Calcolatori - primo semestre

SISTEMI NUMERICI POSIZIONALI

Si chiamano sistemi numerici posizionali perché asseconda la posizione che ho quel numero il suo significato cambio. I numeri li possa al più entrare come insiemi di oggetti. la base è il numero di cifre che vengono utilizzate in quel sistema numerico, da non confondere con il numero più grande rappresentabile.

La posizione sarei per dare il significato a quel numero.

conversione

ES. Decimale B=10 (cifre da 1 a 10)

327 = 3 ∙ 10² + 2 ∙ 10¹ + 7 ∙ 10⁰

Un sistema posizionale può avere diverse basi. Noi utilizzeremo le basi del 2 del 16 e dell'8.

ES B = 8 (0...7)

(10)₈ = 1 ∙ 8¹ + 0 ∙ 8⁰ = (8)₁₀

Per passare da base B base 10 ho usato delle regole dell'algebra, per esempio l'elevazione a potenza.

A parità di cifre un numero a base più grande esprime numeri più grandi rispetto a cifre base più piccole.

Le basi che ci interessano sono:

BASE 2 → Numeri decimali

• 0, 1
• 0
• 1
• 10
• 11
• 100
• 101

È la base più semplice perché ha solo 2 cifre, di conseguenza anche le sue operazioni sono semplici.

(10012)₂ = 1 ∙ 2⁴ + 0 ∙ 2³ + 0 ∙ 2² + 1 ∙ 2¹ =

= 2⁴ + 2⁰ + (19)₁₀

somma:

• 0+0=0
• 0+1=1
• 1+0=1
• 1+1=10

moltiplicazione:

• 0 ∙ 0 = 0 ∙ 1 = 0
• 1 ∙ 1 = 1

Per i numeri reali la parte frazionaria di un numero era presentata come potenze negative:

ES. (80,27)₁₀= 8 . 10¹ + 0 . 10⁰ + 2 . 10^-1 + 7 . 10^-2 = 1 . 10 + ²/₁₀ + ⁷/₁₀₀ = 80,27₇

In generale per la base 2:

N = Σ a_i 2ⁱ = a_m 2^m + a₀ 2⁰ a₁ 2^-1 + ... + a_q 2^-q

ES. 10,010₁₁ = 2³ + 2⁰ + 2^-3 = 8 + 2 + 0,25 + 0,125

BASE 16 → Esadecimale

{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }

ESA DEC 1 ..... 1 2 ..... 2 3 ..... 3 A ..... 10 B ..... 11 C ..... 12 D ..... 13 E ..... 14 F ..... 15

ES. (2A5)₁₆ = 2 . 16² + 10 . 16¹ + 5 . 16⁰ = (677)₁₀

Ogni il numero esadecimale corrisponde a 4 binari. Si usa per rappresentare la base binaria in maniera compatta.

CONVERSIONE→Rappresentazione della base 10 ad un'altraPer passare da una base b generica ad una base 10 bisogna applicare lo sviluppo dell'espressione in potenza.Per passare da una base dieci a base b generica bisogna applicare:

• parte intera = il metodo divisioni successive;
• parte frazionaria = il metodo delle moltiplicazioni.

METODO DIVISIONI SUCCESSIVE - PARTE INTERA

Se abbiamo un numero N in base dieci generico e lo dividiamo per la base b (base usata per trasformare il numero) otterremo un quoziente o risultato e il resto:

N₁ = b . R₁ → 0 < R < b

N₂ = N₁ . b + R₁

N = N₁ . b + R₁ = b (N₂ b + R₂) + R₁ = N₂ b² + R₂ b + R₁

Se S è un insieme discreto la cardinalità di S sarà |S|. Per rappresentare S ho bisogno di N bit, ovvero:

La codifica sia per la presentare delle informazioni in maniera standard per evitare equivoci. Rimangono dei problemi segnano analogici e gli insiemi infiniti e discreti. I segnali analogici, in natura, vengono trasformati in elettrici con i Trasduttori, ma non sono insiemi finiti e discreti, per trasformarli in maniera finita si digitalizzano.

La digitalizzazione si divide in campionamento e quantizzazione.

• Campionamento

• Quantizzazione

Ma ti insieme le 2 tecnica:

Nel campionamento è nella quantizzazione dell'informazione più perso dei dati, per perdere meno informazione dobbiamo rendere la quantizzazione il campionamento più fitto, però occuperò più memoria utilizzando più bit. Per risolvere il problema dei numeri infiniti Rappresento questi numeri con i numeri a partizionamento infinito. Se prendo però due numeri a cui applico l'operatore somma il risultante può essere un numero che non posso rappresentare, ovvero avrò un overflow.

Ora ho il numero come:

Ciò che dovrà rappresentare sono quindi le punti:

• la base che sempre due, quindi non la codifico;
• la mantissa che è sempre 1,xxxxx, quindi non la modifico;
• segno mantissa,
• parte frazionaria mantissa,
• esponente con modulo e segno;

Esistono 2 versioni dello standard:

• 32 bit e corrisponde col float in C;

• 64 bit è corrisponde con double in C.

Il tipo di codifica che faremo sarà la seguente:

• il segno può assumere o valore zero o uno;
• l'esponente con segno viene codificato con una codifica in eccesso, metodo che prevede la traslazione dei numeri negativi e numeri positivi tutta sull’assedei positivi, dopodiché Codificarlo come numero positivo e nella ricodifica traslarlo di nuovo nell’asse negativo se è negativo:

es. esponente = 8 bit se è double (64bit) = 1024 a -127

rappresento numeri da -128 a 127 oppure da -127 a 128.

sommiamo ad ogni numero 2c 127 codifico e poi sottraggio 127:

+30 + 127 = 157 cod. 10011101

10011101 157 - 127 = + 30

Deco.

IMPLEMENTAZIONE DELLE PORTE LOGICHE

Sappiamo che il bit 1 e 0 possono essere rappresentati come livello di tensione, per esempio 0 è uguale a 0V, mentre 1 è uguale a 5V.

Ci sono dei circuiti chiamati transistor che possiamo immaginare come degli interruttori, i quali decido se sono aperti o chiusi dalla tensione.

Quelli che usiamo sono i Mosfet, transistor a effetto di campo, ovvero possono condurre o possono anche non condurre. Ne esistono di diversi tipi: n-type, sensibile alla tensione positiva e p-type, sensibile alla tensione negativa.

Nei circuiti CMOS vengono utilizzati entrambi i tipi di porte in modo complementare. Per costruire una porta Not si utilizzano entrambi i tipi nel modo seguente:

La configurazione che abbiamo deve essere mutuamente esclusiva, mai connessa sia a 5 che a 0, sennò abbiamo un corto circuito e si fonderebbe. La porta deve sempre essere alimentata.

• PORTA BUFFER:

La porta Buffer ha due utilizzi. Serve ad amplificare il segnale, ovvero ogni volta che c’è un calo di tensione quando il segnale passa attraverso una porta se passa dopo attraverso il buffer il segnale da, es, 4,7 ritorna a 5.

non potendo mettere in evidenza possiamo complicare l'espressione per una futura semplificazione.

Ciò viene usato anche in fisica dove per arrivare in basso devo aumentare per esempio la mia energia andando contro ciò che farei per arrivare in un secondo momento al valore minimo.

Uso i 2 teoremi:

A + Ā = 1   e   A · 1 = A

x + ẏ + z + z̄x =

= x + ẏ + ẏz + z̄x =

= xẏ + ẏz(x + x̄) + z̄x =

= xẏ + ẏz   (1 + x̄)   + z̄x (1 + ẏ) =

= xẏ + z̄x

Abbiamo così risolto il nostro teorema. Possiamo pensare che questa espressione è valida solo se ẏ è uguale a 0:

x + ẏ + z + z̄x =   x + z̄x

ẏ = 0

Ciò non è valido perché yz non ha meno davanti quindi non posso far passare meno -zy dall’altro lato.

Per questo teorema vale anche il duale:

( x+ẏ )( ẏ+z )( z+x̄ )=   (x+ẏ )( z+x̄ )

Dimostrazione del duale trovate le tabelle di verità

d_imostrato