Esercizi svolti e teoria per Teoria dei circuiti

D

C

Ra k

.

R3 ⑳

3

3

Calcolo la resistenza equivalente ai capi di E1

R2 ha un solo capo collegato al

=

2 circuito e l’altro collegato a niente

Ral

= =

2

Ridisegno il circuito senza R2 che non mi interessa

Rz

F B R

. R In sene

e :

S Req R Re

R3 1

12

+

= = -

3 +

2 24/ A

= 2

=>

El Req

Req 21

1

Bl Ie I

01 2A

+ - =

= -

=

=

/c 1

1 c 2 A

kCb 0

F > - = = -

= =

R V

14

-

=

= 1

R3'3 10V

= -

=

3 Rz Calcolo la Va

Faccio una KVL alla maglia I 0

+ =

- 3 2

V2 =

- = 3

3

12

2

2 · ·

D

.

Ra Calcolo V di Thevenin Va Ex

Faccio una KVL alla maglia II

R3 0

+ -

⑳ =

3 TH

3

Tutte le variabili che ho trovato fino a qua sono le variabili dovute all’effetto del generatore E1: aggiungo l’apice E a tutte le grandezze

3. Guardo l’effetto del generatore A: passivo il generatore E1

attenzione: Ie passa comunque, mentre la tensione E= 0

Ho un circuito con un solo generatore

Calcolo la resistenza equivalente ai capi di A

Trovo la tensione Va

Per trovare la corrente I2 uso KCL e poi Ohm per la tensione

La corrente A si divide in R1 e R3 secondo il derivatore di corrente

Trovo le tensioni 1 e 3 con la legge di Ohm

V1 e V3 sono uguali e opposte perché

le due resistenze sono in parallelo

Trovo Ie con la KCL

Calcolo V di Thevenin

Faccio una KVL alla maglia II

Tutte le variabili che ho trovato fino a qua sono le variabili dovute all’effetto del generatore A: aggiungo l’apice A a tutte le grandezze

4. Sovrappongo gli effetti La sovrapposizione degli effetti perde un po’

Ho un generatore comandato e un generatore indipendente

CASO B senso perché posso passivare un solo generatore

(attenzione: i generatori dipendenti non possono

essere passivati)

Posso risolvere il circuito con il solito metodo (Ohm, KCL e KVL)

KVL

Ohm

KCL

Per calcolare la resistenza ai Thevenin devo usare il generatore pilota

Passivo il generatore indipendente

Per trovare Vcd devo risolvere nuovamente il circuito passivando A

ESERCIZIO 1 

  

R

R 1 2

2

1

E

2

R

1 ▬

·   

A 8 A E 10 V E R I

+ 1 2 M 1

i A

1 E

P Q  v

R v

i

i

0

v CASO 1: sia . Calcolare , , ,

A QP

M 2

1 A

D

E v distinguendo gli effetti dei due generatori indipendenti.

1 QP

+

I Infine calcolare le potenze generate o assorbite dai vari

R

▬ 2 generatori, specificandone il comportamento

i energetico.

2  

E R I 0

Essendo nulla la tensione si può ridisegnare il circuito come segue:

2 M 1 È possibile applicare il teorema della sovrapposizione

degli effetti in quanto il circuito è lineare.

R

1 ↑ Nel considerare l’effetto del generatore di corrente si

i A

1 deve passivare il generatore di tensione, ovvero porre

E

P Q v

I 

E 0 , sostituendolo con un cortocircuito.

A 1

e

E v

1 QP

+

I Nel considerare l’effetto del generatore di tensione si

R

▬ 2 deve passivare il generatore di corrente, ovvero porre

2

i 

2 A 0 , sostituendolo con un aperto.

R R R1 e R2 sono in parallelo

A   

1 2

R 0

.

67

A

Effetto di : perché hanno entrambi i

EQ 

R R

R morsetti in comune

1 2

1 Q *

i A A A A

   

V A R 5 . 33 V V V 5 . 33 V

1 A

P Q A EQ QP A

v A Req

cortocircuito v po

V V

QP A A

   

A A

I 5

.

33 A I 2

.

67 A

R 1 2

R R

2 Po

1 2

di i

lato 2 R1 e R2 sono in serie

A    

R R R 3

E perchè hanno un solo

Effetto di : EQ 1 2

1 morsetto in comune

R

1 E

E E E

   

1   

I 3

.

33 A I I 3

.

33 A

1 1 1

i 1 2 1

lato

1 R

P Q EQ

v

aperto A

v

E QP

1 A E E

     

+ V V E 3 . 33 V V R I 6

.

67 V

1 1

QP A 1 A 2 2

R

▬ 2 Rea

i 2 P Q

⑳ .

Do

E

 

P AV 96 W convenzione dei generatori, allora: GENERATORE

A A

 

P E I 20 W convenzione degli utilizzatori, allora: UTILIZZATORE

E 1 1

1   v

i i v

R 2

CASO 2: sia . Calcolare , , , QP

2

M 1 A

E

2 considerando la presenza del generatore comandato

R v

1 ▬

1 E . Infine calcolare le potenze generate o assorbite dai

+ 2

i A vari generatori, specificandone il comportamento

1 P Q v energetico.

A

E v

1 QP

+ Le incognite complessive sono 7 se considero anche

v R

2

▬ 2 v

v , .

1 2

i 2  



 v R i E R I

v R i

Tutte le leggi di Ohm: 2 2 2 2 M 1

1 1 1   

   

 v E v 0

E v E v 0

Kirchoff alle maglie indipendenti: 2 2 A

1 1 2 2

  

E v v 0

1 QP 2

  

 i i A 0

Kirchoff ai nodi per ottenere 7 equazioni: 1 2

Sostituendo le OL nelle altre equazioni ottengo un sistema di 4 equazioni in 4 incognite facilmente risolvibile:

  

    i i A 0

E R i R i R i 0 1 2

1 1 1 M 1 2 2

     

R i R i v 0 E v v 0

2 2 M 1 A 1 QP 2

Risoluzione sistema 4x4:  

 

   A R R E

i i A  

1 M 1

1 2 i 6

.

8 A

 

2  

R R R

1 M 2

  

     

E R R i A R i 0    

i i A 1

.

2 A

1 1 M 2 2 2 1 2

 

    E R I 2

.

4 V

v R i 1

.

2 V v R i 13

.

6 V 2 M 1

1 1 1 2 2 2

     

v R i R i 11

.

2 V v v E 3

.

6 V

A 2 2 M 1 QP 2 1

 

P E I 16

.

32 W convenzione dei generatori, allora: GENERATORE.

E 2 2

2

Calcolare la resistenza equivalente ai morsetti QP. Passivo i generatori indipendenti, ovvero voglio

calcolare la resistenza equivalente avvertita ai morsetti

E

2

R v

1 I

QP da un generatore di corrente applicato a tali

▬

1 QP

+ morsetti, considerando solo l’effetto di questo

i

1 P Q generatore detto “pilota”

QP

V

E v

1 QP

QP 

R

.

v QP QP

I

R

2 QP

2

i 2     

I i i v R i R i R i

QP 1 2 QP 2 2 1 1 M 1

E

2

R v

1 ▬

1    

 

R R R R

+   

1 M 1 M

i i I i i

V

i 2 1 QP 1 1

QP R R

1 2 2

P Q

I

QP QP

V  

R i R i R R

v QP

    

1 1 M 1 1 M

R 1 . 2

   

R

2  

QP R R R R

2 QP

I  

1 M 1 M

i i 1

QP

i 1 1

R R

2 2 2

CAPITOLO 5: REGIME PAS

REGIME PAS = REGIME PERIODICO ALTERNATO SINUSOIDALE Le grandezze variano nel tempo

Le grandezze (x=generica grandezza

(corrente o tensione)) hanno derivata

REGIME STAZIONARIO nel tempo nulla

I generatori sono delle costanti

Le grandezze (x=generica grandezza

REGIME LENTAMENTE VARIABILE (corrente o tensione)) hanno derivata

nel tempo NON nulla

I generatori non sono costanti

Il regime PAS è un suo sottoinsieme

REGIME PAS Le grandezze sono delle sinusoidi

Le forzanti del circuito sono funzioni sinusoidali:

- Generatore di corrente a(t) = sfasamento del generatore A

- Generatore di tensione e(t) = sfasamento del generatore E

Pulsazione

Le grandezze generiche del circuito (tensione e corrente) = sfasamento di x

Valore massimo di una

grandezza periodica

sinusoidale

Elementi fondamentali di una grandezza in PAS

Regime:

- Sinusoidale = presenza del coseno

- Alternato = valore medio sul periodo nullo

- Periodico = la grandezza si ripete uguale a se stessa con un periodo T

Valore medio

Valore medio aritmetico

Valore massimo

VALORE EFFICACE

Il valore efficace serve per la potenza

Potenza media sul periodo

Potenza istantanea i(t) = corrente istantanea

v(t) = tensione istantanea

Energia (energia dissipata)

RAPPRESENTAZIONE FASORIALE

FASORI ROTANTI I fasori nel piano complesso ruotano in SENSO ANTIORARIO

Im = asse immaginario

Re = asse reale

= velocità di rotazione

x(t) = FASORE ROTANTE

x(t) = variabile periodica alternata sinusoidale (proiezione del fasore sull’asse reale)

= asse dello sfasamento

= sfasamento

= angolo sfasato dal fasore in funzione del tempo

Trasformare una grandezza sinusoidale nella corrispondente fasore rotante Numero complesso rotante

FASORI FISSI Se ho tante variabili sinusoidali con la stessa pulsazione,

diverso valore efficace è diverso sfasamento, considero il

dominio dei FASORI FISSI

Ogni fasore rotante x(t) lo posso rapprentare come fasore fisso

Fasore fisso Se ho tante variabili sinusoidali con la stessa frequenza non ho bisogno di rappresentarle tutte come dei

Fasore fisso vettori rotanti ma posso rappresentarle tutte come dei vettori fissi: nel tempo ruotano ma le distanze

rimangono costanti, quindi considerando un sistema di riferimento che ruota con loro le vedo tutte ferme

Se le variabili sinusoidali hanno tutte la stessa frequenza Dominio nel tempo Dominio del fasore fisso

Antitrasformazione nel dominio del tempo Parte rotante

Parte fissa

VANTAGGI DEL DOMINIO DEI FASORI FISSI

I circuiti vengono risolti nel dominio dei fasori fissi

DOMINIO NEL TEMPO DOMINIO DEI FASORI

CONDENSATORI E INDUTTORE: BIPOLI CONSERVATIVI

DOMINIO DEL TEMPO DOMINIO DEI FASORI

Trasformo nel dominio dei fasori

Condensatore

Induttore

Resistenza L’impedenza z è un fasore che

Definisco il coefficiente che lega tensione e corrente come IMPEDENZA lega il fasore V e il fasore I

Attenzione: impedenza corrisponde a

resistenza mentre ammettenza corrisponde

a conduttanza (serie e parallelo uguale)

L’inverso dell’impedenza è l’AMMETTENZA

Y

Impedenza del condensatore Ammettenza del condensatore

Impedenza dell’induttore Ammettenza dell’induttore

Ammettenza del resistore

Impedenza del resistore

RISOLUZIONE CIRCUITO IN REGIME PAS

1. Se la frequenza, la pulsazione è uguale

per tutti i ge