Esercitazione 1 Statistica

Q11. [2pt] Supponendo di avere determinato al punto precedente un valore dell’indice richiesto pari a -0.10

(tale risultato non è quello calcolato al punto precedente), quali tra le seguenti affermazioni è corretta? (Più

risposte possono essere corrette.)

a) Nel diagramma a dispersione per le due variabili considerate ci si attende di osservare punti molto

concentrati intorno ad una retta con coefficiente angolare negativo. [-0.5]

b) Il legame lineare tra le due variabili è di debole intensità. [0.5]

c) La covarianza tra le due variabili considerate deve necessariamente essere molto vicina a 0. [-0.5]

d) La covarianza tra le due variabili è negativa [0.5]

e) Il coefficiente di correlazione campionario non ha unità di misura [1]

ESERCIZIO 4 [5 punti]

Luca gioca a scacchi grazie ad una applicazione che seleziona automaticamente il giocatore avversario.

L’algoritmo di selezione prevede l’assegnazione di un avversario umano con probabilità 0.55 e di un avversario

elettronico (i.e. un programma, o bot) con probabilità 0.45.

Q12. [2pt] Calcolare la probabilità che i prossimi cinque avversari di Luca siano tutti dei bot.

Essendo le cinque assegnazioni indipendenti:

Ç Ç Ç Ç

P(bot bot bot bot bot ) = P(bot)^5 = 0.45^5 = 0.0184

Q13. [1pt] La distribuzione di probabilità di X= “numero di avversari bot nelle prossime cinque partite” è una

distribuzione: (Più risposte possono essere corrette.)

X ~ Binomiale(n=5, p=0.45) quindi sono vere la b e la d

a) Ipergeometrica [-0.5]

b) Binomiale [+0.5]

c) Discreta con P(X=0)=0 [-0.5]

d) Discreta con P(X=0)>0 [+0.5]

Q14. [1pt] L’algoritmo assegna anche il colore (bianco o nero) con la stessa probabilità 0.5.

Scrivere all’interno del box la probabilità che Luca giochi con il bianco contro un avversario umano:

Colore e tipologia di avversario sono eventi indipendenti quindi

Ç

P(umano bianco) = P(umano)P(bianco) = 0.5*0.55 = 0.275

Q15. [2pt] Supponete che Luca vinca con probabilità 0.5 contro un avversario umano e 0.4 contro un

avversario elettronico. Segnare le risposte esatte (più di una risposta potrebbe essere esatta)

a) P(vittoria | bot) = 0.4 [+1]

b) P(bot | vittoria) = 0.5 [ -0.5 ]

c) P(vittoria) = 0.9 [-0.5]

d) La tipologia di avversario e l’esito della partita sono eventi dipendenti [+1]

e) La probabilità di vittoria non può essere calcolata con i dati forniti [-0.5]

La a) è vera essendo uno dei dati forniti. Per la b possiamo usare il teorema di Bayes:

P(bot | vittoria) = P(vittoria | bot) * P(bot)/ P(vittoria) = 0.4*0.45/(0.4*0.45 + 0.5*0.55) = 0.3956

Quindi la b e falsa e anche la c e quindi anche la e. Infine la d è vera essendo P(bot) diversa da P(bot |

vittoria).

ESERCIZIO 5 [4 punti]

Il numero di telefonate X ad un call center in un’ora è una variabile casuale di Poisson di parametro = 5.

Q16 [2pt] Calcolare la probabilità di osservare 8 chiamate in due ore (riportare qui sotto lo svolgimento)

Dal testo è immediato concludere che Y = Numero di chiamate in due ore ~ Poisson ( = )

Pr(Y = 8) = 10^8 exp(-10)/8! = 0.112599

Quindi c’è una probabilità dell’11.25% circa che arrivino 8 chiamate in due ore.

Q17 [1pt] Siano F(x) ed f(x) la funzione di ripartizione e la funzione di probabilità di X.

La a è falsa essendo Pr(X=0) sempre positiva se X ~ Poisson. Dalle generali proprietà di F ed f si conclude

che la b e la c sono entrambe vere.

a) F(0) = 0 [-1]

b) F è una funzione a scalini [+0.5]

c) F può essere ricavata da f e viceversa [+0.5]

Q18 [1pt] Si consideri la variabile casuale Y = 2X - 3

Scegliere la risposta esatta (più risposte possono essere esatte)

a) E(Y) = 13 [-0.5]

b) V(Y) = 20 [+1]

c) Y può assumere un numero finito di valori [-0.5]

d) Y può assumere solo valori positivi [-0.5]

Y è una variabile casuale che può assumere i valori nell’insieme {-3, -2, -1, …} quindi c e d sono false.

Applicando le proprietà del valore atteso e della varianza si conclude la a è falsa e la b è vera:

E(Y) = E(2X - 3) = 2E(X) – 3 = 2*5 - 3 = 7

V(Y) = V(2X - 3) = 4V(x) = 20

ESERCIZIO 6 [3 punti]

La distribuzione di probabilità congiunta delle variabili aleatorie X e Y è la seguente:

X \ Y 0 1 2

0 0.2 0.1 0.2

1 0.1 0.1 0.3