Controlli automatici

Controlli automatici

Che cos'è il controllo automatico?

Introduzione all’analisi di un sistema dinamico ∑

Dato un sistema abbiamo il modello dinamico cioè di un'equazione differenziale di ordine n lineare o non lineare, del(n) (n−1) (p)= (y, , , ..., , , , ..., )tipo (← in forma normale)y F ẏ ÿ y u, u̇ ü u

Dal modello dinamico possiamo ricavarci la forma di stato

= + → equazione dinamica della forma di statoẋ Ax Bu

= + → equazione di uscita del sistemay Cx Du

= + è un sistema di equazioni differenziali di primo ordine, di cui è facile trovare la soluzione cheẋ Ax Bu n x(t)= +sostituita al secondo sistema si ricava l’uscita .y Cx Du y(t)

La soluzione del primo sistema è:

t∫ −At= +At Atx(t) e x e e Bu(τ)dτ0 0

La prima parte è la soluzione libera (omogenea) e la seconda parte è la soluzione forzata (particolare). Allora l’uscita è:

t∫ −Aτ= + +At Aty(t) Ce x Ce e Bu(τ)dτ Du(t)0 0

La prima è la risposta libera e la seconda è la risposta forzata. Si noti che la risposta libera non dipende dall'ingresso ma solo dallo stato iniziale.

= (t) + (t) ← principio di sovrapposizioney(t) y yLibera F orzata

Forma di stato

Partendo dall’equazione normale lineare di grado che descrive il sistema, vogliamo ricavare un modello dinamico piùns semplice da analizzare, questo modello è la forma di stato:

{ = + (equazione dinamica della forma di stato)ẋ Ax Bu

= + (equazione di uscita del sistema)y Cx Du

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oppure

{ (t) =ẋ f(t, x(t), u(t))

=y(t) h(t, x(t), u(t))

è il vettore di stato o stato del sistemax è la matrice dinamicaA è la matrice di ingressoBè il vettore di uscita del sistemay è la matrice di uscitaC è la matrice direttaD

Causalità

Dato un sistema: , , , ..., ≤se dipende dalle C.I. : con allora si dice causale (o proprio)y(t) y ẏ ÿ u(τ) τ t0 0 0

<se si dice strettamente causaleτ taltrimenti si dice anti-causale

Quindi un sistema si dice causale se l'uscita dipende dall'uscita nell'istante corrente e dagli istanti precedenti ma non da quelli futuri (principio causa-effetto).

E quindi in un sistema strettamente causale l'ingresso influenza l'uscita solo negli istanti precedenti a quello corrente.

pn−1⇒ ∑ ∑(i) (j)(n) + − = 0Nei sistemi lineari y a y b ui ji=0 j=0

≥se il sistema è causalen p

>se il sistema è strettamente causalen p

Linearizzazione approssimata

Dato un sistema dinamico non lineare:

(t) =ẋ f(t, x(t), u(t))

=y(t) h(t, x(t), u(t))

Individuo la coppia di equilibrio:

( ˉ , ˉ )∣x(t, ˉ , ˉ ) = ˉ , ∀t → vale anche per tutte le derivatex u x u x

⇒ˉ˙ = 0 ˉ , ˉ ) = 0x f(x u

Trasferire lo stato di equilibrio nell'origine, quindi definisco le variabili traslate:

= − ˉ = ˉ +→δx x x x x δx

= − ˉ = ˉ +→δu u u u u δu

Riscrivo il modello dinamico in funzione delle variabili traslate:

ˉ˙ ∗= − = ˉ + ˉ + = (δx,δ ẋ ẋ x f(x δx, u δu) f δu)

con l'equilibrio nell'origine nel nuovo sistema di riferimento nelle variabili traslate.

Linearizzo la funzione con lo sviluppo in serie di Taylor attorno ai punti di equilibrio

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∣ ∣∗ ∗∂f ∂f∗ 2 2= (0, 0) + + + ∣∣, ∣∣δu ∣∣)δ ẋ f δx δu O(∣∣δx∂x ∂u∣ ∣δx=0,δu=0 δx=0,δu=0

∣ ∣∗ ∗∂f ∂f= =quindi chiamo e e approssimando i termini di ordine superiore a zeroA B∂x ∂u∣ ∣δx=0,δu=0 δx=0,δu=0

e sapendo che la funzione all'equilibrio è nulla ottengo

= +δ ẋ Aδx Bδu

Soluzione esplicita di un modello dinamico lineare

La soluzione di un modello dinamico lineare può essere scritta come sovrapposizione della soluzione libera e di quella forzata: t∫ )A(t−τ= +Atx(t) e x e Bu(τ)dτ0 0

Vedi dimostrazione negli appunti.

A questo punto possiamo studiare la risposta libera.

AtCome si calcola ? Analisi soluzione liberae

= , , ...,Data e calcolati autovalori di , possiamo calcolare la soluzione nei seguenti modi:ẋ Ax λ λ λ A x(t)1 2 k

R∈, diagonalizzabile λ Ai

Date le seguenti proprietà:

= =A λ→Av λv e v e v

∞ k kA t∑=Ate k!k=0

∗ −1 ∗=A A allora e sono matrici similie T e T A A ) = )è diagonalizzabile, se e solo seA m.a.(λ m.g.(λi i

= = At AtQuindi se data la forma di stato con soluzione , come si calcola la matrice ?ẋ Ax x(t) e x e0

−1= ΛTSe è diagonalizzabile, allora conA A T

⎛ ⎞0 … 0λ00 … 0λ1Λ= ⋮ ⋮ ⋱ ⋮⎝ ⎠0 0 … λn

⎛ ⎞0 … 0λ te 00 … 0λ te 1Λt −1 −1= =Atallora e T e T T T⋮ ⋮ ⋱ ⋮⎝ ⎠0 0 … λ te n

⎛ ⎞= … , , ...,⎝ ⎠ dove sono gli autovettori relativi a gli autovalori . è invertibile perchéT v v v v v v λ T1 2 1 2n n isono linearmente indipendenti.vi

Λt −1= = ,riscrivibile comex(t) T e T x x(t) M(x A)m(t)0 0λ

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⎛ ⎞λe 0λe 1=dove il vettore dei modi è .m(t) ⋮⎝ ⎠λe n

C∈, diagonalizzabile λ Ai

= + → autovalori di complessi coniugatiλ σ jω Ai i i

∗ = −λ σ jωi ii

= + → autovettori di complessi coniugativ q jq A1 r i

= −v q jq2 r i

⎛ ⎞ + 0( )σ jω −1= =⎝ ⎠T v v A T T1 2 0 −σ jω

⎛ ⎞11 1j= = =(q ) (v )Q q v TE1 2r i 1⎝ ⎠ 21 − j

⎛ ⎞111 j=E 1⎝ ⎠2 1 − j

A questo punto voglio scrivere la matrice in funzione della matrice , e dopo qualche passaggio algebrico ottengo:A Q

( )σ ω∗ −1 ∗ −1= Λ = ΛE =dove (matrice circolare) Reale!A QΛ Q E −ω σ

Dopo qualche calcolo ottengo:

( )cos(ωt) sin(ωt)∗Λ −1 −1= =At σte Qe Q Qe Q−sin(ωt) cos(ωt)

( )cos(ωt) sin(ωt) −1= = ,σtx(t) Qe Q x M(x A)m(t)0 0−sin(ωt) cos(ωt)

σt( )e cos(ωt)=m(t) σte sin(ωt)

R∈, difettiva λ Ai

Si ottiene attraverso la forma di Jordan...

C∈, difettiva λ Ai

Si ottiene attraverso la forma di Jordan reale...

Analisi modale e comportamento asintotico

= = = ,At→ẋ Ax x(t) e x M(x A)m(t)0 0

, , ..., autovalori diλ λ λ A1 2 k

R∈λ tEsponenziali semplici → , diagonalizzabilee λ Ai i

• Convergenza a zero: λi < 0 ∀i1.
• Costante: almeno un e gli altriλ λj i = 0 < 0 ∀i2.
• Divergente esponenzialmente: almeno un λj > 03.

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C∈σ t σ tEsponenziali oscillanti o → , diagonalizzabilee cos(ωt) e sin(ωt) λ Ai i i

• Convergenza a zero: σ <01.
• Limitato ma non convergenti: σ =02.
• Divergente esponenzialmente: σ >03.

R= 0, ..., − ∈k λ tEsponenziali polinomiali → , difettivat e k q i λ Ai i i

• Convergenza a zero: λi < 0 ∀i1.
• Divergenza polinomiale: almeno un e e gli altriλ k λj i = 0 > 0 < 0 ∀i2.
• Divergenza esponenziale: almeno un λj > 03.

C= 0, ..., − ∈k σ t k σ tEsponenziali polinomiali oscillanti o → , difettivat e cos(ωt) t e sin(ωt) k q i λ Ai i i i

• Convergenza a zero: σ <01.
• Divergenza polinomiale: σ =0 >02.
• Divergente esponenziale: σ>03.

Stabilità

At= =→ẋ Ax x(t) e x0

R∀x ∈ )Un sistema è stabile se “non troppo lontano dall’origine”, si ha che la soluzione “non si allontanax(t, x0 0troppo dall’origine”. In matematichese:

∀x : ∥x ∥ < ⇒ ∥x(t, )∥ < ∀tδ x ϵ0 0 0

R∀x ∈ )Un sistema è attrattivo se “non troppo lontano dall’origine”, si ha che la soluzione convergex(t, x0 0nell’origine.

′∀x : ∥x ∥ < ⇒ lim ∥x(t, )∥ = 0δ x0 0 0t→∞

Se un sistema è stabile e attrattivo allora è asintoticamente stabile (A.S.).

Altrimenti è instabile.

Σ è A.S. se tutti gli autovalori sono a parte reale negativa.

Σ =è stabile se almeno un autovalore giace nell’asse immaginario e la , mentre tutti gli altri sono a partem.a. m.g.reale negativa.

Σ è attrattivo mai nei sistemi lineari

Σ è instabile se:

• Almeno un autovalore puramente immaginario con m.a. m.g.∃ >1.
• Almeno un autovalore con parte reale positiva.∃2.

Se il sistema è del secondo ordine si può utilizzare il criterio di Cartesio nel polinomio caratteristico della matrice dinamica per stabilire la posizione degli autovalori e quindi della stabilità del sistema.

Criterio di Cartesio: Se ho un polinomio del secondo ordine, esso avrà tante soluzioni nel semipiano aperto sinistro quante sono le permanenze tra i coefficienti consecutivi.

2 + +Quindi ad esempio il polinomio ha due soluzioni negative se abbiamo due permanenze nei coefficienti, cioèax bx ce hanno lo stesso segno (prima permanenza) e anche e hanno lo stesso segno (seconda permanenza).a b b c

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Analisi e controllo della risposta forzata di un sistema

t∫ )A(t−τ= +Atx(t) e x e Bu(τ)dτ0 0

t∫ )A(t−τ= + +At → Dominio del tempoy(t) Ce x C e Bu(τ)dτ Du(t)0 0

Trasformata di Laplace

+∞∫ −st C→ (s) = = < +∞ ∈L[f(t)](s) → Dominio di Laplacef(t) F f(t)e dt s0

La trasformata di Laplace esiste se la funzione converge in quell’integrale e in tal caso si dice che appartiene alla classef(t)classe Ldi funzioni di Laplace . 0classe

Una funzione di è una funzione di (generalmente continua) e di classe esponenziale .ClasseL C α(s)

Inoltre per far sì che la funzione sia convergenteFbisogna definire un range di valori per la variabilecomplessa . In particolare deve trovarsi a destra dellascosiddetta ascissa di convergenza sul piano complesso,s0> }Re{s} Re{sovvero che .0

Funzione di Heaviside

Funzione di Heaviside (o funzione gradino o step function)

{1 ≥0t=H(t) 0 <0t

∞ 1∫ −st= =L[H(t)] H(t)e dt s0

La trasformata di Laplace unilatera trasforma la funzione solo nel dominio[0; +∞]temporale , quindi qualsiasi funzione moltiplicata per èf(t) H(t)definita per questo intervallo di valori di .t

Funzioni esponenziali

1= → = se >λt λtL[e Re{s}f(t) e H(t) H(t)] λ−s λ

Funzioni esponenziali polinomiali

[ ] 1k λt k λtt e t e= → =Lf(t) H(t) H(t) (s − k+1k! k! λ)

1(k = 1) = =L[t]Rampa lineare: →f(t) t 2s

12(k = 2) = =L[t]Parabola: →f(t) t 3s

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Funzioni esponenziali polinomiali oscillanti

Coseno: kt= cos (ωt)H(t)σtf(t) ek!

[ ] 1 (s − + + (s − −k k+1 k+1t σ jω) σ jω)cos (ωt)H(t) =σtL e 2 [(s − + − − k+1k! σ jω)(s σ jω)]

−s σ= 0 [ cos (ωt)H(t)] =σtL:k e 2 2(s − +σ) ωs

= 0 e = 0 [cos (ωt)H(t)] =L:k σ 2 2+s ω

Seno: kt= sin (ωt)H(t)σtf(t) ek!

[ ] 1 (s − + − (s − −k k+1 k+1t σ jω) σ jω)sin (ωt)H(t) =σtL e 2j [(s − + − − k+1k! σ jω)(s σ jω)]

ω= 0 [ sin (ωt)H(t)] =σtL:k e 2 2(s − +σ) ω

ω= 0 e = 0 [sin (ωt)H(t)] =L:k σ +2 2s ω

Delta di Dirac δ(t)

+∞∫ = 1δ(t)dt−∞

− − Δ)H(t) H(t:= lim = (t)δ(t) ḢΔΔ→0

Proprietà di campionamento:

+∞∫ − =f(t)δ(t τ)dt f(τ)−∞

+∞∫ =Quindi il caso banale è f(t)δ(t)dt f(0)−∞

Unitarietà rispetto al prodotto di convoluzione:

+∞∫∗ = − =f(t) δ(t) f(t τ)δ(τ)dτ f(τ)−∞

Quindi si può dire che la delta di Dirac è l’elemento neutro rispetto al prodotto di convoluzione.

Quindi ad esempio vale che

+ ∗ = ∗ + ∗ = ( + ) ∗f(t) g(t) δ(t) f(t) δ(t) g(t) δ(t) f(t) g(t) δ(t)

Proprietà della trasformata di Laplace

=1L[δ(t)]

• Trasformata della delta di Dirac: 1.
• Linearità: + = + = (s) +L[αf(t) βg(t)] αL[f(t)] βL[g(t)] αF βG(s)2.
• Traslazione nel tempo: −sτ −sτ− = = (s)L[f(t L[f(t)] τ)] e e F3.

Questa proprietà si può applicare ai sistemi in cui si ha un ritardo nel segnale d’ingresso, questa proprietà ci suggerisce

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che non c’è bisogno di ricalcolare la trasformata di Laplace del segnale ritardato, ma basta moltiplicare la trasformata−sτdel segnale non ritardato per la quantità dove è proprio il ritardo.e τ

∗ = ⋅ = (s)G(s)L[f(t) L[f(t)