Appunti Metodi numerici - Parte 4

PDE - EQ. DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI

Per ora dobbiamo studio:

• ODE_IV
  • ^dy⁄_dt= -αy, y(0)= y_o
  • m^d2x_m⁄_dt² + μ^dx_m⁄_dt + kx_m=f
  • ^{x_m(0)= x_i}
  • ^{v_m(0)= v_i}
  • Metodo di Eulero e How
• ODE_BV
  • ^d2T⁄_dx² + h’(T_∞-T)=0, T(x)?, T(0)=T_i
  • T(L)=T_b

Fino ad ora le incognite del problema dipendevano da una sola variabile indipendente: y(t), x_m(t), v_m(t), T(x).

Nell’ingegneria civile si incontrano problemi che possono essere descritti da grandezze che variano tridimensionalmente in 4 direzioni, ovvero: φ(x,y,z,t)

‘φ’ può essere:

• scalare (es. Temperatura)
• vettoriale (es. velocità dell’aria) in questo caso ci ricondurremo ad un problema scalare analizzando le componenti del vettore
  • φ^(x)
  • φ^(y)
  • φ^(z)

Da ora in poi φ è scalare!

Per φ dobbiamo una derivata lungo ogni direzione di derivabilità, cioè:

• ^∂φ⁄_∂x
• ^∂φ⁄_∂y
• ^∂φ⁄_∂z
• ^∂φ⁄_∂t

Simbolo di derivazione parziale poichè φ non dipende solo da x

PDE: EQ. DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI

Per ora dobbiamo STUDIO:

• ODE_IV
  • ^dy/_dt = -a^y, y(0) = y_o
  • ^{m d2x_m}/_dt² + ^{μ d x_m}/_dt + k_xm = ɸ
    • x_m(0) = x_o
    • x_m(0) = v_o
    Metodo di Eulero e Heun
• ODE_BV
  • ^d2T/_dx² + h'(T_oo - T) = 0, Π(x)?, Π(0) = T_ο, T(L) = T_b

Fino ad ora le incognite del problema dipendevano da una sola variabile indipendente: y(t), x_m(t), υ_m(t), T(x).

Nell'ingegneria civile si incontrano problemi che possono essere descritti da grandezze che variano tendenzialmente in 4 direzioni, ovvero: φ(x, y, z, t)

φ può essere:

• scalare (es. Temperatura)
• vettoriale (es. velocità dell'aria)

Da ora in poi φ è scalare!

Per φ dobbiamo una derivata lungo ogni direzione di derivabilità, cioè:

∂φ/∂x, ∂φ/∂y, ∂φ/∂z, ∂φ/∂t

_{Scopo di derivazione parziale perché φ non dipende solo da x}

Queste derivate si possono scrivere in modo compatto nel seguente modo:

φ_x, φ_y, φ_z, φ_t

Posso avere delle derivate seconde (con la relativa notazione compatta), cioè:

∂²φ / ∂x², ∂²φ / ∂y², ∂²φ / ∂z², ∂²φ / ∂t²

φ_xx, φ_yy, φ_zz, φ_tt

Posso avere anche derivate miste, preso ad esempio derivare la funzione prima rispetto a x e poi rispetto a y, ovvero:

∂²φ / ∂x∂y, ∂²φ / ∂x∂z, ∂²φ / ∂x∂t, ∂²φ / ∂y∂x, ∂²φ / ∂y∂z, ∂²φ / ∂y∂t

φ_xy, φ_xz, φ_xt, φ_yx, φ_yz, φ_yt

∂²φ / ∂z∂x, ∂²φ / ∂z∂y, ∂²φ / ∂z∂t, ∂²φ / ∂t∂x, ∂²φ / ∂t∂y, ∂²φ / ∂t∂z

φ_zx, φ_zy, φ_zt, φ_tx, φ_ty, φ_tz

A volte troviamo:

φ̇ → derivata di φ rispetto a t: ∂φ / ∂t

φ̈ → ∂²φ / ∂t²

L'idea è quella di ricondurre ad un problema con una sola variabile nello spazio e una nel tempo.

Mi scrivo un'equazione generale della fisica matematica:

m₂ ²φ∂t²+d₂∂φ∂t+ αφ=∇.(c∇φ)+β

• (quasi simile alle equazioni di oscillatori)
• (coefficiente di smorzamento diffusivo)
• (coefficiente di stiffness)
• (coefficiente diffusivo)

termine noto (termine forzante)

f(x,y,z,t)

1° TERMINE:

Tiene conto delle variazioni di quantità di moto.

Nei problemi dove ci sono oscillatori/vibrazioni rappresenta queste variazioni rapide della soluzione nel temp