Geometria descrittiva

RETTA PERPENDICOLARE AL PIANO ORIZZONTALE

• Tr’ proprio mentre Tr’’ improprio

RETTA APPARTENENTE AL PIANO DI PROFILO

• Tr’ e Tr’’ sono propri e coincidenti

• Le due proiezioni della retta sono ortogonali alla linea di terra

• Le proiezioni sono identificate dallo stesso piano proiettante: quindi la proiezione è

identificata da due semirette che si incontrano nello stesso punto della linea di terra

RETTA INCIDENTE ALLA LINEA DI TERRA

Retta incidente alla linea di terra o retta che passa per l

• Tr’ coincidente con Tr’’, perché la retta incontra i due piani quadri nello stesso punto

RETTE APPARTENENTI AI PIANI DI PROIEZIONE

• r’’ coincide con la linea di terra • Tr’ va all’infinito •

r’ coincide con la linea di terra

• Tr’’ va all’infinito

PROIEZIONE ORTOGONALE DEL PIANO

NOZIONI

• Si chiama piano proiettante (piano passante per un punto fissato: centro di proiezione) perché

contiene la direzione della proiezione

• I piani si incontrano in una retta impropria

• Il piano si rappresenta sempre con le sue tracce

• Il piano si rappresenta senza centro di proiezione perché si usano le rette d’intersezione del

piano.

• Il piano non ha fine

• PUNTO UNITO: punto dell’intersezione tra

- PIANO GENERICO

• Il terzo elemento della proiezione è il Piano Generico che non ha una posizione particolare rispetto

ai piani quadri. Nella proiezione ortogonale l’inclinazione non è rispetto ai piani quadri ma rispetto

all’inclinazione delle tracce.

• I piani: verticale, orizzontale, generico si intersecheranno prima o poi e genereranno due rette alfa

1 e alfa 2(intersezione piano alfa con il piano verticale). Queste rette si chiameranno tracce del

piano generico che si incontrano nello stesso punto sulla linea di terra.

• Sotto la linea di terra disegno ciò che vedo nel SOA, sopra disegno ciò che vedo nel SVS

• Nel 1° diedro alfa 2 ha aggetto 0, mentre alfa 1 ha quota 0

PIANO PROIETTANTE IN 1° PROIEZIONE

Piano verticale o proiettante in 1° proiezione 45

• La traccia 1 sarà genericamente inclinata rispetto alla linea di terra

• Quell’angolo generico è reale, cioè misurabile, perché è l’angolo tra il piano proiettante rispetto al

piano verticale

• La traccia 2 sarà sempre ortogonale alla linea di terra, perché essendo verticale forma un angolo di

90° rispetto al piano orizzontale

PIANO PROIETTANTE IN 2° PROIEZIONE

Piano perpendicolare al piano verticale o proiettante in 2° proiezione

• Ha sempre la direzione del centro 2, per consentire di rappresentare la 2° proiezione

• È genericamente inclinato rispetto al piano orizzontale, angolo omega reale, indica veramente qual

è la direzione del piano proiettante rispetto al piano orizzontale

PIANO DI PROFILO

• È un piano ortogonale sia al piano verticale che al piano orizzontale e contiene le direzione di

proiezione (C1, C2)

• Le sue tracce sono ortogonali alla linea di terra

PIANO PARALLELO ALLA LINEA DI TERRA

• Il punto d’intersezione delle due tracce sarà improprio (all’infinito)

• Le tracce saranno parallele alla linea di terra • Il piano forma angoli generici rispetto ai piani

verticale ed orizzontale

• Se le due tracce hanno la stessa distanza tra loro e la linea di terra , allora l’angolo sarà di 45°. Le

tracce possono avere distanze diverse

PIANO PERPENDICOLARE AL PIANO ORIZZONTALE

• Il piano è perpendicolare al piano orizzontale, ma è anche parallelo al piano verticale:

• Traccia 2 impropria

• Traccia 1 parallela alla linea di terra

PIANO PERPENDICOLARE AL PIANO VERTICALE

• Traccia 1 impropria

• Traccia 2 parallela alla linea di terra

CONDIZIONI DI APPARTENENZA

CONDIZIONI DI PARALLELISMO

CONDIZIONI DI ORTOGONALITÀ

SUCCESSIVE SECONDE IMMAGINI

Individuano la vera grandezza degli oggetti proiettati

ULTERIORE 2° PROIEZIONE DEL PUNTO

• Si prende in considerazione la seconda proiezione del punto (P’’) e tramite un altro piano verticale

(genericamente inclinato rispetto al piano verticale, ma SEMPRE ortogonale al piano orizzontale) si

proietta, su di esso, il punto

• Il centro di proiezione è improprio e sarà in direzione ortogonale al nuovo piano verticale

• La quota di P’’ è uguale a quella di P*, mentre l’aggetto cambia

ULTERIORE 2° PROIEZIONE DI UNA RETTA GENERICA

• Per proiettare una retta ho bisogno di due punti: le tracce • Ho bisogno di un altro piano verticale

che individuerà l*

• Il ribaltamento dell’altro piano verticale va fatto in modo da non impedire una lettura chiara del

disegno

• r* non è uguale a r perché il piano* non è parallelo ad un piano proiettante contenente la

sotto

ULTERIORE 2° PROIEZIONE DI UN PIANO GENERICO

• Bisogna trovare un’ulteriore retta d’intersezione con un altro piano quadro (alfa*)

• Disegno l* che coincide con la prima traccia del piano proiettante in 1° proiezione

• Trovo le intersezioni delle tracce della retta r

• Ribalto il piano verticale* e trovo le ulteriori seconde proiezioni

VERE GRANDEZZE

Problemi distanze angoli

SEGMENTO Distanza di due punti

1° POSSIBILITÀ

• Lunghezza del segmento AB genericamente inclinato rispetto ai piani verticale ed orizzontale ed è

piano di profilo(A, B ortogonali alla linea di terra)

2° POSSIBILITÀ • Per determinare la dimensione devo utilizzare un nuovo piano di profilo che

contenga il segmento. Questo piano andrà poi ribaltato su uno dei piani quadri. (la retta di richiamo

coincide con l*) • NOTA! Se uso un piano quadro non devo specificare il ribaltamento, se non lo

uso, invece si. • B si trova sul piano di ribaltamento, A si sposta mantenendo la stessa

2° POSSIBILITÀ

• Non prendo un piano quadro che contiene il segmento ma prendo un piano parallelo alla retta

• Uso un altro piano (*) parallelo a quello di profilo per ottenere la vera grandezza

• Il piano* sarà ribaltato sul pino orizzontale

3° POSSIBILITÀ

• I due punti non sono allineati. La loro unione sarà un segmento inclinato rispetto ai piani di

riferimento.

• Il piano è parallelo al piano che contiene la retta ed è genericamente inclinato rispetto al piano

verticale • A sul piano orizzontale, B sul piano verticale

1 2

3

RETTA DI MASSIMA PENDENZA

• Retta d’intersezione di due piani e crea il massimo angolo con i piani di riferimento • Piano beta

proiettante in 1°proiezione ortogonale al piano alfa • VINCOLO: beta 1 ortogonale ad alfa 1 • Per

un punto di un piano generico passano infinite rette che formano con il piano orizzontale angoli

variabili, da 0 (retta orizzontale) fino ad un massimo che corrisponde alla retta di massima pendenza

che è normale alla retta orizzontale

DISTANZA DI UN PUNTO DA UN PIANO

• Disegno un piano generico (alfa) e un punto P. • Disegno un piano proiettante (beta) che contiene

P ed è ortogonale ad alfa. Quindi la retta d’intersezione è la retta di massima pendenza • Ribalto

beta 2 e trovo la vera grandezza di r • Ribalto P • Trovo la distanza minima tra P e (r) in vera

grandezza

RIBALTAMENTO PIANO GENERICO

• Alfa 1: asse di ribaltamento fa ruotare tutto ciò che è compreso tra alfa 1 e alfa 2

• Il punto d’intersezione delle due tracce del piano generico rimane fisso (H).

• Uso un piano proiettante in 1° proiezione (gamma) con gamma 1 ortogonale ad alfa 1

• H ed O appartengono ad alfa 2 quindi appartengono al piano ribaltato.

• I segmenti HO e HO* sono uguali

• NOTA! Ogni piano avrà un traccia di ribaltamento diversa

PUNTO APPARTENENTE AD UN PIANO GENERICO

• Prendo un punto che appartiene al piano generico mediante una retta orizzontale.

• Uso un piano gamma proiettante in prima proiezione che contiene P e che darà la direzione in cui

si ribalterà il punto.

• Verifico la distanza tra P e Q

• Disegno le proiezioni della retta s passante per Q

• Ribalto Q e s unisco P* e Q* e trovo la vera grandezza del segmento PQ

POLIGONI

PORZIONE DI PIANO DELIMITATA DA UNA LINEA SPEZZATA CHIUSA 75 ELEMENTI •

LATI: tutti i segmenti che compongono la linea spezzata

• VERTICI: estremi dei segmenti, punti d’incontro dei lati

• SUPERFICIE: parte del piano delimitata dalla spezzata

• ANGOLI INTERNI: parte del piano delimitata da due lati del poligono

• NOTA! Un poligono ha lo stesso numero di: lati, angoli e vertici.

CLASSIFICAZIONE • Per NUMERO di LATI: triangolo, quadrato…

• Per FORMA: semplice, complesso

• Per ANGOLI: convesso, concavo

• Per SIMMETRIA o CONGRUENZA: equilatero, equiangolo, regolare, irregolare NOTA!

• Abbiamo sempre bisogno di punti o segmenti per rappresentare i poligoni.

• SCORCIO PARZIALE: riduzione parziale di una dimensione reale (segmento rimane segmento)

• SCORCIO TOTALE: riduzione massima di un elemento dalla sua dimensione (segmento che

diventa punto

POLIGONI IN PROIEZIONE ORTOGONALE

RETTANGOLO

• Seconda proiezione in scorcio totale, in cui vi è la vera grandezza dei lati lunghi della figura

• Prima proiezione in vera grandezza

• La figura sta su un piano orizzontale parallelo al piano quadro orizzontale

TRIANGOLO

• Seconda proiezione in vera grandezza

• Prima proiezione in scorcio totale.

• La figura sta su un piano verticale parallelo al piano quadro verticale

POLIGONO IRREGOLARE

• Seconda proiezione in scorcio totale, in cui vi è la vera grandezza dei lati lunghi della figura

• Prima proiezione in vera grandezza

• La figura sta su un piano orizzontale parallelo al piano quadro orizzontale

RETTANGOLO SUL PIANO PROIETTANTE IN SECONDA

RETTANGOLO SUL PIANO PROIETTANTE IN PRIMA

NON IN VERA GRANDEZZA

• Non vi è la vera grandezza perché si trova su un piano genericamente inclinato al piano verticale.

• Nella prima proiezione avremo lo scorcio totale, nonché vera grandezza dei lati lunghi del

rettangolo

• Nella seconda proiezione vi sono i lati corti in vera grandezza, perché paralleli al piano verticale

IN VERA GRANDEZZA

• Uso il ribaltamento della seconda proiezione per disegnare in vera grandezza il poligono

• Tutto ciò che sta su alfa 1 si ribalta su se