Appunti sul campo dei numeri complessi

Numeri Complessi

Si parte dall'insieme R × R = R².

Introduco due operazioni, somma e prodotto cosí definite:

• (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)
• (a,b) x (c,d) = (ac-bd,ad+bc)

Si prova che R² con le operazioni di + e · è un campo, cioè soddisfa gli assiomi da A1 a A9 di R.

• L'elemento neutro rispetto alla somma + è (0,0)
• L'elemento neutro rispetto al prodotto · è (1,0)

R² e dunque un campo.

R² si definisce campo dei numeri complessi (o campo complesso) e si denota con C (C = (R²,+,·)).

Legame tra C e ed R:

• C₀ = {(a,b) ∈ C: b=0} = {(a,0), a ∈ R} ⊆ C
• (a,0) + (b,0) = (a+b,0)
• (c,0) x (d,0) = (cd-0,0-0) = (c,0)

Si dice sottocampo di C, ma su C₀ posso definire una relazione d'ordine ≤

Dico che (a,0) ≤ (b,0) ⇔ a ≤ b_R

C'è una corrispondenza biunivoca tra C₀ e R, hanno le stesse proprietà e si dice che conserva la struttura.

Posso "identificare" (isomorfismo) C₀ con R, studiarli è intercambiabile quindi è come se R fosse sottinsieme in C.

C in questo senso è un'estensione di R.

I numeri complessi (a,0) li diciamo reali.

Numeri complessi (0,b) ∈ C si dicono immaginari.

(0,1) ∈ C, (0,1) x (0,1) = (-1,0) ∈ C₀

i = (0,1) ⇒ i² = -1

• i³ = i² · i = -i
• i⁴ = (-i) · i = 1

Rappresentazione algebrica di un numero complesso

(a,b)=(a,0)+(0,b) → (a,0)+(0,b) è sempre vero

(a_c•b+ρc)=(0,b)

z = q + i^b

Forma algebrica di z

Il numero z = 0 - i^b si dice coniugato di z → z̅ = -i

Dato z = a - i^b il numero a² + b² si dice modulo di z

Proprietà

• z • z̅ = a² + b²
• (6 + i^b)(a - i^b) = a² - (i^b)² - a² + b²
• |z| ≥ 0
• Si verifica che dati due numeri complessi z₁, z₂
• 1) z₁ • ζ₁̅ = z₂ • ζ₂̅
• 2) |z₁| = |z₂|
• 3) (1/z₂) = 1/ζ₂̅
• 4) |z| ≥ 0, |z| = 0 ↔ z=0
• 5) |z| | Ζ |
• 6) |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|

Operazioni

• 1) z₁=(3-i)   z₂=(4-sqrt(2))   ζ_A=3-2i  ζ_B=4-√2i
• 2) z₁ • z₂ = (3-2i)(4-sqrt(2)i) = 12 - 3√2i - 8i + 2√2 =
• (12 - 2√2i)(-6 - 8i)
• 3) z = 3--(2-i) è un numero complesso ma non in forma algebrica (z=a+i^b), si trasforma moltiplicando per il coniugato

Esempio 1:

z = -1 calcolare √z = √-1

• 1_{(cosπ + i sinπ)} secondo metodo

1^o metodo

β = √x² + y²

cos θ =

sen θ =

AVREMO DUE RADICI: W₀ E W₁

• √x = √1
• θ₀ = y + 2⋅π = π + 2⋅π = 3/2 π
• i z = W₀ = 1 (cos π/2+i sin π/2) → W₀ = i
• W₁ = i (cos (3/2 π)+i sin (3/2 π)) → W₁ = -i

Esempio 2:

Calcola √(3 + i) m = 4

• determinare W₀, W₁, W₂, W₃

d = √2

z₀ = y₀ = 0

φ₀ = + 2⋅i = π/4

Il modulo è uguale per tutti

φ₁ = y + 2⋅π = π/4 = 1/2 = (π + 8)⋅11/16

φ₂ = y + 2⋅π = π/4 = 1/2 = (φ/16 4+π/16 4)= 3π/16

φ₃ = y + 2.3⋅11 = 25π/16

• W₀ = √2 (cos π/4+i sin π/4)
• W₁ = √2 (cos 11/16π + i sin 11/16π)
• W₂ = √2 (cos 23/16π + i sin 23/16π)
• W₃ = √2 (cos 25/16π + i sin 25/16π)

LE 4 RADICI HANNO DUNQUE DIRITTO AD UN MODULO ED UN ARGOMENTO CHE ABBIAMO CALCOLATO.

Teorema fondamentale dell'algebra

Ogni polinomio di grado m≥1 a coefficienti ha m radici in C (C è algebricamente chiuso).

Rappresentazione sul piano di Gauss

• Vertici de W_i = {i, -i, -i³}
• φ₀ = 0
• φ₁ = π/2
• φ₂ = π
• φ₃ = 3π

I punti sono sparati, distribuiti nel piano, in modo da essere tutti sulla stessa circonferenza e la differenza tra un argomento e il precedente è costante.

L'indice di radice è il numero di lati del poligono. Per m = 2 abbiamo un segmento.