Appunti per l'esame di Ecologia

DIFFERENZE TRA PIU’ DI DUE GRUPPI SPERIMENTALI (DISEGNO AD UN FATTORE)

Esempio ecologico: effetti della predazione di lucertole su popolazioni di ragni alle

Bahamas

Ci sono piccole isole dove si hanno lucertole e ragni, è necessario il confronto di più livelli,

e infatti si fanno 3 trattamenti, ci sono delle aree libere dove le lucertole possono predare i

ragni in materia naturale, delle aree chiuse (gabbie) con lucertole escluse e poi delle aree

chiuse con le lucertole dentro. Se non c’è effetto gabbia, il controllo (dove non c’è la

gabbia) dovrà avere una stessa densità di ragni dell’area con una densità di lucertole pari a

quella esterna.

Sapendo che non ho effetto gabbia e noto che la popolazione di ragni è inferiore dove le

lucertole sono presenti rispetto a dove sono escluse posso confermare che le lucertole

predano i ragni su questi isolotti.

Confronto tra più di due livelli

Livelli: 1) controllo naturale, consumatore libero di usufruire della risorsa, 2) esclusione del

consumatore, 3) controllo artefatto con barriera permeabile al consumatore o che lo

contenga

Se non c’è artefatto, la nostra variabile di risposta come “densità di una specie” in questo

caso, non deve differire tra il controllo naturale e il controllo artefatto

Livelli di un fattore: ogni fattore è rappresentato da più livelli (trattamenti) ciascuno dei

quali rappresenta un gruppo di osservazioni esposte alla stessa condizione sperimentale

relativamente a quel fattore.

09/03/2023

Confronto tra più di due livelli

Chiamiamo fattore A una variabile predittiva, questo fattore può essere:

-random (i livelli che scegliamo sono casuali tra un insieme possibile di livelli)

-fisso (l’ipotesi ci dice di scegliere esattamente determinati livelli)

Testare ipotesi che il battito cardiaco dei topi vari con la temperatura, posso formulare

l’ipotesi anche nel modo in cui il battito cardiaco dei topi vari con tra temperatura di 15,20

e 25 gradi. Ovviamente la prima ipotesi sarebbe fattore random e la seconda fattore fisso.

Se prendiamo 5 temperature, A sarà uguale a 5, mentre il pedice i rappresenta il generico

livello del fattore A.

Per ciascun livello avremo un numero di osservazioni, noi dobbiamo replicare per ridurre

l’errore casuale, infatti le osservazioni andranno prese in modo casuale facendo attenzione

nel prendere un campione rappresentativo.

Con j indichiamo la generica osservazione.

Se io prendessi 10 repliche per livello, n sarebbe uguale a 10.

Per ciascun livello del mio fattore, io posso calcolare una stima campionaria della media,

campionaria perchè ho estratto un certo numero di osservazioni da tutte quelle possibili.

Stimo una media per ogni livello e una media generale (X)

Se io comparo due osservazioni all’interno dello stesso livello, queste posso differire per

l’unicità dell’osservazione (U), ci sarà comunque variabilità.

Se invece comparo osservazioni di due livelli differenti, differiscono sia per l’unicità delle

osservazioni sia per l’effetto di passare da un livello a l’altro del fattore A.

Quindi dovremo costruire un test che ci permetta di capire se la variabilità nel passare da

un livello all’altro è maggiore o no di quella all’interno del livello. Se U+A non è maggiore di

U significa che l’effetto del fattore A non c’è.

L’obiettivo dell’analisi della varianza è valutare se la variabilità generata dall’effetto del

fattore A è significativamente superiore alla naturale variabilità tra osservazioni

Stiamo testando l’ipotesi nulla che le medie siano tutte uguali H0: μ1= μ2= μj= μa

Ripartizione della variabilità:

Algebra (per scomporre la variabilità totale in queste due sorgenti, in maniera che si

➢ possano comparare)

Modello lineare (ci aiuta a capire le sorgenti di variabilità)

➢ Test statistico (dato dalla distribuzione F)

➢

Algebra

Scompongo la variabilità totale in variabilità entro i gruppi e variabilità tra gruppi tramite

arrangiamenti matematici (sommatorie)

La variabilità totale è data dalla somma delle differenze di ciascuno di questi numeri dalla

media generale (quanto ciascun singolo valore si discosta dalla media generale), e noi

dobbiamo scomporre questa variabilità totale nelle due sorgenti che abbiamo identificato:

quella dovuta all’unicità delle osservazioni e quella generata dal fattore.

Dobbiamo elevare la sommatoria al quadrato, altrimenti il risultato sarebbe uguale a 0.

Per mezzo di ulteriori passaggi algebrici (teoria della distribuzione normale), è possibile

dimostrare che la divisione delle devianze tra gruppi ed entro i gruppi per i rispettivi gradi

di libertà, produce stime di varianze (definite come scarti quadratici medi o MS, Mean

Square) che esprimono la variabilità dovuta all’unicità delle osservazioni e all’effetto del

fattore in esame, se tale effetto è presente nei dati

xij-xi rappresenta la variabilità negli stessi livelli, mentre in xi-x ho la variabilità tra i vari

livelli. Quindi ho così scomposto la variabilità totale in due sorgenti di variabilità, quella

entro i gruppi, che rappresenta quanto ciascuna osservazione si discosta dalla media del

livello del fattore a cui appartiene, e quella tra i gruppi dove vedo quanto la media di

ciascun fattore si scosta dalla media generale.

Possiamo notare che negli scarti non c’è un pedice n, quindi quello che troviamo alla fine

esce dalla sommatoria.

Il passo successivo sarà comparare queste variabili e decidere in maniera oggettiva se una

è più grande o meno dell’altra.

Per arrivare alla varianza dalla devianza, dobbiamo dividere queste devianze per i gradi di

libertà.

Definizione gradi di libertà: numero di elementi di cui si può far a meno per compiere

un’operazione aritmetica

Quindi, a ciascuna di queste devianze possiamo associare dei gradi di libertà. Se dividiamo

le devianze per i gradi di libertà otteniamo queste varianze attese (o MS, che significa

2e

mean square), otteniamo una stima della varianza che indichiamo con σ dove “e” sta per

errore. Quando ho una serie di numeri, posso calcolare la sommatoria, dividerla per i gradi

2e

di libertà e quello che ottengo è una stima della varianza all’interno dei gruppi (σ ), lo

stesso faccio con le devianze, dividendo per i gradi di libertà ottenendo una varianza

2e 2a

attesa tra gruppi (σ + nσ )

Modello lineare

Significa una combinazione lineare che ci possa rappresentare qualsiasi osservazione. Alla

fine noi abbiamo dei valori di una variabile che abbiamo estratto da una popolazione che

sarà descritta da una distribuzione di frequenza. Quindi ciascuna osservazione si discosta dalla

media del livello per l’unicità dell’osservazione.

Questo modello ci aiuta a visualizzare come

può essere espressa la generica osservazione

Xij tramite la media della popolazione dalla

quale il campione è prelevato sommata al

termine residuo, ovvero quanto si discosta

l’osservazione dal valore medio (ogni individuo

è unico)

Posso modificare la prima equazione (solo se l’esperimento riguarda un solo fattore)

aggiungendo l’effetto di un livello del fattore. Se H0 è falsa ci sarà un effetto del livello A.

Per definizione se l’effetto di i non c’è μi= μ, e l’effetto di Ai lo trovo calcolando quanto μi è

distante da μ.

Ai è la differenza tra la media parametrica del livello i e la media parametrica dell’intera

distribuzione mentre eij è quanto ciascun’osservazione si discosta dalla media parametrica

del livello a cui appartiene. Posso calcolare così l’effetto dell’iesimo

livello del trattamento e il termine residuo

Se c’è un effetto del livello i, la media del livello si discosta dalla media generale.

Se H0 è vera, le medie parametriche di tutti i livelli sono uguali e quindi μ generale per tutti

e Ai=0, ciascuna osservazione si discosta dal valore medio solo per l’unicità delle

osservazioni

Se H0 è falsa, ciascun livello è descritto da una distribuzione di frequenza che ha una

media che si discosta da quella generale, le medie parametriche di ogni livello si

discosteranno tra di loro e tra la media generale.

Livelli sperimentali in un ipotetico esperimento di esclusione di predatori

La sommatoria degli scarti quadratici da 338, quindi vorrà dire che escludere predatori o

tenerli presenti sarà differente in termini della variabile di risposta che stiamo studiando.

Ogni colonna rappresenta le 5 osservazioni relative alla densità delle prede quando c’è il

predatore, senza predatore e quando c’è controllo dell’arte fatto, quindi ciascuna colonna

ci da il valore medio della densità delle prede in presenza, assenza del predatore e ca. Da

questi valori possiamo ottenere un valore medio, che stima μ. Ai è la differenza del valore

medio di ciascun livello e la media generale (es 35-20=15).

Ai mi da 0, ma se elevo le medie al quadrato non mi da più zero. L’ipotesi nulla, se è vera,

lo scarto MS deve essere zero.

Test statistico

La statistica F

Abbiamo un rapporto del MS tra gruppi ed entro i gruppi, io voglio vedere se la variabilità

generata dal fattore A è maggiore o no di quella all’interno del livello. Se non c’è variabilità

2e

generata dal fattore A, la quantità n σ è uguale a 0.

Usiamo una distribuzione di frequenza statistica che è quella del valore di F, che è un

rapporto tra varianze, questa distribuzione di frequenza è stata tabulata è centrata su 1.

Anche in questo caso la forma della curva cambia a seconda dei gradi di libertà,

cerchiamo un valore di F critico tabulato che ci permette di distinguere il 5% dal 95%, per il

resto funziona come il test T

Caratteristiche statistica F:

1. Questo test ha una sola coda in quanto A sposta i valori verso DX.

2. La forma della curva è influenzata dal n° di repliche ma anche dai gradi di libertà del

numeratore (a-1) e del denominatore(a(n-1)).

3. Fcrit separa la coda che contiene il 5% dell’intera distribuzione. Essendo la stat.F

tabulata posso ricavarlo Fcrit e confrontarlo con la risposta del mio test, che se maggiore

mi porta a rifiutare l’ipotesi nulla accetto distr.alternativa.

15/03/2023

Assunzioni dell’analisi della varianza

‘Assunzione’ significa che la probabilit&