Fluidodinamica e macchine: fluidodinamica

Fluidodinamica

SISTEMI CONTINUI

SISTEMA CONTINUO

Regione dello spazio all'interno del quale le proprietà variano con continuità da punto a punto:

Φ = Φ (t, x, y, z)

SISTEMA CONTINUO MATERIALE

Continuo a cui è associato una massa distribuita con continuità nello spazio ad essa tema.

DENSITÀ

ρ = ρ (t, x, y, z)

ρ = lim_SV→0 SM/SV

FORZE AGENTI SUI SISTEMI CONTINUI

FORZE DI VOLUME

Distribuite con continuità nel volume V occupato del sistema

d = J V

CAMPO DI FORZA DI VOLUME

= lim_SV→0 B/SV

inoltre = lim_SM→0 B/SM

quindi: = ρ

RELAZIONI SFORZO VELOCITA' DI DEFORMAZIONE

Si consideri un elemento fluido tra due piani infiniti che scorrono parallelamente tra loro.

Supponiamo che la parte inferiore sia ferma, mentre quella superiore si muova a velocità costante Ex sotto l'azione della forza applicata Sfx.

SFORZO DI TAGLIO AGENTE SUL ELEMENTO FLUIDO

_{Tyx lim Sfx SΔy→0 Δy}- Piani normali a Y, direttrici lungo X

VELOCITA' DI DEFORMAZIONE ANGOLARE

_{γyx lim Δα SΔt→0 Δt} . _{dα dt}

• mentre:
• SΔt = Su SΔt
• e per angoli piccoli:
• SΔy SΔα
• = Su
• = Δt Δu
• SΔt Δy

quindi_γyx = _{du dy}

RAPPRESENTAZIONE EULERIANA O LOCALE DEL MOTO

Nel moto della meccanica dei fluidi il continuo materiale è ritenuto una sostanza.

Quindi possiamo pensare di fissare l'attenzione su un'unità di massa piuttosto che su un'osservazione del campo di moto con l'obiettivo di determinare la velocità e le altre proprietà sensoriali agli elementi fluidi che si stanno in azione, in un determinato punto dello spazio fluido.

In questo caso la y²Q² osserviamo nel oggetto di coordinate del campo di moto, fissiamo attenzione su un generico punto dello spazio e apposiamo un sistema di coordinate come lo stesso nel quale però, uno così si muove in funzione della posizione e del tempo.

DA RAPPRESENTAZIONE LAGRANGIANA A EULERIANA

È non utile proporre delle rappresentazioni Lagrangiane dell'azione:

^dQ/_dt = ^∂Q/_dt + ∇ Q

Ogni minimo passo nella conseguenza Lagrangiana rappresenta la variazione soggettiva di un elemento in transizione degli elementi fluidi.

Si riconosce determinare dal punto di vista delle responsabilità sul risultato constatando delle proprietà.

• Si profila se un punto di mantenere la posizione costante e delle Q
• Esso movimento in relazione alle osservazioni determinare le successive evoluzioni nella sua competenza
• Infine il movimento profila un passaggio di moto che si verifica fluido anche se scritto moto

Idrostatica

Studiamo l'equilibrio di un liquido soggetto soltanto al suo peso.

• Densità costante
• Accelerazione di gravità costante

dp = - pg dz = costante

Conosciamo la pressione a una certa quota: p0 = p(z0)

∫(p0 to p) dp = - pg ∫(z0 to z) dz

→ p - p0 = pg (z - z0)

→ p - p0 = - pgh

Legge di Stevino o equazione dell'idrostatica

Forze idrostatiche su superficie immerse

R̅ = - ∫Sp m JA

Forze idrostatiche su superficie immerse risultante

Il punto di applicazione della risultante si determina imponendo che il momento del momento della risultante (con segno) del momento assunto alle origini sia ad esso del momnento.

1. Se x y e z sono le generiche coordinate del punto di origine nel universi al'orgine del sistema d'assegnato.
2. xa ya za sono le coordinate origine prese alla superficie come origini.
3. m il sensore normale alla superficie nel punto xa ya medesimo.

(xî + y^^s + z^^k × R̅) = - ∫Sn (pxî + y^^s + z^^k) × m̅ da

3 equazioni scalari che forniscono ciascuna le coordinate del punto di applicazione di R

METODO DEL VOLUME DI CONTROLLO

Le equazioni fondamentali per lo studio del moto dei fluidi derivano dall'applicazione delle leggi della meccanica e della termodinamica.Si possono applicare le leggi fondamentali a una regione finita del campo del moto.

CONSERVAZIONE DELLA MASSA

Massa costante nel tempo:

_dM/_dt = 0   con   M = ∫_V(t) ρ dV

Un generico continuo cambia profata volume sia nella configurazione e al tempo istante nel simbolo V(t|t).

SECONDO PRINCIPIO DELLA DINAMICA

Per un sistema in moto in un elemento massa, vale la mutazione delle forze agente , sempre con rispetto al tempo della quotità di moto:

_dQ/_dt = F

con   Q = ∫_V(t) ṽ · ρ dV   QUANTITÀ DI MOTO

La risultante F sono la somma della risultant delle emozione di natura , di quelle di superficie , e da emozione force esterne R_m.

F = ∫_V(t) ṗ_g dV + ∫_(t) F dA + ΣR_m

EQUAZIONE DI CONTINUITÁ - FLUSSO STAZIONARIO

Consideriamo il flusso stazionario in un condotto e un volume di controllo.

_{A_1 A_2}

̇ = ∫_A1 ̅⋅̅ dA = ∫_A2 ̅⋅̅ dA = costante

Equazione di continuitá flusso stazionario

EQUAZIONE DI CONTINUITÁ - FLUSSO INCOMPRIMIBILE

• = costante
• Cv non varia nel tempo

Portata volumetrica:

V̇ = ̇ / = ∫_A1 V̅⋅̅ dA = ∫_A2 V̅⋅̅ dA = costante

Velocitá media nella sezione:

V̅ = 1 / Ā ∫_A V̅⋅̅ dA

⇒ A₁ . V̅₁ = A₂ . V̅₂ ; V₂ / V₁ = A₁ / A₂

Note: Per un flusso incomprimibile:

• Accelera in un condotto convergente (A₂ < A₁)
• Decelera in un condotto divergente (A₂ > A₁)

Flussi incomprimibili non viscosi

• Tutti i fluidi reali possiedono un coefficiente di viscosità non nullo
• Supporre nullo il coefficiente di viscosità dei fluidi conduce a una forma più semplice per le equazioni del moto costituendo una base allo studio dei sistemi meccanici in assenza di attrito
• Supporre nulla la viscosità significa supporre identicamente nulle tutte le forze tangenziali cosicché gli elementi fluidi risultino soggetti normali tutti uguali agli esclusi caratteri di pressione:

ζ= - ρ ζ

Equazioni di Eulero per un flusso incomprimibile

L'equazione di continuità non coinvolge gli sforzi essa di risulta identica tanto per un fluido reale quando per un fluido ideale

∂_tv + ∇v v = g_i - 1/ρ ∇p

Equazioni di Eulero

• ∂v_k/∂t + v_x ∂v_k/∂x + v_y ∂v_k/∂y + v_z ∂v_k/∂z = g_x - 1/ρ ∂p/∂x
• ∂v_y/∂t + v_x ∂v_y/∂x + v_y ∂v_y/∂y + v_z ∂v_y/∂z = g_y - 1/ρ ∂p/∂y
• ∂v_z/∂t + v_x ∂v_z/∂x + v_y ∂v_z/∂y + v_z ∂v_z/∂z = g_z - 1/ρ ∂p/∂z

Se l'unica forma di massa agente nel flusso è in forma di proprio peso degli elementi i proiezioni z verticale assorbente in incremento animale:

p_a = ρg_z

Sostituendo nelle equazioni di Eulero:

∂v/∂t + (v·∇)v = -∇(p_a + ρg_z)

Equazioni di Eulero nel caso in cui l'unica forza di massa sia quella di gravitá

Nel caso stationamus:

(v·∇)v = - ∇p/ρ - g_z

Equazioni di Eulero caso stationamus e incomprimibile