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Meccanica delle Strutture Bidimensionali
Geometria Differenziale delle Curve
Modalità di rappresentazione
(3)
- Rappresentazione come grafico y = f(x) x ∈ ℝ
- Rappresentazione cartesiana F(x,y) = 0
- Rappresentazione parametrica { x = x(t) y = y(t) t ∈ ℝ
La rappresentazione parametrica è quella più conveniente per affrontare lo studio delle proprietà differenziali delle curve. Si può pensare la curva come luogo tracciato da un punto che si muove nello spazio in modo continuo.
- Duplice aspetto cinematico-geometrico
Geometria Differenziale delle Curve
Parametrizzazioni equivalenti
> Definizione
Due parametrizzazioni di una stessa curva sono equivalenti quando possono essere ottenute l'una dall'altra con un cambio di parametro che non muti l'orientazione.
Analiticamente x = x(t) e x = x(s) sono equivalenti se t = αs con α > 0
Esempio della circonferenza:
- x = cos(t)y = sin(t)t ∈ [0, 2π]
- x = cos(2s)y = sin(2s)s ∈ [0, π]
t = 2sα > 0
Geometria Differenziale delle Curve
Curve piane
Derivata di un campo vettoriale
Sia v(s) = vt(s) · at(s) + vn(s) · an(s)
e w(s) = v'(s)
w(s) = vt'(s) · at(s) + vt(s) · at'(s)+ vn'(s) · an(s) + vn(s) · an'(s)
= vt'(s) · at(s) + vt(s) · χ(s) · an(s)+ vn'(s) · an(s) + vn(s) · (−χ(s) · at(s))
|wt(s)| = [ s/S −χ(s) ]vt(s)|wn(s)| = [ χ(s) s/S ]vn(s)
In forma compatta:
w = [ δs I + Ω ] v
Operatore differenziale Matrice delle curvature
Matrice identità
Continui monodimensionali curvi
Cinematica della trave sghemba
Ipotesi cinematiche
+ Eq. di spostamento di un punto della sezione
Proprietà di conservazione delle sezioni rigide piane
- le sezioni normali alla linea d'asse rimangono piane
- la deformazione della sezione nel suo piano è trascurabile rispetto al suo spostamento.
Questo implica che ogni sezione subisce uno spostamento rigido. Lo spostamento di qualsiasi punto sulla sezione può esprimersi come somma dello spostamento del punto della linea d'asse corrispondente e di una rotazione infinitesima della sezione.
Equilibrio di un punto soggetto a una forza concentrata
Affinché ci sia l'equilibrio in P, tanto N quanto x' devono presentare discontinuità. ↝ P non è più un punto regolare.
Meccanica delle funi
La fune piana
> Eq. indefinite di equilibrionel riferimento globaleparametrizzate nell'ascissa orizzontale
q(s)ds = q(z)dz
\(q(z) = q(s)\frac{ds}{dz} = \frac{q(s)}{\cos(\phi(s))}\)
\(p(s)ds = p(z)dz \to p(z) = p(s)\frac{ds}{dz} = \frac{p(s)}{\cos(\phi(s))}\)
ovvero \(p(s)\cdot\sqrt{1+(dy/dz)^2}\)
le eq. di equilibrio prendono la forma:
- V'(s) + p(s) = 0
- H'(s) + q(s) = 0
- V(s) = H(s)\frac{dy}{dz}
\(\frac{dV(z)}{dz} + \frac{p(s)}{\cos(\phi(s))} = 0\)
\(\frac{dH(z)}{dz} + \frac{q(s)}{\cos(\phi(s))} = 0\)
V = H\frac{dy}{dz}
dev'essere noto S(z)
Meccanica delle funi
La fune piana
La catenaria
- zA = 0 ; zB = l
- yA = yB = 0
N.B. y(z)= -H/P cosh(P/H z + C1) + C2
y'(z) = sinh (P/H z + C1)
- Per simmetria y' (l / 2) = 0 ⟶ sinh (P/H + C1) = 0
- C1 = -P/2H
y(0) = -H/P cosh (C1) + C2 = 0
N.B. cosh(P/2H) = cosh(-P/2H)
C2 = H/P cosh (P/2H)
y(z) = -H/P [ - cosh(P/H z - Pl/2H) + cosh (Pl/2H) ]
L = ∫zAzB √1 + (y' )2 dz = H/P [ sinh (P/H l + C1) - sinh (C1) ]
V(z) = H y(z) = H sinh (P/H z - Pl/2H)
N(z) = H cosh (P/H z - Pl/2H)
- f = y'(l / 2) = H/P [ cosh(Pl/2H) - cosh (0)]
Noto L si calcola H
Sviluppando in serie di Taylor e troncando al primo ordine f ≈ Pl2/8H
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