Fluidodinamica numerica per applicazioni industriali - Tutta la teoria del corso

Navier Stokes

Formulazione Conservativa:

∂_t ∫_V ρ dV + ∫_A ρ ̅ · ̅ dA = 0

Formulazione Integrale

∂_t ∫_V ρ dV + ∫_A ρ_H (̅ · ̅) dA = ∫ ρ̅ dV - ∫ ρ̅ dA + ∫_A q_n dA

Teorema Divergenza

∫_S ̅ · ̅ dA = ∫_V ∇ · ̅ dV

Formulazione Differenziale

{ ∂_t ρ + ∇ (ρ ̅ · ̅) = 0

∂_t ρ ̅ + ∇ (ρ ̅ × ̅) = ρ̅ - ∇p + ∇

∂_t ρE + ∇ (ρH) = ρ̅ · ̅ + ∇ (̅) + q∇

La divergenza di un vettore é uno scalare e la divergenza di un tensore è un vettore.

Formulazione Non Conservativa:

Per passare dalla formulazione conservativa ad una non conservativa si deve usare l'equazione di continuità... eseguendo le derivate:

∂p / ∂t + ∇ (̅ · ̅) = ∂ dX_i/ ∂t + ϱ / dX_i(_xi +^*) = 0

Derivata di x che è composta solo de f e f funzione di x(t) e t

Quindi: ∂r / ∂t x_i + ϱ ϱdX_i = 0

Compattandola risulta df / dt = ϱ J dX_i = 0

Sostituendola nelle NS si ha che formulazione non conservativa:

{ ∂r / ∂t + ϱ J dX_i = 0

∂J / ∂t + ϱ JP / dX_i = ϱq_i + J dc̅_i / dx_i

∂E / ∂t + _i H / dx_i = f _i + U_i

Il tensore degli sforzi τ_ij si definisce considerando fluido Newtoniano:

τ_ij = -⅔ ∇

(̅ / ∂x_j + ∂y_j)

Gli sforzi di taglio sono α ed ∇∇∇ (gradiente della velocità)

Le formulazioni (concs e non concs) sono equivalenti a livello fisico ma non a livello numerico (nel caso comprimibile la formulazione non concs non tiene traccia delle discontinuità d'urto).

FORMULAZIONE VETTORIALE:

Formulazione adottata per la risoluzione numerica

Definiamo il primo vettor colonna:

U_i = [^p_ρ ^u_ρ ^v_ρ ^w_ρ ^e_ρ]   VETTORE VARIABILI CONDIZIO

F = [^{ρu ρu² +p ρuv ρuw (e+p)u}]   VETTORI INCOSNICHEG = [^{ρv ρuv ρv² +p ρvw (e+p)v}]H = [^{ρw ρuw ρvw ρw² +p (e+p)w}]

VETTORI DEI FLUSSI NON VISCOSI:

FLUSSI CONVETTIVI (1^o ordine)

S^- = [∑^x ∑^y ∑^z]   VETTORE TERMINI SORGENTEF_v = [^{τ_xx τ_xy τ_xz t_vx}]G_v = [^{τ_yx τ_yy τ_yz t_vy}]H_v = [^{τ_zx τ_zy τ_zz t_vz}]

VETTORI DEI FLUSSI VISCOSI:

(2^o ordine)

Le equazioni di NS in un sistema cartesiano saranno:

∂U_i/∂t + ∂F/∂x + ∂G/∂y + ∂H/∂z = ∂S/∂x + ∂F_v/∂x + ∂G_v/∂y + ∂H_v/∂z

FORMULAZIONE IN UN SDR CURVILINEO FISSO

Adesso si vuole traslare il nostro sistema di equazioni vettoriali da un sistema invariato di coordinate cartesiane ad un sistema invariato di coordinate curvilinee generali:

ξ = E(x,y,z) η = F(x,y,z) ζ = G(x,y,z)

Si nota che le coordinate non dipendono dal tempo

Per introdurre la formulazione nel sdr curvilineo si deve tenere conto che: ε_x = ∂ξ/∂x; ε_y = ∂η/∂y; ε_z = ∂ζ/∂z → convenz come lunghezze nel jab sdr^flemment

j = determinante dello Jacobiano → correlati vet lunghezze

Tutti i termini vengono riscritti come:

Ú = Ú_j

&Facute; = Fε_x + Gε_y + Hε_z; &Gacute; = Fε_x + Gε_y + Hε_z; &Hacute; = Fε_x + Gε_y + Hε_z

Avremo che la formulazione risulta:

j∂U/∂ξ + j∂F/∂ξ + j∂G/∂η + j∂H/∂ζ + j∂I/∂ξ + j∂J/∂ξ + j∂K/∂ζ

FORMULAZIONE IN UN SDR CURVILINEO MOBILE

Il sistema di riferimento si nota che dipende dal tempo infatti si muove anche se si ferma lo strano e le coordinate saranno dipendenti dal tempo j inerzi nel sistema di riferimento rotante che poniamo uguale a quello misurato nel sistema fisso t.

ξ = E(x,y,z,t)η = F(x,y,z,t)ζ = G(x,y,z,t)t; tempo nel fisico Τt - tempo nel mobile

Supponiamo di porci in un sdr curvilineo rotante a velocità ω attorno all'asse z del sdr cartesiano:

X(t) = Costante   →  X_Fc = ωZsin(ωt)Y(t) = rCos(αt)   →  Y_Fc = −ωZcos(ωt)Z(t) = sin(ωt)   →  Z_Y = Y(t)

Derivando adesso le derivate X_T, Y_Z e Z, visto al tempo T, nel Sistema di riferimento intertime avremo Che:

Ricordiamo che una perturbazione generata in P sara avvertita solo nel dominio di influenza di P.

Metodi di soluzione alle differenze finite

Nella fluidodinamica si preferiscono metodi sull'approccio ai volumi finiti, i metodi sulle differenze finite sono poco usati.

Discretizzazione - Processo per il quale un'equazione differenziale alle derivate parziali, spiegandole in un sottoinsieme di un dominio, viene ridotta ad un'analoga espressione, la quale ha come soluzione i valori in un numero finito di punti del dominio stesso.

La conseguente discreta [equazione] riguardo il fatto che è:

• Equazioni differenziali alle derivate parziali
• Sistema di equazioni algebriche

Per risolvere numericamente un'equazione differenziale alle derivate parziali è necessario discretizzare e ottenere il metodo per il quale l'equazione stessa è definita e questo porta a discreti quantistici.

Il modo più semplice di discretizzare un VC è ricoprirlo con una griglia da calcolo regolare. Consideriamo il caso 2D.

La soluzione u(x,y) continua nel dominio verrà quindi sostituita da una soluzione discreta u_i,j definita nei punti (i, j), di coordinate (x_i, y_j), della griglia.

La soluzione discreta può essere trattata come un'espansione in Serie di Taylor:

u(x+h,y) = u(x,y) + h(∂u/∂x) + (h²/2)²(∂²u/∂x²) + O(h³)

u(x−h,y) = u(x,y) − h(∂u/∂x) + (h²/2)²(∂²u/∂x²) + O(h³)

in forma discreta:

u_i,j = u_i,j + h(∂u/∂x) + h²/2(∂²u/∂x²) + O(h³) (*),

u_i,j = u_i,j - h²/2(∂²u/∂x²) + O(h³) (**)

Dalla discretizzazione è possibile ottenere delle approssimazioni per la (∂u/∂x):

• (∂u/∂x) ≈ (u_i+1,j - u_i,j)/h → Ordine di accuratezza = O(h) → 2 punti in avanti
• (∂u/∂x) ≈ (u_i,j - u_i-1,j)/h → Ordine di accuratezza = O(h) → 2 punti all'indietro
• (∂u/∂x) ≈ (u_i+1,j - u_i-1,j)/2h → Ordine di accuratezza = O(h²) → 3 punti centrata
• (∂²u/∂x²) ≈ (u_i+1,j - 2u_i,j + u_i-1,j)/h → Ordine di accuratezza = O(h²) → 3 punti in avanti
• (∂²u/∂x²) ≈ (u_i+1,j - 2u_i,j + u_i-1,j)/h → Ordine di accuratezza = O(h²) → 3 punti all'indietro

Si nota che più punti si considerano maggiore sarà l'accuratezza dell'approssimazione. Tutte queste approssimazioni vengono chimate "schemi" di calcolo. Nel caso di LHS schemi secondi nel caso di RANS schemi di calcolo. Per quanto riguarda la discretizzazione delle derivate secondo da U, l'approssimazione si trova sommando al [equazione] U_i,j = (U_i+1,j - 2U_i,j + U_i-1,j)/h + O(h²).

Per semplicità introduciamo gli operatori (∂x = U_i+1 − U_i: differenze avanti),

[∂x = U_i − U_i-1: differenze indietro],

[∂x = (U_i+1 − 2U_i + U_i-1): centrata],

Andiamo adesso ad analizzare come si risolve un problema alle differenze finite. Consideriamo un problema governato da equazioni alle derivate parziali del tipo descritto di seguito.