Ecologia e sostenibilità dei sistemi produttivi - Appunti

I.

24/03/2025

Il primo passaggio nel metodo ELECTRE I consiste nell’effettuare un’analisi di concordanza,

finalizzata a valutare il grado di consenso rispetto all’affermazione secondo cui una alternativa

i è preferibile a un’alternativa j.

Il risultato di tale analisi è rappresentato da un coefficiente di concordanza cijc_{ij}cij, che

esprime quanto sia giustificabile la preferenza per l’alternativa i rispetto a j.

Il calcolo del coefficiente avviene sommando i pesi dei criteri che:

Favoriscono l’alternativa i rispetto alla j (criteri in cui i è strettamente migliore di j),

• Oppure per i quali i e j risultano equivalenti.

•

Questa somma viene poi normalizzata sulla somma totale dei pesi (spesso assunta unitaria

per semplicità).

Il valore ottenuto rappresenta quindi la quota di criteri che non si oppongono alla scelta

dell’alternativa i rispetto alla j.

I risultati per tutte le coppie di alternative vengono riportati in una matrice di concordanza.

Per calcolare l’elemento (1,2) della matrice di concordanza, si valuta il grado di concordanza a

favore della preferenza dell’alternativa 1 rispetto all’alternativa 2.

Il procedimento prevede l’analisi delle prestazioni delle due alternative sui diversi criteri: si

identificano i criteri per cui l’alternativa 1 non risulta peggiore dell’alternativa 2 (cioè è migliore

o equivalente).

Successivamente, si sommano i pesi associati a questi criteri, ottenendo così il valore del

coefficiente di concordanza c1,2

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Nel confronto tra le alternative 1 e 2, si osserva che i criteri 1 e 2 sono favorevoli all’alternativa

1, mentre i criteri 3 e 4 risultano contrari.

I pesi associati ai criteri favorevoli sono:

Criterio 1: 0,3

• Criterio 2: 0,4

•

La somma dei pesi favorevoli è quindi 0,7. Poiché la somma totale dei pesi è 1, il coefficiente

di concordanza C1,2 risulta pari a 0,7.

Ciò indica che, in termini di peso dei criteri, il 70% supporta la preferenza per l’alternativa 1

rispetto all’alternativa 2.

Riassunto impersonale – Calcolo e analisi della matrice di concordanza

Nel calcolare il coefficiente di concordanza C2,3C_{2,3}, si osserva che i criteri che non si

oppongono alla scelta dell'alternativa 2 rispetto alla 3 sono:

Criterio 1: 0,6

• Criterio 3: 0,3

• Criterio 4: 0,2

•

La somma dei pesi favorevoli è 0,6, quindi il coefficiente di concordanza C2,3C_{2,3} è pari a

0,6.

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La matrice di concordanza risultante presenta valori compresi tra 0 e 1. Ad esempio,

C2,3=0,6C_{2,3} = 0,6 indica che il 60% dei pesi dei criteri supporta la scelta dell'alternativa 2

rispetto alla 3.

In alcuni casi, gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale della matrice possono avere

somma unitaria. Ad esempio, C1,2=0,7 e C2,1=0,3, indicando che i due insiemi di criteri sono

complementari. In altri casi, come C3,1 e C1,3, la somma supera 1, suggerendo che esistono

criteri per cui le alternative sono equivalenti e il peso viene conteggiato sia nella concordanza

dell'alternativa 1 che in quella della 3.

Una volta calcolata la matrice di concordanza, il passo successivo consiste nel calcolare la

matrice di discordanza, che richiede un procedimento più lungo.

Il coefficiente di discordanza Di,j rappresenta il "rammarico" nel scegliere l'alternativa i invece

di j. Questo è calcolato come il rapporto tra la massima differenza pesata di prestazioni tra le

alternative sui criteri che si oppongono alla scelta di iii rispetto a j, e la massima differenza

pesata di prestazioni complessive.

La formula si basa su un criterio min-max: si confrontano le differenze di prestazione tra le

alternative per ogni criterio, calcolando il valore assoluto della differenza di prestazioni pesata

dall'importanza del criterio. La discordanza rappresenta quindi la "tristezza" nel scegliere una

determinata alternativa, considerando la massima differenza di prestazioni tra le alternative sui

criteri oppositivi.

Per calcolare la discordanza, è necessario partire dalla matrice dei confronti a coppie e

determinare la differenza di prestazioni tra le alternative per ciascun criterio.

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Per calcolare il coefficiente di discordanza tra le alternative 1 e 2, si seguono i seguenti

passaggi:

1. Calcolare la differenza di prestazioni tra le alternative per ogni criterio:

1−0,6=0,4

o 0,7−0,5=0,20

o 0,8−1=0,20

o 0,8−1=0,20

o

2. Moltiplicare le differenze per i pesi dei criteri:

0,4×0,3=0,12

o 0,2×0,4=0,080

o 0,2×0,2=0,040

o 0,2×0,1=0,020

o

3. Identificare i criteri che si oppongono alla scelta dell'alternativa 1 rispetto alla 2,

ovvero quelli per cui le prestazioni di 2 sono superiori a quelle di 1. In questo caso, i

criteri 3 e 4 si oppongono.

4. Determinare la massima differenza di prestazioni pesata per i criteri contrari alla

scelta: Le differenze per i criteri contrari sono 0,04 e0 .02, quindi il massimo è 0,04.

o

5. Confrontare il massimo della discordanza con la massima differenza totale:

La massima differenza complessiva è 0,12, quindi il rammarico peggiore è

o 0,04/0.12=0,33.

Il coefficiente di discordanza rappresenta quindi il "rammarico" nel scegliere una alternativa

rispetto all'altra, considerando la massima differenza di prestazioni tra i criteri contrari alla

scelta. Questo coefficiente si contrappone al coefficiente di concordanza, che esprime il

grado di accordo sulla preferenza di una alternativa rispetto all'altra. Entrambi vengono valutati

in modo diverso, ma forniscono informazioni complementari.

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La matrice di discordanza contiene valori compresi tra 0 e 1, poiché si basa sulla valutazione

della massima differenza di prestazioni tra le alternative. A differenza della matrice di

concordanza, non è possibile affermare che i coefficienti simmetrici siano complementari tra di

loro.

Per identificare le relazioni di surclassamento tra le alternative, si costruiscono due matrici: la

matrice di concordanza e quella di discordanza. Ogni matrice è quadrata e riflette i confronti a

coppie tra le alternative. Successivamente, si stabiliscono due soglie: una per la concordanza e

una per la discordanza, entrambe comprese tra 0 e 1.

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Se la concordanza supera la soglia, i criteri favorevoli alla scelta dell'alternativa 1

• rispetto alla 2 sono sufficienti per giustificare la scelta.

Se la discordanza supera la soglia, il rammarico per aver scelto l'alternativa 1 invece

• della 2 è troppo elevato, impedendo il surclassamento.

Se la concordanza è sufficientemente alta e la discordanza è abbastanza bassa, si può definire

una relazione di surclassamento tra le alternative.

La definizione delle soglie di concordanza e discordanza in ELECTRE 1 è una componente

soggettiva, poiché dipende dalla scelta del decisore. Una prassi comune è stabilire la soglia di

concordanza come la media dei valori nella matrice di concordanza, escludendo la diagonale,

che non è considerata. La stessa logica si applica per la discordanza, con la soglia definita

come la media dei valori nella matrice di discordanza, sempre escludendo la diagonale. La

formula per calcolare la media è la somma di tutti gli elementi della matrice, divisa per il

numero di celle non diagonali. La stessa cosa per la matrice di discordanza.

Nel caso esaminato, una volta calcolate le matrici di concordanza e discordanza, si definiscono

le soglie di concordanza e discordanza (ad esempio, 0,53 e 0,717). Si verifica quali valori nelle

matrici soddisfano le condizioni di avere una concordanza sufficientemente alta e una

discordanza sufficientemente bassa. Se entrambe le condizioni sono soddisfatte, si stabilisce

una relazione di surclassamento. Questo viene rappresentato in una matrice di

surclassamento, dove i valori sono 1 se entrambe le condizioni sono soddisfatte, e 0 dove non

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lo sono. In questo modo, si può affermare che una alternativa surclassa un'altra solo se

entrambe le condizioni di concordanza e discordanza sono rispettate.

A questo punto, la matrice di surclassamento può essere rappresentata come un grafo, dove le

alternative sono i nodi e gli archi orientati indicano una relazione di surclassamento tra due

alternative. Ad esempio, se la matrice di surclassamento mostra che l'alternativa 1 surclassa le

alternative 2 e 3, si tracciano frecce che vanno da 1 a 2 e da 1 a 3. Analizzando il grafo, si può

notare che l'alternativa 1 è la migliore, poiché surclassa le altre, ma non si può stabilire una

relazione di preferenza tra l'alternativa 2 e 3, poiché il grafo è incompleto e le due alternative

non sono confrontabili.

In Electre 1, l'ultimo passaggio consiste nell'identificare il "nucleo", ossia l'insieme delle

alternative che non sono surclassate da nessun'altra alternativa. Queste alternative sono simili

alla frontiera di Pareto, in quanto sono migliori rispetto alle altre ma non sono comparabili tra di

loro. In un grafo con più alternative, si può osservare che alcune alternative sono surclassate da

altre, mentre altre, come l'alternativa 1, 2 e 6, non sono collegate da alcuna relazione di

surclassamento e quindi costituiscono il nucleo. La scelta tra queste alternative rimanenti è

una decisione politica, poiché non sono direttamente confrontabili in base ai criteri utilizzati.

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Electre 1 presenta alcuni aspetti positivi e critici. Tra i punti positivi, c'è la sua capacità di

accettare un certo livello di incongruenza e irrazionalità, permettendo al decisore di scegliere

un'alternativa pur riconoscendo che alcuni criteri importanti potrebbero essere trascurati.

Tuttavia, presenta anche dei limiti: l'ordinamento delle alternative, a meno che il grafo non sia

completo, è transitivo, il che impedisce la formazione di loop. In alcuni casi, potrebbero

emergere cicli tra le alternative, rendendo impossibile un ordinamento completo.

Inoltre, Electre 1 riduce le alternative, ma non sempre fornisce una soluzione ottimale. Un altro

problema riguarda la scelta dei pesi e delle soglie, che sono soggettivi. Se i pesi dovrebbero

riflettere le preferenze del decisore, le soglie sono più difficili da definire e non sempre

corrispondono direttamente al sistema preferenziale del decisore. La pratica comune è

utilizzare la media dei coefficienti di concordanza e discordanza, ma senza un significato

pratico chiaro. La scelta delle soglie influisce significativamente sull'ordinamento finale e sulla

sua completezza.

Electre 2 è una variante del metodo ELECTRE 1, progettata per affrontare il problem