Appunti Metodi numerici - Parte 4

PDE: EQ. DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI

Per ora abbiamo studiato:

• ODE_IV
  • \( \frac{dy}{dt} = - \alpha y, \quad y(0) = y_0 \)
  • \( m \frac{d^2x_m}{dt^2} + \mu \frac{dx_m}{dt} + kx_m = f \quad \left\{\begin{array}{l} x_m(0) = x_0 \\ v_m(0) = v_0 \end{array}\right. \)
• Metodo di Eulero e Heun
• ODE_BV
  • \( \frac{d^2T}{dx^2} + h'(T_\infty - T) = 0, \quad T(x)?, \quad \left\{\begin{array}{l} T(0) = T_a \\ T(L) = T_b \end{array}\right. \)

Fino ad ora le incognite del problema dipendevano da una sola variabile indipendente: \( y(t), x_m(t), v_m(t), T(x) \).

Nell'ingegneria civile si incontrano problemi che possono essere descritti da grandezze che variano tridimensionalmente in 4 direzioni, ovvero:

\( \varphi \) può essere:

• Scalare (es. temperatura)
• Vettoriale (es. velocità dell'aria)
  • In questo caso ci riconduciamo ad un problema scalare analizzando le componenti del vettore \( \varphi^{(1)}, \varphi^{(2)}, \varphi^{(2)} \)

Da ora in poi \( \varphi \) è scalare!

Per \( \varphi \) abbiamo una derivata lungo ogni direzione di derivabilità, cioè:

• \( \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z}, \frac{\partial \varphi}{\partial t} \)

Supposto di derivazione parziale rispetto al variabile spazio di x

Queste derivate si possono scrivere in modo compatto nel seguente modo:

ϕ_x, ϕ_y, ϕ_z, ϕ_t

Posso avere delle derivate seconde (con la relativa notazione compatta), cioè:

^∂2ϕ/_∂x2, ^∂2ϕ/_∂y2, ^∂2ϕ/_∂z2, ^∂2ϕ/_∂t2

ϕ_xx, ϕ_yy, ϕ_zz, ϕ_tt

Posso avere anche derivate miste, posso ad esempio derivare la funzione prima rispetto a x e poi rispetto a y, avrò:

^∂2ϕ/_∂x∂y, ^∂2ϕ/_∂x∂z, ^∂2ϕ/_∂x∂t, ^∂2ϕ/_∂y∂x, ^∂2ϕ/_∂y∂z, ^∂2ϕ/_∂y∂t

ϕ_xy, ϕ_xz, ϕ_xt, ϕ_yx, ϕ_yz, ϕ_yt

^∂2ϕ/_∂z∂x, ^∂2ϕ/_∂z∂y, ^∂2ϕ/_∂z∂t, ^∂2ϕ/_∂t∂x, ^∂2ϕ/_∂t∂y, ^∂2ϕ/_∂t∂z

ϕ_zx, ϕ_zy, ϕ_zt, ϕ_tx, ϕ_ty, ϕ_tz

A volte troviamo :

ż → derivata di ϕ rispetto a t : ∂ϕ/∂t

żż → ^∂2ϕ/_∂t2

L’idea è quella di ricondurre ad un problema con una sola variabile nello spazio e una nel tempo.

Provo a scrivere l’eq. differenziale generica per quest’

esempio, cioè:

m_sε_tt+dε_t+aε=q_s=c(ε_xx)+β

condizioni

del contorno

DIRICHLET

condizioni

iniziali

CONDIZIONI INIZIALI

Ha senso specificarle se ci sono problemi che evolvono nel tempo.

CONDIZIONI AL CONTORNO

Esistono se c'è un’evoluzione del problema nello spazio.

Le frecce stanno a significare (↓↑) che a partire dalla

condizione iniziale seguiamo l’evoluzione della soluzione nel

tempo arrivando così alla soluzione al tempo tf che è

un risultato (cioè qui noi dobbiamo recuperare delle condizioni)

!

Questo ragionamento se l’eq. differenziale è una PDE ai

valori iniziali. Perché se invece m_s=0 e d=0 allora

l’eq. sarebbe aφ=c(φ_xx+φ_yy)+β la quale è un problema che

evolve nel tempo.

definire una condizione stazionaria.

Iperb.: IV

parab: IV

IPERb. ELLITTICHE: BV

definire una condizione stazionaria.

volevo rappresentare le condizioni al contorno

→ confini del dominio di calcolo.

X =

⇒ M𝜆 + D𝜅 + kX = {}

M =                        D =

k =                       {ξ} =

Ribassare il problema in una forma risolvibile:

M𝜆 + D𝜅 + kX = {ξ}

Ci sono 2 casi particolari:

1) M ≠ 0    ⇒     Y =     ⇒   m

Risolvibile con il Metodo di Eulero.

2) M = 0    ⇒     D𝜅 + kX = {ξ}

⇒ 𝜆 = D^-1    (-kX + {ξ})

Crea la seguente matrice:

T = 2eros(Nx, Nt);

T(2, Nx-1, 1) = 0; -> condizioni iniziali (inoltre perché utile)

T(1, 1) = Ta;

T(Nx, 1) = Tb

Integrazione nel tempo:

for it = 1:Nt+1

T(:, it+1) = T(:, it) + Δt * μv(0) * (-k * T(:, it));

and Taut = T(:, eud);

oppure T(:, Nt)

Riepilogo:

PDE_01

JT / Tt = k 3² / dx²

T|x=0 = Ta, T|x=L = Tb

Dirichlet

L'eq. generale era:

mx_ft + dxφ + sφ - cφxx + f

1 ------- Nx

1/12/2022

ESERCIZIO: PDE_03

(La differenza è che prima avevamo

Quindi:

i = Nx :

d²n_nx+ + n_nx-1(α) + n_nx(-2α) + n_nx+1(α) = sei(ωt) e^{±iω(n_nx L/2)}

∂n / ∂x |_x=L = 0 → n_nx+1 + n_nx-1 = 0 → n_nx+1 = n_nx-1

Λ = Nx :

d²n_nx+ + η_nx-1(α) + η_nx(-2α) + η_nx+1(-α) = sei(ωt)

Λ = Nx :

d²n_nx + η_nx-1(2α) + η_nx(-2α) = sei(ωt) e^{±iω(n_nx-L/2)2}

E^o del II ordine e lo convertiamo al I ordine

Y = → m_dy/_dt + K Y = F

METODO FTCS ...

MATLAB

PDE_04

function [t, etc] = PDE_04(l, d, x, t, β, dt)

x=0:dx:l, x=x', Nx=length(x);

t=0:dt:tf; t=t', Nt=length(t);

c = 1; omega = 2*pi/10,

alf = -c²/dx²;

HI = e^ye(Nx); D=ze^ros(Nx); K=ze^ros(Nx);

K(1,1) = -2*alf; k(1,2) = 2*alf;

k(Nx,Nx-1) = 2*alf; k(Nx,Nx) = -2*alf;

for ix = 2:Nx-1

k(ix, ix-1) = alf;