Controlli automatici, parte 5 - Risposta in frequenza

5 - Risposta in frequenza

5.1 - Teorema della risposta frequenziale

Vediamo ora cosa succede quando come ingresso al sistema, che si assume essere sempre stabile, si applica non più un segnale costante ma una sinusoide di una pulsazione 0.

Ma per quale motivo dobbiamo applicare al sistema proprio una sinusoide?

Effettivamente è raro nella pratica che si vada a stimolare un sistema con un ingresso sinusoidale ma c’è da sottolineare un aspetto matematico molto importante.

Succede che i sistemi automatici, generalmente, compiono operazioni ripetitive: se queste operazioni sono descritte da funzioni dobbiamo tenere a mente che una funzione che si ripete sempre uguale è una funzione periodica, cioè una funzione che ripete sempre lo stesso andamento.

La lunghezza di ciascuno di questi intervalli dopo ciascuno dei quali la funzione ripete lo stesso andamento, prende il nome di periodo (e l’inverso del periodo è noto come frequenza).

È vero che tutte le funzioni sinusoidali sono periodiche (e ovviamente non vale il contrario).

Un contributo importante proviene da Fourier e si riporta tale contributo a parole (provvederemo successivamente ad affrontare con maggiore rigore il discorso):

“Quasi ogni funzione periodica si può scomporre nella somma di sinusoidi”.

Quanto dimostrato da Fourier è fondamentale perché, se si vuole studiare come un sistema risponde ad una funzione periodica, e si sa che tale sistema è lineare, volendo spezzare la funzione in sinusoidi, si può applicare la linearità e vedere come il sistema risponde a ciascuna parte in cui si è spezzata la funzione.

Si capisce che, siccome il sistema è lineare, l’uscita dovuta alla somma di tante funzioni sarà la somma delle uscite dovuta a ciascuna di queste funzioni: è questo il motivo per cui è importante studiare come un sistema risponde ad una sinusoide. Le sinusoidi sono la base delle funzioni periodiche, sono la base delle funzioni ripetitive che eseguono le macchine nell’ambito industriale.

(*) Si può provare anche con un calcolatore grafico a prendere due o tre sistemi diversi, tutti stabili, e si può notare che le risposte ad un ingresso sinusoidale non sono a loro volta delle sinusoidi (come può sembrare invece ad occhio nudo senza ingrandire) ma via via che il tempo passa ci assomigliano sempre di più.

Ciò che delinea formalmente tale osservazione è il Teorema della risposta frequenziale, dove il termine Risposta Frequenziale indica una sinusoide.

Teorema della risposta frequenziale

Enunciato (), si consideri un Sistema Lineare Stabile che ha una Funzione di Trasferimento, condizioni iniziali nulle, e si applichi a tale sistema un ingresso sinusoidale:

() { () = ( ), ≥ 00.

Allora l’uscita del sistema sarà la somma di due parti che chiameremo Transitoria e Permanente:

()() = + ()

Inoltre, vale che:

()lim = 0→∞() è ℎ

Osservazione

Alla luce di questo teorema che a breve dimostreremo, possiamo delineare una chiave di interpretazione dell’andamento del grafico della risposta ad un ingresso sinusoidale che abbiamo visto sperimentalmente con il calcolatore grafico (*).

In base al teorema sappiamo che la risposta che si sta osservando è la somma di un qualcosa che dura un periodo limitato e poi scompare (guarda il limite) e una parte che rimane nel tempo.

Capiamo bene che ciò che si osserva nella parte finale del grafico è ciò che rimane, la parte permanente dell’uscita.

Osservazione sulle trasformate di Laplace utile alla dimostrazione

() Si consideri la Trasformata di Laplace di una funzione e si supponga di dover calcolare ̅ questa funzione in un punto e nel suo coniugato:

0 0() = ℒ[()]),( (̅ )0 0( )

Una volta aver svolto un po' di calcoli per ricavare sappiamo praticamente tutto di 0(̅ ):

0 ̅̅̅̅̅̅̅) )(̅ = (0 0

Esempio

Si consideri:

1() = = 2 + 50+2

Allora:

1 1 4 − 5 4 − 5 4 5(2 + 5) = = = = = −2 + 5 + 2 4 + 5 (4 + 5)(4 − 5) 41 41 41

Allora vale che:

4 5(2 − 5) = +41 41 (2 + 5)

Lo si può dimostrare svolgendo i classici calcoli per ricavare.

Tutto ciò viene fuori dalla stessa definizione di Trasformata di Laplace e dal fatto che il coseno è una funzione pari e il seno è una funzione dispari.

Sappiamo che:

∞ ∞− −() = ∫ () = ∫ () ∙ [cos(−) + ( − )] 0 0

∞ ∞− −() = ∫ () cos(−) + ∫ () sin(−) 0 0

∞ ∞− −() = ∫ () cos() − ∫ () sin() 0 0

[()][()] ̅ = − ?

Ora, cosa succede se invece di considerare si va a prendere in considerazione:

∞ ∞−̅ −(̅) = ∫ () = ∫ () ∙ [cos() + ( )] 0 0

∞ ∞− −(̅) = ∫ () cos() + ∫ () sin() 0 0

Notiamo che nelle due trasformate le parti reali sono identiche e le parti immaginarie sono di segno opposto e questo implica che:

̅̅̅̅̅̅(̅) = ()

Dimostrazione

() Abbiamo un sistema dinamico lineare stazionario con una funzione di trasferimento ed è stabile (parte reale dei poli strettamente negativa). Per un fatto di comodo supponiamo che i poli siano distinti e condizioni iniziali nulle.

() Supponiamo di applicare un ingresso sinusoidale e vogliamo calcolare la risposta:

() = sin( )0

La risposta la calcoliamo con il metodo delle trasformate di Laplace e quindi:

0() = ()() = () ∙ 022 + , , … ,

Abbiamo detto che i poli sono distinti e saranno e reali o complessi non 1 2 importa. Spezzando in fratti semplici:

1 2 1 2() = + + ⋯+ + + − − − + − 1 2 0 0

Evitiamo di calcolare i residui e:

− () = + + ⋯ + + + 1 2 0 01 2 1 2

Ripensando alle ipotesi iniziali sappiamo che i poli sono tutti a parte reale negativa e quindi 0 gli esponenziali tendono tutti a. Questa parte in blu sarà chiamata Parte Transitoria e all’aumentare di questa parte di funzione diventerà sempre più piccola a tal punto che non si riuscirà più a notare.

Dobbiamo analizzare la parte in verde, e a questo punto non possiamo più esimerci dal calcolare i coefficienti e:

1 2 0( )| ( )| = ()() ∙ + = () ∙ + 1 0 =− 0 =−( )( )+ − 0 00 0) (−0 0) = (− =−1 0 −2 20

0( )| ( )| = = ()() ∙ − = () ∙ − 2 1 0 = 0 =( )( )+ − 0 00 0) (0 0) = ( =1 0 2 20 ())

Andiamo a calcolare l’antitrasformata (che indichiamo con della parte in verde):

) )( (−0 0− − () = + = − 0 0 0 0 1 2 2 2 − ) )( − (−0 00 0() = 2

Notiamo che:

) )( = (0 + 0 0

)(− = (0 − 0 0

In base all’osservazione sulle trasformate:

− = ̅̅̅̅̅0 0

̅̅̅̅̅̅̅̅̅) )(− = (0 0

In termini di coordinate polari le due quantità hanno stesso modulo e fase opposta (caratteristica di due numeri complessi coniugati).

Ora:

) |( )| ))( = , = arg((0 0 0

−) |( )|(− =0 0

Sostituendo:

− − ( +) −( +)|( )| |( )| − − 0 0 0 00 0() |( )| = = ∙ 02 2

() |( )| = ∙ sin( + ) 0 0

Abbiamo quindi trovato la parte della risposta che possiamo legittimamente chiamare Parte Permanente, dal momento in cui si tratta di una sinusoide che, per sua natura, permane nel tempo.

Abbiamo dimostrato tre concetti, che riassunti si identificano in:

• La Parte Permanente della risposta è una sinusoide.
• Si tratta di una sinusoide che ha la stessa pulsazione di quella in ingresso.
• () = sin( ) 1

Le ampiezze sono diverse: l’ampiezza di vale mentre l’ampiezza 0 della sinusoide della risposta dipende sia dal sistema (poiché consideriamo la) funzione di trasferimento sia dall’ingresso (in quanto consideriamo la pulsazione di()).

Inoltre, nell’argomento della funzione seno della risposta si ha un angolo aggiuntivo e per addentrarci meglio nella questione consideriamo l’esempio che segue, con le due funzioni:

sin(3), sin (3 + /4)

I grafici di queste due funzioni hanno sostanzialmente la stessa forma con la sola differenza che sono sfalsati l’uno rispetto all’altro.

Il modo più semplice per vedere che un angolo aggiuntivo è uno sfasamento temporale è fare il seguente ragionamento.

Niente vieta di poter scrivere:

= 0

E quindi:

(sin( + ) = sin( + ) = sin( + ))0 0 0 0

Ciò vuol dire che abbiamo cambiato l’istante di tempo in cui si è andati a valutare la funzione (poi, a seconda che sia positivo o negativo, la curva si sposterà verso destra o verso sinistra).

Riepilogo del teorema

(), si consideri un Sistema Lineare Stabile che ha una Funzione di Trasferimento, condizioni iniziali nulle, e si applichi a tale sistema un ingresso sinusoidale:

() { () = ( ), ≥ 00.

Allora l’uscita del sistema sarà la somma di due parti che chiameremo Transitoria e Permanente:

()() = + ()

Inoltre, vale che:

()lim = 0→∞ ( + )

Considerando che la generica espressione di una sinusoide è la seguente:

0 () è una sinusoide tale per cui:

• L’ampiezza (Coefficiente di Amplificazione o di Guadagno) vale: |( )| = 0
• Lo sfasamento vale: )) = arg(( 0

Quindi, un sistema, quando riceve come ingresso un segnale sinusoidale, all’inizio “reagisce un po' male”: c’è quella fase transitoria per cui l’uscita non è una sinusoide.

Poi “si calma” e tira fuori un’uscita che è una sinusoide della stessa frequenza di quella che abbiamo dato come ingresso ma può essere più grande o più piccola (o come caso particolare può avere anche la stessa ampiezza). Il sistema può fungere da amplificatore se aumenta l’ampiezza, mentre può fungere da filtro se diminuisce l’ampiezza.

Chi dice cosa fa il sistema per quella sinusoide: il coefficiente di amplificazione:

→< 1 → |( )| = 0 →> 1 → ,

Il nostro sistema non solo amplifica o attenua, ma è presente uno sfasamento cioè un anticipo o un ritardo di un segnale rispetto ad un altro. Idealmente non ci dovrebbe essere ma purtroppo, il sistema, può introdurre.

Dobbiamo essere capaci di valutare qual è l’entità dello sfasamento ed eventualmente correggerla.

Esempio

Consideriamo la funzione di trasferimento:

1() = +2

Consideriamo un intervallo di tempo:

[0,6] =

Consideriamo l’ingresso:

() = sin (3)

Andiamo a calcolare l’uscita.

Vediamo che:

= 30

Calcoliamo:

1 1)( = (3) = =0 3 + 2 2 + 3

Il modulo:

1 |1| 1 1|(3)| = |= = = ≅ 0,2774| |22 + 3 + 3| √4 + 9 √13

Controlliamo con un calcolatore grafico se l’ampiezza dell’uscita è quella prevista dal Teorema della Risposta Frequenziale.

La parte iniziale non è una sinusoide (lo si può notare ingrandendo sul calcolatore), mentre la parte finale sì e il picco, ingrandendo, vale proprio come quello calcolato con la teoria del teorema della risposta frequenziale.

Adesso dobbiamo andare ad analizzare lo sfasamento e dal calcolatore si osserva che un massimo della curva grigia si ha a = 17,25 mentre per la curva blu = 17,61. Quindi:

= 17,61 − 17,25 = 0,36

Ci sono circa 36 centesimi di secondi tra una curva e l’altra.

Vediamo di trovare corrispondenza in base alle informazioni teoriche viste con il teorema.

Consideriamo: Proprietà Argomento()

= (3 + ), = 0,2774

Sappiamo che:

1 3 = arg((3)) = arg = arg(1) − arg(2 + 3) = 0 − = −0,9828( ) ( )2 + 3 2

Nota che non bisogna fare in questo caso le correzioni dell’2 perché si ha parte reale positiva (e quindi siamo nei quadranti a destra dell’origine, dove l’arcotangente è invertibile e non sono necessarie correzioni).

Dobbiamo ora capire, in base a (che ci dice esserci un angolo di sfasamento di −09828), qual è il ritardo temporale (che corrisponde allo sfasamento angolare calcolato) e vedere se corrisponde a quello calcolato sperimentalmente.

Sappiamo che niente vieta di scrivere:

= 0

Dove:

0,9828=− = −0,32763 −0,3276,

Bisogna quindi aspettarsi un ritardo dell’uscita rispetto all’ingresso di e quindi si approssima al valore stimato ad occhio sul grafico.

Ulteriori esempi (pag 102 pdf esterno).

5.2 - Diagrammi di Bode

() A questo punto ci spetta lo studio della funzione e quindi non più con un fissato 0 [0, +∞]. ma con un variabile nell’intervallo. Cercheremo di studiarla non con le classiche tecniche dell’analisi matematica, ma studiarla in modo più approssimato ma comunque efficace.

Questo studio è importante non tanto affinché vengano applicati segnali di ingresso sinusoidali, quanto per due altre ragioni:

• I segnali di ingresso sinusoidali sono la base dei segnali periodici (quasi tutti i segnali periodici si possono ottenere come combinazione lineare dei segnali sinusoidali, come abbiamo già visto).
• Lo studio di questa funzione ci consentirà di stabilizzare quei sistemi che stabili non sono. Ci sono anche dei casi per cui si vuole che l’uscita sia abbastanza simile () all’ingresso e lo studio della ci consentirà di realizzare proprio ciò: è uno studio fondamentale per quello che abbiamo definito all’inizio “problema della sintesi” per il quale si vuole che l’uscita del sistema sia il più simile possibile ad un’uscita ideale, desiderata.

Ci concentreremo quindi sullo studio del modulo |()| e sull’arg(()).

Lo faremo analizzando il caso più semplice e cioè quello di un sistema del prim’ordine che presenta un solo polo. G(s)

Si consideri sempre che sia stabile, altrimenti non si può applicare il Teorema della Risposta Frequenziale. Questo non vuol dire che non si può andare a calcolare anche per un sistema instabile, lo si può fare ma ovviamente non avrà il significato che ha nel Teorema della Risposta Frequenziale (che non si applica).

Consideriamo un sistema che ha una funzione di trasferimento (per quello che diremo ora