Calcolo numerico - Trasformata di Fourier ed analisi nel dominio della frequenza

Analisi di Fourier e rappresentazione nel

dominio delle frequenze

Appunti teorici di Calcolo Numerico

1 Perché si introduce l’analisi di Fourier

In molti problemi scientifici e ingegneristici una grandezza viene osservata come funzione

del tempo o dello spazio. Un segnale elettrico può essere descritto dalla tensione u(t)

misurata nel tempo, un suono dalla variazione della pressione dell’aria, mentre una riga

di un’immagine in scala di grigi può essere rappresentata da una funzione che

u(x)

associa a ogni posizione un livello di luminosità. Questa descrizione è naturale, ma non

sempre è quella più utile per capire da quali componenti è formato il segnale.

L’idea fondamentale dell’analisi di Fourier consiste nel descrivere lo stesso oggetto

mediante oscillazioni elementari, cioè seni e coseni di frequenza diversa. Invece di

chiedersi soltanto quale valore assume il segnale in un certo istante, ci si domanda quali

frequenze siano presenti e con quale intensità. Il passaggio dal dominio del tempo al

dominio delle frequenze non modifica il fenomeno studiato: cambia soltanto il sistema

di rappresentazione, proprio come uno stesso vettore può essere espresso rispetto a basi

differenti.

Una sinusoide semplice può essere scritta nella forma

= cos(2πνt +

u(t) A φ),

dove è l’ampiezza, è la frequenza espressa in hertz e è la fase iniziale. Il periodo è

A ν φ

= 1/ν, mentre la frequenza angolare è = 2πν. Frequenza e periodo descrivono la

T ω

rapidità dell’oscillazione, l’ampiezza misura quanto essa è intensa e la fase stabilisce il

suo spostamento rispetto all’origine dei tempi.

2 Dalla serie di Fourier alla trasformata

Quando una funzione è periodica, con periodo , essa può essere rappresentata, sotto

T

opportune ipotesi di regolarità, mediante una serie di Fourier. La forma reale è

∞ 2π

a 0 X

= + [a cos(kω + sin(kω =

u(t) t) b t)] , ω .

k k

0 0 0

2 T

k=1 1

La frequenza viene detta fondamentale, mentre le frequenze sono le armoniche. I

ω kω

0 0

coefficienti e stabiliscono il peso di ciascuna armonica. Una funzione apparentemente

a b

k k

complessa può quindi essere vista come sovrapposizione di oscillazioni semplici, ordinate

dalla frequenza più bassa a quelle progressivamente più elevate.

La stessa rappresentazione può essere espressa in forma complessa sfruttando la formula

di Eulero iθ

e = cos + i sin

θ θ.

Si ottiene +∞