Esame Algebra e geometria sintetici

ALGEBRA

APPUNTI

Algebra

Insiemi

• Operazioni tra insiemi
• Intersezione -> A ∩ B : {x | x ∈ A e x ∈ B}
• Unione -> A ∪ B : {x | x ∈ A o x ∈ B}
• Differenza -> A \ B : {x | x ∈ A e x ∉ B}

Prodotto Cartesiano

Insiemi di coppie ordinate con a ∈ A, b ∈ B

A × B = { (a, b) | c ∈ A e b ∈ B } ≠ B × A

Funzione

Si prendono 2 insiemi A e B. Si dice applicazione o funzione di A in B

F : A → B una legge di assegna ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B

∀ x ∈ A ∃! g ∈ B | f(x) = g

• Funzione identica
• F : A → A assegna ad ogni elemento l'elemento stesso
• Immagine di una funzione
• Insieme di valori assunti dalla funzione contenutonell'insieme di arrivo e può coincidere con lo stesso

In f = {g ∈ B | ∃ x ∈ A : f(x) = g}

• Tipologie di funzione
• Iniettiva: al distinto in del distinto F: A → B
• ∀ x, y ∈ A x ≠ y → f(x) ≠ f(y)
• Suriettiva: ogni el. di B è immagine di almeno un el. di A
• ∀ g ∈ B ∃ x ∈ A | f(x) = g

Biettiva se iniettiva e suriettiva

Spazio Vettoriale

Def. Dato (K, t), un campo i cui elementi sono distinti, scelti, detti scalari, i cui elementi sono distinti vettori, V è uno spazio vettoriale sul campo K, V(K) sse esistono:

1. operazione interna ed esterna
   • ⊕ su V

1) V × V → V

v₁ ⊕ v₂ → ∀ u ∈ V

2. operazione esterna ⊙ s: V su K

• ⊙: K × V → V
• (k, v) → k ⊙ v

con le proprietà

• (V, t) è un gruppo abeliano
• ∀ h, m ∈ K ∀ v ∈ V: (h + m) v = hv ⊕ mv
• ∀ h, m ∈ K ∀ v ∈ V: (h ⊕ m) v = hv ⊕ mv
• ∀ h ∈ K ∀ v, w ∈ V h ⊙ (v + w) = h ⊙ v ⊕ h ⊙ w
• ∀ v ∈ V 1 ⊙ v = v

Sottospazio

V(K) è uno spazio vettorialeU ⊆ V con U ≠ ØU è sottospazio se esso stesso è spazio vett. su KQuindi,U ⊆ V se:

1. chiuso a (cond. necessaria ma non suff.)
2. operazioni interne

Proposizione: Se A è libera ogni suo sotto insieme lo è

Chiusura lineare e sistemi di generatori

Def. A ⊂ V(A) Aço E S. di divisor lineare di A l'insieme L(A) di vettori di si posso esprimere come comh. lineari di numero finito i vedori di A

L(A) := {v ∈ V(A) | v = a₁v₁ + ... + a_nv_n, a_i ∈ K, v_i ∈ A}

Teorema: A ⊂ V(A) A ∈ F ⇒ L(A) ⊆ V(A)

Bisogna dimostrare de sie un sotto spazio

Si usi il 2º contario

• Scalori h t h + ek
• Vettori u, v ∈ L(A)

Tesi: h u + k v ∈ L(A)

u ∈ L(A) ⇒ u = a₁v₁ + ... + a_nv_n a_i ∈ K u_i ∈ A

v ∈ L(A) ⇒ v = b₁v₁ + ... + b_nv_n b_i ∈ K u_i ∈ A

h u + k v = h(a_iv₁ + ... + a_nv_n)

Ho smitto la somma come comh. lineari quindi: h u + k v ∈ L(A) ⇒ L(A) ⊆ V(A)

Quindi: A genera uno spazio L(A) ed è il più piccolo sotto spazio

Se L(A) = V(A) allora l'insieme si chiama spazio genora

Def. A ⊂ V(A) A _∈ A è un insieme di generatori per V(A)

se lo divisor lineare di A = V(A) L(A) = V(A)

cioè, se ogni vetteore di V(A) si può esismre come comh. lineare dei vettori di A

1) Prop. Se dim V(K) = n S è una sequenza con |S| = m ≥ n => S è legata

DimostrazioneB = base di V(K) |B| = n|S| = m ≥ nPer assurdo suppongo di S libera|S| £ |B|libera -> generem ≥ n -> assurdo

5) Prop. Se dim V(K) = n S sequenza con |S| ≥ n => S non genere

DimostrazioneB = base di V(K) |B| = n|S| = m < nPer assurdo suppongo di S genere tutto lo spazio V(K)|B| ≤ |S|libero generen ≤ m -> S non genere

NB Se dim V(K) = n Allora- n è il numero massimo di vettori contenuti in V(K)lineamenti indipendenti- n è il numero minimo di vettori che servono per genere V(K)

PROBLEMA: Nell'intersezione c'è solo il vett. nullo

(u-u)₂ = 0

(w-w)₁ = 0

u₁ = u₂

w₂ = w₁

⇒ V ⊕ W ⊆ V(K)

COROLLARIO:

V(K) è la somma di letta di 2 sotto spazi U e W

se e solo se

{N = U + W

U ∩ W = {e}}

1. U, W ⊆ V stabilire se U + W sono in somma diretta cioè U ∩ W = {e}
2. U, W ⊆ V stabilire se V è somma diretta di: U e W U ⊕ W = V

Come controllare se sono in somma diretta U, W ⇒ costruire U + W

base è U + W ⇒ genera quindi S(B) = U + W

Determinare la base di U + W

• B_U = (v₁, v₂, ..., v_n) base di U
• B_W = (w₁, w₂, ..., w_m) base di W

B_U ⋃ B_W possa trovare qualcosa di les'!

Dimostrazione che genera U + WV ∊ U + W ⇒ V = U + W

con u ∊ U e w ∊ W

U ∊ U ⇒ Comb. lineare B_U ⇒ U = a₁U₁ + ... + a_nU_n con a_i ∊ ℂ

W ∊ W ⇒ Comb. lineare B_W ⇒ W = b₁W₁ + ... + b_mW_m con b_i ∊ ℂ

V = a₁U₁ + ... + a_nU_n + b₁W₁ + ... + b_mW_m

e si può scrivere come comb. lineare di V ∊ W⇒ B_U ⋃ B_W genera U + W

Se B_U ⋃ B_W è libera ⇒ base

Altrimenti elimino i vett. dipendenti

Def:

Sia una matrice A ∈ Mₙ(k), chiamiamo determinante della matrice A, det A o |A|, l'elemento k definito nel seguente modo:

• Se n = 1 (matrice con un solo elemento), cioè A = (a₁₁) ∈ M₁(k)

Il det è a₁₁ (det A = a₁₁)

• Se n > 1 definamo per ogni coppia di indici (i, j) i, j = 1, ..., il complemento algebrico aᵢⱼ come lo scalare

aᵢⱼ = (-1)^(i+j) det Aᵢⱼ dove Aᵢⱼ è la matrice che si ottiene da A eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna

Il det A = a₁₁ a₁₁ - ∑ a₁₂ a₁₃ + ... + a₁ₙ a₁_n

Determinante di matrici 2x2

A = (_{a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂}) ∈ M₂(k)

det A = a₁₁ a₁₁ + a₁₂ a₁₂

a₁₁ = (-1)^(1+1) det A₁₁ = (-1)² det (a₂₂) = 1 a₂₂ = a₂₂

a₁₂ = (-1) det A₁₂ = (-1)³ det (a₂₁) = -1 a₂₁ = -a₂₁

det A = a₁₁ a₁₂ + a₁₁ (-a₁₂) = a₁₂ a₂₂ - a₁₂ a₁₁

In pratica -> diagonale principale - diagonale secondaria

Teorema di Kronecker

Gli spazi β(E) e β(C): una matrice A hanno la stessa dimensione se coincidono con β(A).

Dimostrazione

Test: Im β(C) = β(A)

Se dim β(F) = s —> esistono m in F s colonne lineare m insieme

Per il teorema precedente esiste m in A un minore di ordine s

non singolare —> β(A) ≥ s —> per il teorema precedente le colonne

di A contenenti tale minore : ordine h sono m loro lineare m dipendenza

—> si ponghe dim β(C) = s

NB Il rambo di una matrice A coincide con al massima minor s' righe

e colonne m inversante rispondente contenuta m A

Sistemi Lineari

Definizione

Un sistema lineare è un insieme di m equazioni in n

incognite e coefficiente in un campo

• a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁
• a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂
• a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = b_m

Con a_ij, b_i ∈ K

i = equazione

j = s' dossa incognite delle x

a_ij coeff. incognito

b_i termini noti

Si considerano le matrici

• A = (a₁₁ a₁₂ ... a_1n, a₂₁ a₂₂ ... a_2n, a_m1 a_m2 ... a_mn), Matrice incompleta
• X = (x₁, x₂, x_n), Matrice della colonna degli incognite
• B = (b₁, b₂, b_m), Matrice colonna dei termini noti

A|B = (a₁₁ ... a_1n | b₁, a_m1 ... a_mn | b_m), Matrice completa