , di quanto si era visto per la singola

traie oria.

Linea piezometrica (LP): rappresenta il valore di quota piezometrica z̃ + P/γ di ogni sezione.

Non è necessario specificare "media" perché se vale l'ipotesi di corrente lineare, la quota

piezometrica è uguale in tu i pun della sezione (è costante sull'area trasversale).

Prima di procedere con la risoluzione, è necessario definire dove il campo di moto è

effe vamente una corrente in questo schema. Le par celle dal serbatoio convergeranno

verso la condo a, come nel processo di efflusso verso un foro. Ci sarà quindi una regione in

prossimità dell'inizio della condo a dove le traie orie non sono parallele tra loro.

Si considera corrente dalla prima sezione I-I' (sezione di imbocco), in cui le traie orie sono

tu e parallele e l'inerzia iniziale del fluido nel serbatoio è stata persa. Analogamente, si

definisce una corrente fino alla sezione U-U' (sezione di uscita), che è l'ul ma sezione della

condo a prima del serbatoio di valle. Si ha quindi una corrente tra la sezione I e la sezione

U, lungo la quale valgono i principi deriva .

Per disegnare la LCT, se valgono le ipotesi da 1 a 5, è costante lungo s:

= 0

Questo significa che la linea dei carichi totali è una linea orizzontale, come visto per la

singola traie oria.

Per poterla tracciare è necessario avere un valore di partenza. Si considera una generica

par cella che parte da un punto A nel serbatoio di monte e arriva a un punto B sulla sezione

di imbocco I. ̃ ̃

Lungo questa traie oria da A a B, se valgono le ipotesi di fluido ideale, pesante e

incomprimibile e di moto permanente (le ipotesi del teorema di Bernoulli per la singola

par cella), il carico H della par cella si man ene costante:

=

P

̃ + + =H

γ 2

Se A è preso sufficientemente lontano dall'imbocco, la velocità in A è pra camente zero (il

moto si concentra a velocità rilevan solo nelle immediate vicinanze della condo a). Di

conseguenza, in tu i pun del serbatoio lontani dalla sezione di imbocco, compreso A, si

può ritenere la quota piezometrica uguale a quella della superficie libera del serbatoio. Per

la legge di Stevino (valida per fluido pesante e incomprimibile in quiete):

P

̃ + =H

γ

H = ̃

Questa considerazione vale per ogni traie oria che parte da un punto sufficientemente

lontano e arriva sulla sezione I. Di conseguenza, il carico totale medio sulla sezione I è:

= ̃

,

Dall'applicazione del teorema di Bernoulli per corren lineari, questo carico totale medio è

costante per ogni sezione della condo a. La linea dei carichi totali è quindi una linea

orizzontale a quota , dalla sezione I alla sezione U.

̃

̃ ̃

Per disegnare la linea piezometrica, si parte dall'osservazione che è costante lungo s. Se

anche l'altezza cine ca media α·v_m²/(2g) è costante lungo s, si può dedurre che anche la

quota piezometrica z̃ + P/γ è costante lungo s. Vale quindi che:

̃ + = −

2

La velocità media è definita come = Q/A. La portata volumetrica Q, so o le ipotesi di

fluido incomprimibile e moto stazionario, si man ene costante lungo s. L'area trasversale A,

per una condo a cilindrica di diametro costante D, non cambia lungo la condo a. Quindi la

velocità media è costante lungo s.

Il coefficiente α, che indica quanto il profilo di velocità si discosta dall'uniformità, se non ci

sono variazioni rilevan di configurazione geometrica, rimane sostanzialmente costante. Per

una condo a che man ene il suo diametro, ci si aspe a un moto uniforme nella direzione

preferenziale e un profilo di velocità che non cambia in modo rilevante.

Di conseguenza, l'altezza cine ca α· ²/(2g) è costante lungo s per la conservazione della

massa e per il diametro costante.

Se a destra dell'equazione si ha una costante lungo s ( ) meno un'altra costante lungo s

(altezza cine ca), anche la quota piezometrica è costante lungo s. La LP è quindi una linea

orizzontale.

Per determinare il valore, si considera la sezione di uscita U. Su questa sezione le traie orie

sono tu e re linee e parallele, quindi la quota piezometrica è costante sull'area

trasversale. La corrente di fluido, quando arriva al serbatoio di valle, si trova circondata da

fluido in quiete con quota piezometrica pari a . I pun del contorno della sezione U sono a

̃

conta o dire o col fluido in quiete nel serbatoio di valle. La quota piezometrica sul

contorno deve essere , e quindi, essendo costante su tu a la sezione per traie orie

̃

re linee, su tu a la sezione U si ha:

̃ + = ̃

La linea piezometrica è quindi una linea orizzontale a quota , dalla sezione I alla sezione

̃

U.

Per rappresentare la linea dei carichi totali si parte dal serbatoio di monte. Per

rappresentare la linea piezometrica si parte dal serbatoio di valle.

̃

V

α· 2g ̃

La distanza ver cale che separa le due linee rappresenta l'altezza cine ca α·v_m²/(2g). Dal

grafico si osserva che: V

̃ − ̃ = α · 2g

La differenza rappresenta la differenza di energia potenziale per unità di peso

̃ − ̃

(differenza di carico) tra i serbatoi di monte e di valle. Per la conservazione dell'energia

meccanica (non ci sono dispersioni per l'ipotesi di fluido ideale), questa differenza di energia

potenziale si trasforma completamente in energia cine ca del moto.

Me endo in comunicazione serbatoi che hanno questo dislivello di energia potenziale per

unità di peso, si instaura una corrente associata a questa altezza cine ca, ovvero energia

cine ca per unità di peso.

L'ul mo obie vo è determinare la portata veicolata dalla condo a. Applicando il teorema

di Bernoulli per corren tra le sezioni di imbocco I e di uscita U:

=

, ,

Esplicitando: V

̃ = ̃ + α · 2g

Avendo riconosciuto che e che la quota piezometrica in U è , come

= ̃ ̃

,

determinato graficamente) V

̃ − ̃ = α · 2g

Risolvendo per la velocità media: )

2(̃ − ̃

=

La portata volumetrica si o ene mol plicando per l'area: )

2(̃ − ̃

= =

4

3.4-EQUAZIONE DI BERNOULLI PER FLUIDI REALI

3.4.1-L’INSORGENZA DELLE PERDITE DISTRIBUITE

Come è stato fa o per i processi di efflusso, dove si è applicata la teoria e poi si è ricreato

sperimentalmente il processo per verificare quanto la soluzione teorica si avvicinasse al caso

reale, si procede analogamente per il processo di moto in condo a.

Si suppone che valgano ancora le ipotesi di fluido pesante, incomprimibile, in moto

stazionario e per corrente lineare. Le ipotesi di fluido pesante e incomprimibile valgono per

la maggior parte dei fluidi u lizza nelle applicazioni pra che. Il moto stazionario può

essere creato mantenendo costan i livelli nei serbatoi: se ques sono sufficientemente

grandi e il tempo di osservazione è limitato, non è necessario preoccuparsi del volume che

transita. Altrimen , occorre alimentare e far uscire rispe vamente dal serbatoio di monte e

dal serbatoio di valle la stessa portata che circola nella condo a. La corrente è re linea per

la configurazione geometrica considerata.

̃ ̃

Per verificare se l'ipotesi di fluido ideale è soddisfa a anche nella pra ca, il metodo più

immediato è applicare uno strumento che consenta di delineare, anche per il caso pra co,

la linea piezometrica, ovvero tracciare il valore di z + p/γ lungo la condo a.

La linea piezometrica rappresenta il valore della quota piezometrica. Lo strumento

rivelatore più semplice della quota piezometrica è il piezometro. Nella sta ca dei fluidi,

quando si introduce un tubicino in un serbatoio di fluido fermo, facendo risalire un piccolo

volume di fluido senza alterare lo stato del volume principale, si osserva fino a che quota

risale il fluido. Se valgono le leggi della sta ca (in par colare il principio di Stevino), quel

livello di risalita è l'indicatore della quota piezometrica, perché il livello rappresenta

l'interfaccia tra il fluido e la pressione atmosferica.

Il piezometro può essere u lizzato anche per fluidi in moto, ed è par colarmente u le come

rivelatore di quota piezometrica quando si ha a che fare con corren re linee. In una

corrente re linea, in tu i pun della sezione trasversale si ha la stessa quota

piezometrica, quindi la distribuzione della pressione è idrosta ca. Inserendo un tubicino

piccolo all'interno della condo a, in modo che il processo non sia perturbato dalla misura, il

livello risale fino a indicare la quota piezometrica associata a quella sezione, ovvero fino alla

linea piezometrica.

Nel caso dell'esperimento ideale con fluido ideale, se la teoria fosse una perfe a

rappresentazione della realtà, ci si aspe erebbe che, ovunque si inserisca il tubicino

piezometrico, il livello si stabilizzi sempre allo stesso valore, corrispondente alla linea

piezometrica orizzontale del serbatoio di valle.

̃ ̃ − ̃

V

α· 2g ̃

Procedendo in laboratorio con l'inserimento di piezometri in diverse sezioni, si osserva un

comportamento diverso. Inserendo un tubicino in prossimità del serbatoio di valle, il livello

si porta effe vamente a una quota vicina a quella del serbatoio di valle. Tu avia, inserendo

un altro piezometro più verso monte, il livello si sposta verso l'alto. Procedendo con ulteriori

piezometri sempre più vicini al serbatoio di monte, si osserva che i livelli con nuano ad

aumentare. ̃ ̃

Questo semplice strumento consente di visualizzare uno scostamento dal comportamento

a eso so o l'ipotesi di reologia di fluido ideale. La presenza di sforzi tangenziali

all'interno del moto reale fa sì che la quota piezometrica non si mantenga costante.

L'andamento osservato, unendo i vari livelli nei piezometri, mostra una linea piezometrica

inclinata che decresce procedendo da monte verso valle. Si ricorda che le linee vengono

tracciate tra la sezione di imbocco I e la sezione di sbocco U nella condo a.

A par re dalla linea piezometrica così tracciata sperimentalmente, è possibile tracciare

anche la linea dei carichi totali. Il carico totale medio è definito come la somma di quota

piezometrica e altezza cine ca:

= + +

2

Le due linee (carichi totali e piezometrica) sono parallele perché, per conservazione della

massa so o le ipotesi di fluido incomprimibile e moto stazionario, la portata volumetrica è

costante. Inoltre, non essendoci rilevan variazioni della configurazione geometrica (l'area

trasversale è costante), anche il profilo di velocità può essere ritenuto sostanzialmente

uniforme lungo la condo a, di conseguenza il coefficiente α può essere considerato

costante. Il termine di altezza cine ca è quindi costante lungo s, e le due linee risultano

parallele.

Questa proprietà vale anche nel caso di fluido reale. La conservazione della massa è un

principio fondamentale, non un'approssimazione come il modello reologico. Quindi, anche

nel caso reale, le due linee (carichi totali e piezometrica) sono parallele, separate dall'altezza

cine ca costante /2g:

̃ ̃

Un'osservazione fondamentale emerge dall'esperimento: la differenza di energia potenziale

per unità di peso tra il serbatoio di monte e il serbatoio di valle (̃ ) non è più

− ̃

completamente conver ta in energia cine ca come nel caso ideale. Solo una parte di questa

differenza si converte in energia cine ca.

̃ ̃ − ̃

V ̃

α· 2g

∆

Il fa o che le linee non siano più orizzontali ma inclinate e penden verso valle indica che

l'insorgenza di fenomeni dissipa vi, dovuta alla presenza degli sforzi tangenziali nella

realtà, porta a una perdita di energia per effe o degli a ri .

Tu avia, si nota che la pendenza di queste linee è costante. Il riscontro sperimentale mostra

che a parità di incremento Δs dell'ascissa curvilinea, si ha sempre lo stesso decremento

Δ del carico totale medio. Per distanze Δs uguali si hanno perdite Δ uguali.

Questo comportamento suggerisce di definire una nuova grandezza:

= − = [. ]

Questa quan tà prende il nome di cadente energe ca (o cadente piezometrica) ed è

proprio la pendenza costante (in valore assoluto) della linea dei carichi totali. Il segno

nega vo è necessario perché l'ascissa curvilinea s ha direzione posi va nel verso del moto,

mentre sta diminuendo nel verso del moto.

è una grandezza adimensionale (rapporto tra due misure di lunghezza),tu avia è possibile

dare un'interpretazione fisica più significa va. In un'interpretazione energe ca, il carico

totale medio può essere visto come un'energia per unità di peso, che dimensionalmente è

comunque una lunghezza. Dividendo per una lunghezza, il rapporto rimane adimensionale,

ma questa visione fornisce maggiori informazioni sul significato fisico della grandezza:

= ℎ

La cadente energe ca J rappresenta la perdita di energia per unità di peso a cui va

incontro una corrente re linea per unità di lunghezza percorsa.

Con questa nuova comprensione derivante dal riscontro sperimentale, è possibile scrivere

come diventa l'equazione di Bernoulli per fluidi reali. Se è il tasso con cui diminuisce ,

e la distanza tra la sezione di imbocco I e la sezione di sbocco U è L, allora la perdita totale di

energia che si verifica lungo il percorso sarà :

≔

Questa quan tà prende il nome di perdita distribuita, proprio perché è costante lungo tu a

la corrente, distribuita uniformemente.

Scrivendo l'equazione di Bernoulli tra le due sezioni:

= +

Esplicitando i termini:

̃ + + = ̃ + + +

2 2

Ragionando:

̃ + + = =

2

Prendendo un punto A lontano dalla sezione di imbocco dal quale parte una traie oria che

arriva proprio sulla sezione di ingresso possiamo applicare il teorema di bernoulli perché

lontano dalla sezione di ingresso gli sforzi tangenziali del moto sono nulli pra camente e

quindi è come se avessi fluido ideale:

P P

̃ + + = = = = ̃ + + = ̃ + = Stevino = ̃

2 γ 2 γ

Il fluido che esce dalla sezione di sbocco è a conta o con il fluido in quiete del serbatoio di

valle e quindi vale Stevino (quota piezometrica costante e in questo caso uguale a :

̃

̃ + + + = ̃ + +

2 2

Quindi sos tuendo:

̃ = ̃ + +

2

Da questa relazione si può ricavare la velocità media effe va:

2

= [̃ − ̃ − ]

CONFRONTO CASO IDEALE VS CASO REALE

CASO IDEALE CASO REALE

̃ − ̃ = ̃ − ̃ = +

2 2

2 2

= [̃ − ̃ ] = [̃ − ̃ − ]

Nel caso ideale tu a l’energia potenziale per unità di peso viene conver ta in energia

cine ca per unità di peso. Nel caso reale una parte viene “persa” (e quindi la velocità

effe va è anche minore)

Mentre nel caso dell’efflusso si correggeva banalmente con un coefficiente qui è più

complicato perché la perdita dipende dalla lunghezza della condo a e dalla cadente che

dipende dalla configurazione della condo a. L’obie vo è ricavare una legge empirica (la si

ricava empiricamente) che fornisce a par re da parametri quali diametro, rugosità,

velocità…

3.4.2-DETERMINAZIONE DI LEGGI EMPIRICHE: METODOLOGIA GENERALE E TEOREMA DI

BUCKINGHAM

Una legge empirica è la relazione funzionale che lega una determinata grandezza a una serie

di variabili da cui essa dipende fisicamente. Esistono mol modi per determinare una legge

empirica, uno dei quali consiste nell'impostare una sperimentazione che por alla

determinazione di questa relazione funzionale.

FOCUS: LEGGE EMPIRICA

Una generica grandezza , che si sa essere legata fisicamente a una serie di grandezze del

processo richiede l'individuazione della relazione funzionale:

, , … , )

= ( , , … ,

Le grandezze sono chiamate variabili di controllo e sono cara eris che in

, , … ,

input dell'esperimento. è chiamata variabile di stato e viene misurata dall'esperimento.

L'interesse è impostare una sperimentazione efficace per determinare questa relazione

funzionale Quando è nota, si può sapere quanto vale la grandezza per qualsiasi

.

combinazione dei parametri .

, , … ,

Le variabili di controllo sono parametri del sistema che possono essere imposta e

controlla . La variabile di stato è quella che viene misurata. La prima scelta nell'applicazione

della determinazione di una legge empirica è scegliere una grandezza di output che sia

facilmente misurabile.

Nel caso specifico della determinazione di quale variabile di stato è u le? Si consideri un

,

tra o di condo a lungo separato da due piezometri, uno nella sezione con baricentro A e

uno nella sezione con baricentro B.

Se la condo a è orizzontale, le quote dei baricentri e sono uguali. Tra le due sezioni A

̃ ̃

e B distan varrà che:

− =

Sviluppando:

̃ + + − ̃ + + =

2 2

Le altezze cine che nelle due sezioni sono uguali per con nuità (stessa area, stessa portata).

Inoltre, se la condo a è orizzontale . Quindi:

̃ = ̃

− =

Ovvero: 1 ∆

= ∙

La variabile di stato u le per la determinazione della legge empirica è quindi la caduta di

pressione per unità di lunghezza ΔP/. Questa è la grandezza che deve essere misurata in

tu e le sperimentazioni.

Il passo successivo è iden ficare le variabili di controllo, ovvero capire di quali parametri in

input dipende ΔP/. Il problema è un moto di fluido in condo a, quindi ΔP/ sarà funzione di

una serie di parametri rilevan del processo.

Il moto viene descri o in termini di una velocità media . Questa è la prima variabile di