Calcolo numerico

Rappresentazione dei numeri al calcolatore,

aritmetica dei calcolatori e analisi degli errori

Riassunto strutturato per lo studio

Corso di Calcolo Numerico A.A. 2025/2026

prof.ssa Marina Popolizio

1 Gli errori nel calcolo numerico

Il calcolatore ha memoria nita: non può memorizzare né gli inniti numeri reali, né le innite

cifre di un numero reale. Questo genera una discrepanza tra il risultato ottenuto "carta e penna"

e quello calcolato dal computer. Il calcolo numerico studia questi errori e la loro propagazione.

Si distinguono due classi di errori:

1. errori analitici;

2. errori di rappresentazione.

1.1 Errori analitici

Gli errori analitici si generano quando il metodo utilizzato risolve esattamente il problema solo a

seguito di un procedimento al limite. I metodi iterativi (per sistemi lineari, equazioni non lineari,

autovalori) generano una successione di approssimazioni che converge alla soluzione esatta

{x }

solo per . Poiché non è possibile eseguire innite iterazioni, l'algoritmo si arresta dopo

k

⋆ → ∞

x k

un numero nito di passi, ottenendo un'approssimazione : l'assunzione di al posto di

K x x

introduce un errore, tanto più grande quanto più è distante da .

K K

⋆ ⋆

x x x

Lo studio di questi errori dipende dal metodo specico utilizzato. Anche il calcolo delle

K

funzioni elementari tramite sviluppo in serie di Taylor è soggetto a errori analitici, poiché la

somma innita deve essere troncata a un numero nito di termini:

K

∞ ∞

k k 2k+1

x (−1) x

X X

exp(x) = , sin(x) =

k! (2k + 1)!

k=0 k=0

Le versioni troncate sono K K

k k 2k+1

(−1) x

x X

X

exp (x) = , sin (x) =

K

K k! (2k + 1)!

k=0 k=0

e per quanto grande sia , l'errore non si annulla mai del tutto, ma decresce

| −

K exp(x) exp (x)|

rapidamente aumentando (come mostrato per : l'errore passa da con

K −1

·

K exp(1) 7.18 10 K = 1

a con ).

−14

·

5.06 10 K = 15

1.2 Errori di rappresentazione

I numeri reali sono inniti, mentre la memoria del calcolatore è nita: ciò rende impossibile la

rappresentazione esatta dei numeri reali con innite cifre decimali (es. ). Si memorizza quindi

π

solo un'approssimazione del numero, introducendo un .

errore di rappresentazione

1

1.3 Misurazione dell'errore: errore assoluto ed errore relativo

Al posto del valore teorico si dispone quasi sempre di un'approssimazione . Per misurare la

x x̃

bontà dell'approssimazione si denisce:

L' è

Denizione. errore assoluto |x −

e (x) = x̃|

A

nel caso scalare, oppure nel caso vettoriale/matriciale (dove è una norma).

∥x − ∥ · ∥

e (x) = x̃∥

A

L'errore assoluto non è sempre una misura adeguata poiché dipende fortemente dall'ordine

di grandezza del dato: risulta più elevato se è grande, più contenuto se è piccolo (es.:

x x

, ; , ; l'errore assoluto

⇒ ⇒

x = 1000000 x̃ = 1000000.5 e = 0.5 y = 2 ỹ = 2.1 e = 0.1

suggerirebbe erroneamente che approssima meglio di quanto approssimi ).

A A

ỹ y x̃ x

Si preferisce quindi l' , che misura l'errore in rapporto alla gran-

Denizione. errore relativo

dezza in esame. Se :

̸

x = 0 (oppure nel caso vettoriale)

|x − ∥x −

x̃| x̃∥

e (x) =

R |x| ∥x∥

Nell'esempio precedente: e , da cui si deduce correttamente

e (x) = 0.0000005 e (y) = 0.05

che approssima meglio di quanto approssimi .

R R

x̃ x ỹ y

2 La rappresentazione dei numeri al calcolatore

I calcolatori rappresentano i dati in modo diverso rispetto alla notazione umana, per due aspetti

principali: uso di una base dierente (binaria) e utilizzo di un numero nito di cifre. Ogni valore

immesso in notazione decimale viene convertito internamente in binario, elaborato con aritmetica

binaria, e riconvertito in decimale per l'utente.

2.1 La rappresentazione normalizzata

Un numero decimale ha una parte intera e una parte decimale. I numeri molto grandi o piccoli

si rappresentano convenientemente come prodotto tra una mantissa e una potenza della base

(es. ). Questa rappresentazione non è unica: moltiplicando e dividendo per la base

9

·

x = 3.4 10

elevata a un esponente si sposta la virgola.

Tra le rappresentazioni possibili, la è quella in cui:

rappresentazione normalizzata

la parte intera del numero è nulla;

ˆ la prima cifra dopo la virgola è diversa da zero.

ˆ (Teorema di rappresentazione in base) Dato un numero reale non nullo e un intero

Teorema. x

(base), si può rappresentare come

≥

β 0 x E

± ·

x = 0.d d d . . . β

1 2 3

dove è detto , è la , sono le

caratteristica parte esponente cifre della

E

E β d , d , d , . . .

, con le proprietà: 1 2 3

mantissa

1. ;

∈ {0, −

d 1, . . . , β 1}

i

2. ;

̸

d = 0

1

3. le cifre non sono denitivamente uguali a .

−

d β 1

i 2

"Normalizzato" indica quindi che la parte intera è zero e non ci sono zeri iniziali nella

mantissa, poiché lo spostamento della virgola è assorbito dall'esponente.

I due obiettivi ottenuti con la normalizzazione sono:

numeri di diversa grandezza occupano la stessa quantità di memoria (rappresentazione

ˆ omogenea);

si evita di sprecare memoria per cifre non signicative (zeri) nei numeri molto piccoli o

ˆ molto grandi.

La parte esponente è una potenza della base usata (10 in decimale, 2 in binario). Le basi più

usate: Base Nome Cifre

β

2 Binaria ∈ {0,

d 1}

8 Ottale i ∈ {0,

d . . . , 7}

10 Decimale i ∈ {0,

d . . . , 9}

16 Esadecimale i ∈ {0, }

d . . . , 9, A, . . . , F

i

2.2 I numeri macchina

I calcolatori usano sempre una rappresentazione normalizzata. Tuttavia esistono limiti sul nume-

ro di cifre della mantissa e sui valori minimo/massimo dell'esponente. Si indica con l'insieme

nito dei numeri macchina, caratterizzato da 4 costanti: F

base della rappresentazione



β : numero di cifre della mantissa









t :

 valore minimo della caratteristica

m : E

valore massimo della caratteristica









M : E



quindi . Formalmente:

= t, m, M )

F F(β, E

{x ∈ ± · ̸ ∪ {0}

t, m, M ) = : x = 0.d d . . . d β , d = 0}

F(β, R 1 2 t 1

con , , . Lo zero va aggiunto separatamente poiché

−m ≤ ≤ ∈ {0, −

m, M > 0 E M d . . . , β 1}

non ammette rappresentazione normalizzata. Ogni numero macchina è detto anche numero in

i

(oating point) ed è univocamente caratterizzato da: base, segno, cifre della

virgola mobile

mantissa, caratteristica. Intuitivamente, la caratteristica denisce la grandezza del numero, la

mantissa il dettaglio.

: la retta reale non è tutta rappresentabile (limiti sulla caratteristica impedi-

Proprietà di

scono numeri troppo grandi/piccoli); all'interno dell'intervallo rappresentabile, solo un sottoin-

F

sieme nito di numeri è rappresentabile (la numerosità dipende dalle cifre di mantissa). Tra due

numeri macchina consecutivi esistono inniti numeri reali non rappresentabili.

Se e sono gli estremi della caratteristica, il numero positivo di valore assoluto massimo

−m M

e minimo rappresentabili sono: −m M

· ·β −

x = 0.1 β , x = 0. dd . . . dd , d = β 1

min max | {z }

t

La distanza tra un numero macchina e il successivo

E E

· ·

x = β (0.d d . . . d d ) y = β

(con ) è: 1 2 t−1 t

˜ ˜

(0.d d . . . d d ) d = d + 1

1 2 t−1 t t t E−t

−

y x = β

Ne consegue che i numeri oating point sono molto addensati vicino a e sempre più radi

x

verso . min

x

Esaminando l'insieme (numeri binari, mantissa di 2 cifre, esponente )

max −2 ≤ ≤

2, 2, 2) E 2

si confermano le seguenti proprietà generali:

F(2, 3

1. l'insieme è discreto;

2. i numeri rappresentabili sono solo una piccola parte di ;

R

3. la distanza tra due numeri macchina consecutivi non è costante.

Per memorizzare un numero macchina servono posizioni di memoria per la caratteristica, per

il segno e per la mantissa: . In binario ogni numero è una stringa di bit

± E E . . . E d d . . . d

(binary digit); un byte è un gruppo di 8 bit.

1 2 n 1 2 t

Generalmente non si usa una cella per il segno della

Shifting (oset) della caratteristica.

caratteristica: si ricorre alla rappresentazione in shifting (oset). Dati e (con −m ≤ ≤

m M E

), si memorizza il valore invece di , ottenendo valori da a . Esempio:

M E + m + 1 E 1 M + m + 1

se , si memorizza (valore 1 per , no a 254 per ).

∈ −126

E [−126, 127] Ē = E + 127 E = E = 127

Nella rappresentazione binaria, poiché implica necessariamente ,

Bit nascosto. ̸

d = 0 d = 1

la cifra viene omessa (bit nascosto). Si usa quindi: 1 1

d

1 E E

±(1 · ±1.d ·

x = + 0.d d . . . d ) 2 = d . . . d 2

1 2 t 1 2 t

per cui il numero eettivo di cifre disponibili per la mantissa è e non .

t + 1 t

L' (o "precisione di macchina", "unit roundo", simbolo ) è il

Denizione. epsilon machine ϵ

più piccolo numero macchina positivo tale che sommato a 1 dia un risultato maggiore di 1; è la

distanza tra 1 e il successivo numero macchina.

Poiché e , si ricava:

1 1

·β ·

1 = 0.1 00 . . . 0 1 + ϵ = 0.1 00 . . . 0 1 β

| {z } | {z }

t−1 t−2

1 1−t 1−t

· ·

ϵ = 0. 00 . . . 0 1 β = 1 β = β

| {z }

t−1

Un algoritmo semplice per calcolare genera la successione

ϵ U = 1, U = U /β, U =

no a che : 1 2 1 3

U /β, . . . 1 + U = 1

2 Algoritmo 1 (Calcolo precisione di macchina)

1. U = 1.0

2. mentre :

(1 + U ) > 1

(a) U = U

mem

(b) U = U/β

3. U = U mem

2.3 Lo standard IEEE-754

Le architetture moderne usano base binaria ( ) con tre modalità di rappresentazione: singola

β = 2

precisione (32 bit, 4 byte), doppia precisione (64 bit, 8 byte), mezza precisione (16 bit, 2 byte,

usata soprattutto nei processori graci). Secondo lo standard IEEE-754:

Precisione Segno Caratteristica Mantissa Tot.

Mezza 1 5 10 16

Singola 1 8 23 32

Doppia 1 11 52 64

Valori caratteristici per le tre precisioni: 4

Precis. RealMin RealMax

m M t ϵ

Mezza 14 15 11 −14 −5 −10 −10

15 4

· ≈ · − · ≈ · ≈

1.0 2 6.1035 10 (2 2 ) 2 6.5504 10 2 9.7656

Singola 126 127 24 −126 −38 −23 −23

127 38

· ≈ · − · ≈ · ≈

1.0 2 1.1755 10 (2 2 ) 2 3.4028 10 2 1.1921

Doppia 1022 1023 53 −1022 −308 −52 −52

1023 308

· ≈ · − · ≈ · ≈

1.0 2 2.2251 10 (2 2 ) 2 1.7977 10 2 2.2204

Il numero decimale equivale in binario al

Esempio della rappresentazione di 0.1. (0.1)

, cioè omettendo la prima

numero periodico 10

−3 −4

· ·

= (0.1100 2 ) (1.1001100 2 )

(0.00011001100)

cifra della mantissa. In singola precisione, con rounding, si rappresenta con segno 0, caratteristica

2 2 2

(essendo ), e la mantissa corrispondente, impacchettati in 4 byte. La

−4

Ē = E + 127 = 123 E =

mantissa completa 1.10011001100110011001101 equivale in decimale a ,

−4

·

1.600000023841858 2

cioè: (singola precisione)

f l(0.1) = 0.100000001490116

che dierisce da 0.1 a causa della rappresentazione binaria periodica non memorizzabile esatta-

mente. In doppia precisione:

−4 ̸

f l(0.1) = 1.600000001·2 = 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 = 0.1

migliore approssimazione, ma comunque aetta da errore.

2.4 Trasformazione di numeri reali in numeri oating-point

Dato un numero reale , occorre stabilire quale elemento associargli commet-

∈

x x̃ t, m, M )

tendo il minor errore possibile. F(β,

Overow e underow.

Se si tenta di memorizzare un numero con caratteristica maggiore di , si genera un

ˆ E M

errore di (numero troppo grande in valore assoluto).

overow

Se si tenta di memorizzare un numero con caratteristica minore di , si genera un

ˆ −m

E

errore di (numero troppo piccolo in valore assoluto); in questi casi solitamente

underow

si restituisce zero, poiché il calcolatore non distingue valori troppo piccoli da zero.

Per rappresentare con caratteristica in ma con mantissa di più di cifre, occorre

x [−m, M ] t

una funzione che associ a uno dei numeri macchina disponibili. Le

→

f l(x) : t, m, M ) x

due funzioni principali sono:

R F(β, Dato , la funzione

Denizione. Troncamento (chopping). E

±0.d ·

x = d . . . d d . . . β

chop(x) considera solo le prime cifre: 1 2 t t+1

t E

± ·

x̃ = chop(x) = 0.d d . . . d β

1 2 t

Errore assoluto e relativo del chopping: E−t E−t

·

e (chop(x)) = 0.d d . . . β < β

t+1 t+2

A −

x chop(x) 1−t

e (chop(x)) = < β

R x

(poiché , essendo ). L'errore relativo non dipende dalla grandezza del numero,

E−1

|x| ≥ ̸

β d = 0

solo dal numero di cifre della mantissa: più cifre in mantissa, minore l'errore relativo. L'errore

1

assoluto invece cresce con la caratteristica , coerentemente col fatto che i numeri macchina

E

sono più densi per valori piccoli e più radi per valori grandi.

5

Associa a il numero macchina più vicino tra

Denizione. Arrotondamento (rounding). x x̃

i due candidati e :

E E−t

·

x̃ = 0.d . . . d β x̃ = x̃ + β

1 1 t 2 1

se β

d < : round(x) = x̃ = chop(x)

t+1 1

2

se β E−t

≥

d : round(x) = x̃ = chop(x) + β

t+1 2

2

Errore assoluto e relativo del rounding:

E−t 1−t

1 1

≤ ≤

e (round(x)) β , e (round(x)) β

A R

2 2

Il rounding introduce quindi un errore mediamente inferiore rispetto al chopping, ma può in casi

estremi causare overow (cosa che non avviene con il chopping).

In generale, per l'operazione (chopping o rounding):

Errori ed epsilon machine. f l(x) chopping

( 1−t

− β = ϵ

x f l(x) rounding

≤

e (f l(x)) = u, u =

R 1 1

1−t

x β = ϵ

2 2

L'uguaglianza vale solo con rounding e con .

E

·

x = 0.d . . . d d β d = β/2

1 t t+1 t+1

Denendo (con ), si ottiene la relazione fondamentale:

−

f l(x) x |δ | ≤

δ = u

x x

x |δ | ≤

f l(x) = x(1 + δ ), u

x x

dove dipende da: base , numero di cifre della mantissa, tipo di trasformazione (chopping o

u β t

rounding).

2.5 L'aritmetica dei calcolatori

Poiché i calcolatori usano l'insieme nito e non , anche l'aritmetica risulta dierente da

quella reale. Somma di due numeri macchina si eettua incolonnandoli con lo stesso esponente;

F R

il risultato può avere più cifre di mantissa di quante siano memorizzabili, e va quindi convertito

nuovamente in numero macchina (chopping/rounding), introducendo un errore.

non implica . Questa situazione è comune

Denizione. Non chiusura di : ∈ ∈

x̃, ỹ x̃ + ỹ

alla maggior parte delle operazioni.

F F F

Il risultato di un'operazione macchina si scrive come: |δ| ≤

f l(x̃ + ỹ) = (x̃ + ỹ)(1 + δ), u

Le operazioni macchina corrispondenti alle 4 operazioni elementari si indicano con .

⊕, ⊖, ⊙, ⊘

Indicando con un'operazione in aritmetica reale (precisione innita) e con la corrispondente

⋄ ⋄

operazione di macchina: ⋄ ⋄ ⋄ |δ| ≤

x̃ ỹ = f l(x̃ ỹ) = (x̃ ỹ)(1 + δ), u

Questa è detta o .

aritmetica di macchina aritmetica in virgola mobile

Proprietà dell'aritmetica reale non più valide nell'aritmetica di macchina:

Associatività della somma:

ˆ a + (b + c) = (a + b) + c

Associatività del prodotto:

ˆ a(bc) = (ab)c

Distributività del prodotto rispetto alla somma:

ˆ a(b + c) = ab + ac

Legge di cancellazione della somma:

ˆ ⇒

a + b = a + c b = c

6

Legge di cancellazione del prodotto:

ˆ ̸ ⇒

ab = ac, a = 0 b = c

Legge di semplicazione:

ˆ a(b/a) = b

L'elemento neutro per l'addizione non è unico

ˆ L'elemento neutro per il prodotto non è unico

ˆ

Un esempio numerico (con e chopping) mostra che :

⊕ ⊕ ̸ ⊕ ⊕

3, 2, 2) x (y z) = (x y) z

calcolando si ottiene , mentre dà , contro il risultato teorico esatto

F(10,

⊕ ⊕ ⊕ ⊕

x (y z) 26.8 (x y) z 26.7

evidenza concreta della non associatività della somma in aritmetica di macchina.

26.857

2.6 Propagazione degli errori: condizionamento dei problemi

È importante studiare la sensibilità dei problemi agli err