Geometria e algebra lineare: concetti fondamentali

W​.

●​ Esistenza e Unicità: Un'applicazione lineare è univocamente determinata dalle

immagini dei vettori di una base del dominio. Se B={v1​,…,vn​} è una base di V e

w1​,…,wn​

sono vettori arbitrari in W, esiste una e una sola applicazione lineare

L:V→W tale che L(vi​)=wi​

per ogni i.

●​ Kernel (Nucleo): Il Kernel di L, indicato con Ker(L), è l'insieme di tutti i vettori nel

dominio V che vengono mappati al vettore nullo in W: Ker(L)={v∈V∣L(v)=0

W​} Il Kernel è sempre un sottospazio di V.

●​ Immagine: L'Immagine di L, indicata con Im(L), è l'insieme di tutti i vettori in W che

sono immagini di almeno un vettore in V: Im(L)={L(v)∣v∈V} L'Immagine è sempre un

sottospazio di W.

●​ Teorema delle Dimensioni (o del Rango): Per un'applicazione lineare L:V→W, la

dimensione del dominio è uguale alla somma della dimensione del Kernel e della

dimensione dell'Immagine: dim(V)=dim(KerL)+dim(ImL)

●​ Iniettività e Suriettività:

○​ Un'applicazione lineare L è iniettiva se e solo se il suo Kernel è banale (cioè,

contiene solo il vettore nullo: Ker(L)={0 V​}). Un'applicazione lineare

iniettiva preserva l'indipendenza lineare.

○​ Un'applicazione lineare L è suriettiva se e solo se la sua Immagine coincide

con l'intero codominio (Im(L)=W).

○​ Un'applicazione lineare biiettiva è detta isomorfismo. Se due spazi vettoriali

sono isomorfi, allora hanno la stessa dimensione.

●​ Matrice Associata ad una Trasformazione Lineare: Data un'applicazione lineare

L:V→W e scelte una base B={v1​,…,vn​} per V e una base B′={w1​,…,wm​} per W, la

matrice associata MB′B​(L) è una matrice m×n le cui colonne sono le coordinate

delle immagini dei vettori di B (cioè L(vj​)) espresse rispetto alla base B′.

●​ Autovalori e Autovettori:

○​ Un vettore non nullo v∈V è un autovettore di un'applicazione lineare L:V→V

se L(v)=λv per qualche scalare λ∈K. Lo scalare λ è detto autovalore.

○​ L'autospazio Vλ​

associato all'autovalore λ è l'insieme di tutti gli autovettori

corrispondenti a λ, più il vettore nullo.

○​ Per una matrice quadrata A, gli autovalori sono le soluzioni dell'equazione

det(A−λI)=0, dove I è la matrice identità. Questa equazione definisce il

polinomio caratteristico.

○​ La molteplicità algebrica (mλ​) di un autovalore λ è la sua molteplicità come

radice del polinomio caratteristico.

○​ La molteplicità geometrica (dim Vλ​) è la dimensione dell'autospazio Vλ​. Si

ha sempre dim Vλ​≤mλ​.

●​ Diagonalizzazione:

○​ Un'applicazione lineare L:V→V (o la sua matrice associata) è

diagonalizzabile se esiste una base E di V tale che la matrice MEE​(L) è una

matrice diagonale.

○​ L è diagonalizzabile se e solo se V ammette una base di autovettori per L.

○​ Se L ammette dim(V) autovalori distinti, allora L è diagonalizzabile.

○​ Il Teorema Spettrale fornisce le condizioni necessarie e sufficienti per la

diagonalizzabilità di una matrice A:

1.​ La molteplicità geometrica di ogni autovalore deve essere uguale alla

sua molteplicità algebrica (dim Vλi​​=mλi​​

per ogni autovalore λi​).

2.​ La somma delle molteplicità algebriche di tutti gli autovalori distinti

deve essere uguale alla dimensione dello spazio (∑mλi​​=n, dove

n=dimV).

3. Matrici e Sistemi Lineari

●​ Operazioni con Matrici:

○​ La somma di matrici si effettua sommando gli elementi corrispondenti.

○​ Il prodotto riga per colonna è possibile solo se il numero di colonne della

prima matrice è uguale al numero di righe della seconda. La matrice identità

(In​) funge da elemento neutro per il prodotto di matrici quadrate.

●​ Matrice Invertibile: Una matrice quadrata A è invertibile se esiste una matrice B

(detta inversa, A−1) tale che AB=BA=In​.

●​ Determinante: Una funzione che associa a ogni matrice quadrata uno scalare.

○​ Calcolo: Per matrici 2x2 e 3x3 si può usare la regola di Sarrus. Per matrici

di ordine maggiore, si usa lo sviluppo di Laplace lungo una riga o una

colonna.

○​ Proprietà: Il determinante cambia segno se si scambiano due righe o

colonne. È zero se due righe o colonne sono uguali. Non cambia se si

aggiunge a una riga (o colonna) una combinazione lineare delle altre.

○​ Criterio di Invertibilità: Una matrice A è invertibile se e solo se il suo

determinante è non nullo (det(A)=0). In questo caso, det(A−1)=1/det(A).

Inoltre, le colonne (e le righe) di A sono linearmente indipendenti se e solo se

det(A)=0.

●​ Rango di una Matrice: Il rango di una matrice A è la dimensione massima dello

spazio vettoriale generato dalle sue righe o dalle sue colonne. Equivalente al

massimo ordine dei minori (determinanti di sottomatrici quadrate) non nulli della

matrice.

●​ Matrici Simili: Due matrici quadrate A e B sono simili se esiste una matrice

invertibile N tale che A=N−1BN. Matrici simili rappresentano la stessa applicazione

lineare rispetto a basi diverse e hanno lo stesso polinomio caratteristico.

●​ Sistemi di Equazioni Lineari:

○​ Un sistema lineare si presenta nella forma compatta AX=B, dove A è la

matrice dei coefficienti, X il vettore delle incognite e B il vettore dei termini

noti.

○​ Il sistema omogeneo associato è AX=0 . Le sue soluzioni

formano un sottospazio vettoriale la cui dimensione è uguale al numero di

incognite meno il rango della matrice dei coefficienti (dim S0​=n−rg(A)).

○​ Teorema di Rouché-Capelli: Un sistema lineare AX=B ammette soluzioni se

e solo se il rango della matrice dei coefficienti A è uguale al rango della

matrice completa [A∣B].

○​ Tipi di Soluzioni:

■​ Se rg(A)=rg([A∣B])=n (numero di incognite), il sistema ha una unica

soluzione (è un sistema di Cramer).

■​ Se rg(A)=rg([A∣B])<n, il sistema ha infinite soluzioni.

■​ Se rg(A)=rg([A∣B]), il sistema non ha soluzioni.

○​ Struttura delle Soluzioni: L'insieme delle soluzioni S di un sistema non

omogeneo è dato dalla somma di una soluzione particolare xˉ e del

sottospazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato S0​:

S={xˉ+u∣u∈S0​}.

4. Geometria Analitica e Spazio Euclideo

●​ Vettori Geometrici: Un vettore geometrico è una classe di equipollenza di segmenti

orientati, ovvero segmenti che hanno lo stesso modulo (lunghezza), la stessa

direzione e lo stesso verso. L'insieme dei vettori geometrici V(Σ) forma uno spazio

vettoriale reale.

●​ Riferimento Cartesiano Ortogonale: Un sistema di riferimento in cui gli assi sono

ortogonali tra loro e l'unità di misura è la stessa su tutti gli assi.

●​ Prodotto Scalare: In uno spazio vettoriale euclideo (uno spazio vettoriale su R

con un prodotto scalare definito positivo, cioè v⋅v≥0 e v⋅v=0⟺v=0 ). Il

prodotto scalare di due vettori in un riferimento ortonormale si calcola come la

somma dei prodotti delle loro componenti omologhe.

●​ Norma (Modulo): La norma o modulo di un vettore v è la sua "lunghezza", calcolata

come ​. Valgono la Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

∣∣v∣∣=v⋅v

(∣v⋅w∣≤∣∣v∣∣∣∣w∣∣) e la Disuguaglianza Triangolare (∣∣v+w∣∣≤∣∣v∣∣+∣∣w∣∣).

●​ Distanza tra Punti: La distanza tra due punti P0​(x0​,y0​,z0​) e P1​(x1​,y1​,z1​) è la norma

del vettore differenza: d(P0​,P1​)=∣∣P0​P1​ ​

∣∣=(x1​−x0​)2+(y1​−y0​)2+(z1​−z0​)2

​

●​ Sfera: L'equazione generale di una sfera con centro (α,β,γ) e raggio r è:

(x−α)2+(y−β)2+(z−γ)2=r2

●​ Base Ortogonale e Ortonormale: Una base è ortogonale se tutti i suoi vettori sono

a due a due ortogonali (il loro prodotto scalare è zero). Se i vettori sono anche unitari

(hanno norma 1), la base è ortonormale. Il processo di Gram-Schmidt permette di

costruire una base ortogonale (o ortonormale) a partire da qualsiasi base. Le

coordinate di un vettore rispetto a una base ortogonale sono i coefficienti di Fourier.

●​ Retta nello Spazio:

○​ Equazioni Parametriche: x=x0​+tl, y=y0​+tm, z=z0​+tn, dove (x0​,y0​,z0​) è un

punto sulla retta e (l,m,n) sono i suoi parametri direttori (che determinano la

direzione della retta).

○​ Equazioni Cartesiane: Una retta è definita dall'intersezione di due piani non

paralleli.

○​ Fascio di Piani per una Retta: Data una retta definita dall'intersezione dei

piani π1​:f1​(x,y,z)=0 e π2​:f2​(x,y,z)=0, il fascio di piani che contiene la retta è

dato da λf1​+μf2​=0 (o f1​+δf2​=0 se λ=0).

●​ Piano nello Spazio:

○​ Equazione Cartesiana: ax+by+cz+d=0, dove (a,b,c) sono le componenti di

un vettore normale (perpendicolare) al piano.

○​ Condizione di Parallelismo: Due piani sono paralleli se i loro vettori normali

sono proporzionali. Una retta è parallela a un piano se il prodotto scalare tra il

suo vettore direttore e il vettore normale del piano è zero.

○​ Condizione di Ortogonalità: Una retta è ortogonale a un piano se il suo

vettore direttore è proporzionale al vettore normale del piano. Due piani sono

ortogonali se il prodotto scalare dei loro vettori normali è zero.

○​ Stella di Piani per un Punto: L'equazione generale di un piano passante per

un punto P0​(x0​,y0​,z0​) è a(x−x0​)+b(y−y0​)+c(z−z0​)=0.

●​ Coordinate Omogenee: Un punto nello spazio euclideo (x,y,z) può essere

rappresentato in coordinate omogenee come [X,Y,Z,T], dove x=X/T,y=Y/T,z=Z/T (per

T=0).

○​ Questo sistema permette di includere i punti impropri (o "all'infinito"), che

corrispondono a T=0. Questi punti rappresentano le direzioni delle rette nello

spazio.

○​ L'equazione cartesiana di un piano ax+by+cz+d=0 diventa aX+bY+cZ+dT=0

in coordinate omogenee. Il piano improprio è T=0.

○​ Vantaggi: Le coordinate omogenee semplificano lo studio di proprietà

geometriche come l'allineamento di punti, la complanarità di punti o rette,

evitando casi speciali per punti all'infinito.

5. Curve e Superfici Algebriche (Coniche e Quadriche)