Appunti utili per l'esame di Fisica 1

Calcolo dell'accelerazione totale e delle tensioni

Sommo le due equazioni e trovo l'accelerazione totale:

FF →= (3.46)a a+m m MBA

Passo ora a calcolare T:

m B ·= (3.47)T FM

Se <• il corpo si muoveT F,>• corpo è fermoT F,il 65

CASO 3

Carrucola che ruota

Condizioni:

 ′ =T T =T cost ̸ = 0mTensione diretta lungo il filo Figura 3.35

̸ ̸= =• 0, 5m T TBA66

̸ · ̸= = + = =• 0, 0m F T f T f m aBf f A fcon • ,forza che il filo esercita suT mA A• ,forza che il filo esercita suT mB B

La forza che la massa esercita sul filo è oppostaFigura 3.36

̸ → ̸ ̸= = =0eTT f T f R TB BA A

Forze su A · −= = (3.48)R m a F TA A A

Forze su B ·= = (3.49)R m a TB B B

Forze sul filo · −= = (3.50)R m a T TBf f A

Sommo le 3 equazioni e ricavo l'accelerazione che corrisponde alla (3.46), mentre per trovare le due tensioni sostituisco in (3.49) la(3.46) e trovo la

tensione su BmB ·=T FB M 67

Sostituisco la (3.46) nella (3.50) e trovo la tensione su A· ·=T T f racm M FBA f

La tensione non è costante: cambia in ogni punto

Figura 3.37< < +x dx dx x

Figura 3.38

Definisco densità lineare di massaµ m f ·= =dm dxµ µd

Su dx agiscono due tensioni:68 Figura 3.39

• T(x) verso asse x negativo

• T(x+dx) verso asse x positivo − · · ·(x + (x) = =T dx) T dm a dx aµ

con • T(x+dx)-T(x)=dT variazione di T in dx

• dm elemento di massa ·=dT adxµ

Integrando la posizione iniziale (m ) e x trovo la variazione ovvero trovo la variazione diBT in dx: − ·(x) (0) =T T axµ

Con T (0) = T(B) m Ff ·(x) = +T T xB d M

In A, la x vale d m f(A) = +T T FB MT nel punto medio 69Figura 3.40

m F df · ·+TB 2d MF d Fm · · ·= += + T mT T B gB 2 2Mg M3.2.16 Applicazioni delle funi3.2.17 Macchina di Atwood Figura 3.41⃗

y−m · · · · · → · · · · ·+ ) + ) = = ) + )0g m g cons(α m g cos(α m g m g cos(α m g cos(α3 1 1 2 2 3 1 1 2 2=Asse x 0perchèverticaleT3 −m · →) + ) = ) = )0gsen(α m gsen(α m gsen(α m gsen(α1 1 2 2 1 2 2 2Figura 3.44 =Verifico se l’equazione su x è la condizione di equilibrio: somma vettoriale con θ+α α1 2Per il teorema dei coseni72 2222 2 − · − + )+)T+(T + ) = 2T2T T cos(θTT cos(πTT T θ 1 21 21 2 2121 − −cos(θ) = )cos(π θSo che: + = =T T T T m g1 2 3 3 3Quindi 23 2 21 2 22 2 2−= + 2mm g m g m g m g cosθ1 2con23 21 22= + + = + =2mm m m m cosθ m g m gcosα m gcosα m gsenα m gsenα1 2 3 1 1 2 2 1 1 2 2= +Ricordando chem m m3 1 223 21 2 22 2· · · · ·= (α ) + (α ) + ) )2mm

m cos(α cos(α

1 2 1 2 1 2con 21 2 22= +α )+2m = +m2m 2m 2mm cosα cosα

m cos(α m senα senα m senα senα m sen senα

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 123 21 22· · · · ·= ) + ) + ) )2mm m cos(α m cos(α m cos(α cos(α

1 2 1 2 1 2con 21 2 22 2 21 22 23 21 22· ·(α ) + (α ) = + = + + 2mm cos m cos m m m m m m cosθ

1 2 1 2Sono in relazione.

3.2.19 Forza elastica

La forza elastica è una forza di contatto che nasce dalla deformazione dei corpi ovvero dalla compressione e dalla dilatazione.

Essa può essere generata quando utilizziamo una molla 73

Figura 3.45

Consideriamo di applicare una forza sulla molla e di farla allungare l’elongazione è datada: −= (3.53)x L L0

Ha segno negativo se la molla viene compressa.

Ogni volta che la molla viene compressa o allungata entra in gioco la forza elastica che si oppone

all'elongazione. La forza elastica è direttamente proporzionale all'elongazione: ^-k·x (legge di Hooke) dove k è la costante elastica che dipende dal materiale e dice quanto una molla sia rigida: maggiore è il valore di k maggiore sarà la rigidità della molla e quindi più difficile sarà comprimerla o allungarla. La forza elastica avviene in una dimensione e quindi si muove di moto rettilineo.

Se la molla viene allungata, allora l'allungamento sarà positivo e il verso della forza elastica rivolto verso la molla e viceversa.

La forza elastica è parallela all'elongazione, ma ha sempre verso opposto: questo spiega il segno meno nella formula. Per questo motivo viene chiamata forza di richiamo.

Consideriamo di aver deformato la molla e di averla lasciata libera di muoversi, essa si muoverà di moto armonico semplice. L'accelerazione vale F = -k·xω^2

= +x(t) Asen(ωt y(t) y x(t)Φ) 0

Moto armonico attorno a , alla nuova posizione di equilibrio.

y0 773.2.20 Pendolo semplice

Il moto del è descritto da un moto armonico ed è un sistema che segue il modello dell’oscillatore armonico come la molla. È un oggetto ideale di massa m appeso a un filo di massa trascurabile e inestensibile→ moto circolare.

Figura 3.50: schema delle forze

Il pendolo si trova nella posizione di equilibrio quando il filo è in posizione verticale (teso)=e il punto fermo e forma un angolo 0 con la verticale.θ

Se il punto materiale viene spostato dalla posizione di equilibrio, inizierà a oscillare su un piano verticale sotto l’effetto della forza peso che tenderà a portarlo nella posizione di equilibrio. In questa configurazione si formerà un angolo con la verticale.θ

Figura 3.51

Sul corpo agiscono:

• Tensione T del filo
• Forza peso P−mgsenθ · − ·= =asse x: : asse y:m

a T mgcosθ m aL’accelerazione ha due componenti: centripeta e tangenziale

2 2dθd θ − ·ˆ = +L a aµ µ̂r t cθ2dt dt dθ· · · ˆ= =

La velocità ha solo la componente tangenziale: v L Lω µθdt

Il moto ha quindi due direzioni, radiale e tangenziale:

2 dθ−T −m ·= =• Radiale con mgcosθ dt

2d θ−mgsenθ ·=• Tangenziale con m L2dt2 2 −gd dθ θ−mgsenθ · → ·= = )m L sen(θ2 2dt dt L