Appunti sulla teoria del Moto ondoso

Teoria Lineare del Moto Ondoso

La teoria matematica per studiare la propagazione delle onde e si basa su un

processo matematico e su equazioni lineari. Questa teoria è importante perché

permette di studiare fenomeni molto complessi. La trattazione è valida sia in

acque alte che basse.

Si formula una prima ipotesi:

-l’onda è regolare (più o meno la cresta è uguale al cavo cambiato di segno,

così le posso scrivere come funzioni sinusoidali)

-onde piane oppure a cresta lunga (es i punti ad elevazione massima sono

tutti lungo la stessa direzione, quindi studio solo la direzione x di

propagazione essendo costante lungo y)

Il primo passo è quello di fissare il sistema di riferimento (il livello z=0

corrisponde al L.M.M.), poi individuiamo le variabili del sistema:

-L’elevazione della superficie libera, è periodica sia nello spazio (ogni L

lunghezza d’onda) e nel tempo (ogni T periodo si ripete):

( )=a (k )

η=η x , y , t cos x−ωt

k , k

k=( )=(k cosβ, k sinβ)

x y

β è l’angolo con l’orizzontale

x=( )

x , y

( ) =a

η=η x , t cos( k x−ωt)

-La velocità e le sue componenti:

( )

u=u x , y , z ,t → u=(u , v , w)

-La pressione:

)

p= p( x , y , z ,t

Il terzo passo consiste nella definizione delle equazioni utili alla risoluzione del

problema:

{ Conservazione della massa

Conservazione quantità dimoto

Equazione di conservazione della massa

dm=ρdV …

Dρ ( )

+ =0

ρDIV v

Dt

Ipotesi fluido incomprimibile, anche se in realtà l’acqua di mare è

¿

debolmente comprimibile ( :

ρ=costante

( )=0

¿ v

Equazione di conservazione Quantità di Moto (la variazione di QdM è

uguale alla somma delle forze che agiscono sul volume di controllo)

Ddm v Ddm Dv Dρ Dv

=v +dm =v +

dV ρdV

Dt Dt Dt Dt Dt

Dv =∑

ρdV F

Dt

Le forze si distinguono in forze di volume (forza di gravità e Coriolis che

trascuriamo) e forze di superfice (normali=pressione e tangenziali)

Ipotesi di fluido non viscoso (trascuriamo gli sforzi tangenziali) gli sforzi

normali si esprimono col gradiente della pressione (negative forze di

compressione)

Dv =ρ −∇

ρdV G dV pdV

Dt

Quindi ottengo:

∇

Dv p

=G−

Dt ρ

G=( )

Dove 0,0 ,−g

La posso scomporre in tre equazioni scalari

−p x

+u + +w =

u u v u u

t x y z ρ

−p y

+ + + =

v u v v v w v

t x y z ρ

−p z

+u +v + = −g

w w w w w

t x y z ρ

Queste tre più DIV(v)=0 mi danno un di 4 equazioni in 4 incognite che però

sono accoppiate e quindi difficili da risolvere analiticamente

Per semplificare il problema facciamo una terza ipotesi semplificativa: il flusso

è irrotazionale cioè la vorticità è nulla. Fluido non viscoso e soggetto a

forze conservative -> vorticità è nulla.

Possiamo esprimere il campo di velocità con un potenziale scalare . Ciò

Φ

consente di semplificare molto la trattazione perché il nostro obiettivo è

ottenere due equazioni disaccoppiate. Tale ipotesi è possibile solo a seguito

dell’ipotesi di fluido non viscoso e forze conservative. Tale scalare è definito

come: ( )

∇ ϕ ϕ ϕ =(u

Φ=v → , , , v , w)

x y z

Sapendo

∇ × u=0

| |

^ ^ ^

i j k ( ) ( ) ( )

∂ w ∂ v ∂ u ∂ w ∂ v ∂u

^

^ ^

= − + − + − =0

i j k

/∂ /∂

∂ x ∂ y ∂/∂ z ∂ y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂ y

u v w

Devono essere nulli tutti i termini tra parentesi, quindi

{ =v

w y z

=w

u z x

=u

v x y

Dunque, l’equazione di conservazione della massa diventerà:

2

( ) ( )=∇

∇ ∇

=∇

∙ v ∙ Φ Φ=0

Possiamo anche riscrivere le equazioni sul bilancio della QdM:

+uu +vv + =−p /

u ww ρ

t x x x x

+uu + +ww =−p /

u vv ρ

t y y y y

+uu + + =−g− /

u vv ww p ρ

t z z z z

Ricordando che

( )

ϕ ϕ ϕ =(

, , u , v , w)

x y z

Tirando fuori l’operatore derivata

[ ] ( )

−∂

∂ 1 p

( )

2 2 2

+ + + = +

Φ u v w gz

t

∂x 2 ∂x ρ

[ ] ( )

−∂

∂ 1 p

( )

2 2 2

+ + +w = +

Φ u v gz

t

∂y 2 ∂y ρ

[ ] ( )

−∂

∂ 1 p

( )

2 2 2

+ + + = +

Φ u v w gz

t

∂z 2 ∂z ρ

Integro tutte e tre le equazioni rispettivamente su x, y e z

1 p

( )

2 2 2 ( )

+ + +Φ + +

Φ Φ Φ gz=C y , z , t

t x y z 1

2 ρ

1 p

( )

2 2 2 ( )

+ + +Φ + +

Φ Φ Φ gz=C x , z ,t

t x y z 2

2 ρ

1 p

( )

2 2 2 ( )

+ + +Φ + +

Φ Φ Φ gz=C x , y , t

t x y z 3

2 ρ

Siccome tutti i membri a sinistra dell’uguale sono identici allora le costanti:

=C =C =C (t)

C 1 2 3 ( )

E non dipende da così ottengo l’equazione di Bernoulli

x , y , z

C( t)

1 p

( )

2 2 2

+ + +Φ + +

Φ Φ Φ gz=0

t x y z

2 ρ

Equazione di Laplace

2

∇ Φ=0

Adesso che abbiamo tutte le equazioni (Laplace e Bernoulli) nelle incognite

, troviamo le condizioni al contorno:

Φ e p

Bottom Boundary Condition (BBC) z=-h(x,y), condizione cinematica sul

fondo:

Dobbiamo scrivere un’espressione matematica che definisce quella superficie