Fluidodinamica e macchine: fluidodinamica

Fluidodinamica

SISTEMI CONTINUI

Sistema Continuo

Regione dello spazio all'interno del quale le proprietà fisiche variano con continuità da punto a punto:

ϕ = ϕ (t, x, y, z)

Sistema Continuo Materiale

Continuo a cui è associata una massa distribuita con continuità nello spazio ad esso stesso.

Densità

ρ = ρ(t, x, y, z)

ρ = lim_SV→0 Σm / SV

FORZE AGENTI SUI SISTEMI CONTINUI

Forze di Volume

Distribuite con continuità nel volume V occupato dal sistema

d³B = b dV

Campo di Forza di Volume

b = lim_δV→0 δB / δV

Inoltre ğ = lim_δm→0 δB / δm

quindi: b = ρ ğ

RELAZIONI SFORZO-VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE

Si considera un elemento fluido fra due sottili piani infiniti che scorrono parallelamente fra loro.

- Supponiamo che la lastra inferiore sia ferma, mentre quella superiore si muova a velocità costante U₀ sotto l'azione della forza applicata S_x.

SFORZO DI TAGLIO AGENTE SUL ELEMENTO FLUIDO

T_yx = lim_Δy→0 (S_x/Δy) forza normale a y, diretta lungo x

VELOCITÀ DI DEFORMAZIONE ANGOLARE

γ_yx = lim_Δt→0 (Δθ/Δt) = dθ/dt

Inoltre:

• SL = Su Δt
• e per angoli piccoli:
• SL = Δθ
• Su = Δy

⇒ Δt/Δs = Su/Δy

quindi

γ_yx = Δu/Δy

Rappresentazione Euleriana o locale del moto

Nel caso della meccanica dei fluidi l’enuncio materiale è pertanto poco sostenibile quindi poniamo invece di fissare l’attenzione su un’unica p. m_i fissa posta somo la concentrazione del somma di moto con l’obbiettivo di determinare le velocità e le altre grandezze connesse agli elementi fluidi che stanno in azione, in un determinato lasso temporale della loro effettiva traiettoria.

Le conoscenze nella rappresentazione lagrangiana del fenomeno sono completamente divergenti prat. ai numeri, alle misure, configurazioni del sistema. Ragone masse immissibili:

• p₁(x₁,y₁,z₁)
• p₂(x₂,y₂,z₂)
• p₃(x₃,y₃,z₃)
• [x,y,z,t]

In questo caso x = y + 2^o concentrano il progetto di continuità del movimento, e pone attenzione in un generico punto dello spazio e (figura) e gli altri derivati in funzione della continuità degli espliciti e la genesi a queste associate metode fluido è quindi φ; φ (x,y,z,t)

= >> e forse nel concetto di campo φ_o le varie grandezze (com poi fl relaz. di_a [versione η, d ], d_dete ecc… di posizione dell'flusso sono espressè in funzione della formazione e del tempo.

Da rappresentazione lagrangiana a euleriana

È non che pensare delle rappresentazioni lagrangiane del sistema:

• dφ/dt = ∂φ/∂t + v ` gradφ

la prima maniera nella rappresentazione legrangiana non classica la varazione scolastica di φ (difinzione e traieztoria degli elementi delle libre la seconda determinare nel punto di motà della conservazione sul vincolo il do che presentano:

• un termine ∂
• nel cambiamento delle variabili in conservazione
• nella situazione la dimensione degli elementi di diverso tempo e la relazione in t. che è framici siamo se questa premium nivo prosto impola la via mantosa nu nn comico uu ^p primo forma

Idrostatica

Studiamo l’equilibrio di un liquido soggetto soltanto al suo peso.

• Densità costante
• Accelerazione di gravità costante

(1) _z1∫^z₀ dp = -ρg ∫_z1^z₀ dz →

P - P₀ = ρg (z₁ - z₀) →

p - p₀ = -ρgh

Legge di Stevino o equazione dell’idrostatica

Forze idrostatiche su superficie immerse

R̅ = -∫_s p n̅ dA

Forze idrostatiche su superficie immerse risultante

Il punto di applicazione della risultante si determina imponendo che il momento della risultante, con il momento mantenuto delle forze esterne:

• Se x,y,z sono le generiche coordinate del punto di applicazione messo all’origine del sistema d’assi cartesiani.
• x_R,y_R sono le coordinate del momento che si applica ai numeri complessi.
• n̅ il versore normale alla superficie nel punto x,y,z suddetta.

(xî + yĵ + zk̂) × R̅ = ∫_n ρ(x_i + y_j + z_k ) × m̅ dA

(2) 3 equazioni scalari che forniscono ciascuna le coordinate del punto di applicazione di R̅

METODO DEL VOLUME DI CONTROLLO

Le equazioni fondamentale per lo studio del moto dei fluidi derivano dell'applicazione delle leggi della meccanica e della termodinamica.

Si possono applicare le leggi fondamentali a una regione finita del campo del moto.

1) Metodo del volume di controllo

CONSERVAZIONE DELLA MASSA

Massa costante nel tempo:

dM/dt = 0 con M = ∫_V(t) ρ dV

Un generico continuo potra godersi nuove e diverse conformazioni e al tempo variabile nel tempo (V(t)).

SECONDO PRINCIPIO DELLA DINAMICA

Per un sistema in moto in un riferimento mobile, la risultante delle forze agenti è data rispetto al tempo allo quantità di moto:

dQ/dt = F

con Q = ∫_V(t) ν ρ dV

(QUANTITÀ DI MOTO)

La risultante F sarà la somma della resultante delle forze di volume e quelle di superficie e delle risultanti forze esterne Rn.

F = ∫_V(t) ρ F_g dV + ∫_S(t) F dA + ∑Rm

Equazione di Continuità - Flusso Stazionario

Coniamo di flusso stazionario in un condotto e un volume di controllo

\[\dot{m} = \int_{A1}^{} \rho \vec{v} \cdot \vec{m} \ dA = \int_{A2}^{} \rho \vec{v} \cdot \vec{m} \ dA = \text{costante}\]

Equazione di Continuità - Flusso Incomprimibile

• \(\rho = \text{costante}\)

• CV non varia nel tempo

• Portata Volumetrica:

\[\dot{V} = \frac{\dot{m}}{\rho} = \int_{A1}^{} \vec{v} \cdot \vec{m} \ dA = \int_{A2}^{} \vec{v} \cdot \vec{m} \ dA = \text{costante}\]

Velocità Media nella Sezione:

\[\bar{v} = \frac{1}{A} \int_{A}^{} \vec{v} \cdot \vec{m} \ dA\]

\( \Rightarrow \quad A1 \cdot \bar{v}1 = A2 \cdot \bar{v}2 \quad ; \quad \frac{v2}{v1} = \frac{A1}{A2} \)

N.B. Per un flusso incomprimibile:

• Accelera in un condotto convergente (A2 < A1)
• Decelera in un condotto divergente (A2 > A1)

FLUSSI INCOMPRIMIBILI NON VISCOSI

• Tutti i fluidi reali possiedono un coefficiente di viscosità non nullo
• Supporre nullo il coefficiente di viscosità del fluido conduce a una forma più semplice per le equazioni del moto situazioni analoghe allo studio dei sistemi meccanici in assenza di attrito
• Supporre nulla la viscosità significa supporre identicamente nulli tutti gli sforzi tangenziali cosicché, gli sforzi nel fluido sono dovuti esclusivamente ai normali tutti nulli aventi carattere di pressione

Σ = -pΞ

EQUAZIONI DI EULERO PER UN FLUSSO INCOMPRIMIBILE

L’equazione di continuità non coinvolge gli sforzi, essa è identica tanto per un fluido reale quanto per un fluido ideale

_∂V̅ ₊ ∇ V̅ V̅  =  _g 1ρ ∇ p₁ — ^{EQUAZIONI DI EULERO}

=> ∂Vk1 + Vxdx + Vy dy + Vz dvz gx 1∂p

=> _{∂Vy1 dz +} Vx _dx Vy _dy Vz _dx  gy ^1 ∂ sp

=> _{∂Vz dx +} Vx _dy Vy _dy Vz _dz  gz ^1 ∂ sp

Se l’unica forma di forza agente nel fluido è la forza di gravità allora, facendo l’origine z verticale ascendente in me diviene

pϱ =  g Vz

Sostituendo nelle equazioni di Eulero:

_∂ dtV + (ν·∇) V̅  =  ^-∇(fpϱz) _0p  ^{— EQUAZIONI DI EULERO NEL CASO IN CUI L’UNICA FORZA DI MASSA SIA UNICA DI GRAVITÀ}

Nel caso stazionario:

(V̅.∇) V̅  =  -∇_p p^-g Vz

_{— EQUAZIONI DI EULERO CASO STAZIONARIO E INCOMPRIMIBILE}