Appunti Metodi numerici - Parte 3

%% Integrazione nel tempo con metodo di Eulero

x(1) = x0; y(1) = y0; Tet0(1) = Tet0;

ind au fig = figure; imshow('maccao.jpg'); set(gca,'YDir','normal')

axis _sette (thi, _keyPressFcn, @ funzione_ _key _press)

for t= 1:Nt -4

x(t+1) =...

y(t+1) =...

Tet2(t+1) = Tet2(t) + dt + Vx ^* Tau (phik1);

compos ("x(t+1), y(t+1), 37)

compos ("x(t+1) +100+cos(Tet2(t+1)),y(t+1)+100+sin(Tet2(t+1)),4)

plot(...)

title ([' t=', num2str(t(t+1)),', ph1= num2str(180/pi^*phk)'])

drammavi; pause(dt);

end

function

end

EQ. DIFF. ORDINARIE AI VALORI DI CONTORNO 14/11/2022

Fino ad ora abbiamo studiato:

_dy / _dt = -a._y

Questa ode descrive una proprietà di cui

la cond. iniziale individua una posizione all'interno di una famiglia

Ognuna descrive vissi:

_t_xm _out

_t_ym _out

→ descrivono lo stato del sistema

%% Integrazione nel tempo con metodo di Eulero

x(1)=x0;y(1)=y0;Teta(1)=Teta0;

ind axi fig picure imshow('nocciolo.jpeg'); set(gca,'y0','n0rul')setth pic, key Press Fcn, @ funzione key - press)

for compito per esercitiveiT=1:Nt;

x(iT+1)=...y(iT+1)=...

Teta(iT+1)=Teta(iT)+dt+vL*Tau(phik));composa Lx (iT+1),y(iT+1),37)coup Tagee ({[x(iT+1)+100+cos(Teta(iT+1),y(iT+1)+100+sin(Teta(iT+1)),2]})plot(...);

Tite L('/t=', umu 2 Str2(t(iT+1)1 pl =' umu 2 Str2 (180/pi*phk)])

drowaw power (dt);

endfution :end

EQ. DIFF. ORDINARIE AI VALORI DI CONTORNO

14/11/2022

Fiso ad ora abbiamo studiato:dydt =-a.y

yy(t=0)=yoy(t=s2)=2yo

{}{} Integrazionenel tempo

Queste odedescrive unafunzione di cue

lo cond. iniziale indivinua una posizione all'interno diuna famiglia

Opero dobbiamo visti.

dxmOxdymdt - descrivere lo state del sistema

Le cond. iniziali sono:

{ x(0)=x₀y(0)=v₀

Se specificassi le cond. inizialiper 2 valori diversi del tempo avrebbe senso?

x(0)=x₀, v(5,2)=v₀

Non mi permettono di identificare lostato del sistema dal quale partire

Regrairiammo il seguente problema.

Immaginiamo di conoscere latrave e vogliamo studiarele deformazioni

Sotto il carico verticale la trave si flette. Ma non abbiamouna risposta statica perché la trave inizia ad oscillare.Quindi il sistema fisico che stiamo studiando dipende siadallo spazio che dal tempo. Posso prendere le oscillazioni sismorzano arrivando ad una situazione statica.

Quindi:

• M(x,t) ➔ deflessioneverticale dellatrave.
• PDE ➔ problema allederivate parziali

Se voglio studiare l'oscillazione allora le condizioni sono:

• m(x, t = 0) , _dm/_dt
• m(x = L , t)

CONDIZIONI INIZIALI

CONDIZIONI AL CONTORNO

Per studiare il problema partiamo dalle condizioni iniziali e al contorno per poi scendere verso il basso fino ad arrivare allo stato del sistema finale.

La configurazione finale non dipende più dalle condizioni iniziali e quindi per risolvere posso usare dei modelli matematici che non considerano più il tempo ma solo le geometrie della nave con le condizioni di contorno. Questo perchè in Ingegneria Civile serve sapere qual è la configurazione finale e non lo stato transitorio in cui ci sono le oscillazioni.

Studiamo il seguente problema: propagazione del calore in una barretta immersa in un fluido ambiente cui il quale la barretta scambia calore

Indicare e calcolare la distribuzione di temperatura lungo x. Non quadro instantanei, ma solo la configurazione finale. Trovare l'ingegneria e considerare lo scambio di calore solo per convenzione

Considero un elementino e scrivo eq. di bilancio

Ae=z_iπ , As=2zπΔx , V=z_iπΔx

Il flusso di quantità di calore che esce nella porzione x deve essere uguale a quello che esce nella porzione x+dx deve essere uguale ad un termine per conversione

q(x+Δx)Ae - q(x)Ae = hAs(T_∞-T(x))

Divido entrambi i membri per il volume dell'elementino:

q(x+Δx) - q(x) Δx = 2hz (T_∞-T(x))

Se faccio il limite per x→0, allora:

dq dx = 2h z (T_∞-T) dove: q(x) e T(x)

Io sono interessato a T(x) ma ho un'altra variabile q(x) e quindi devo introdurre la legge di Fourier:

q = -k dT dx, legge di flusso ad un gradiente

Quindi ottengo 2 eq. differenziali:

(dq dx = 2h z (T_∞-T))

+ BC: { T(x=0)=Ta T(x=L)=Tb

SISTEMA DI DUE LINEARI

NOTA CHE:

• Δt = zⁱx / z_iπΔx = 1 z_iπΔx
• As = 2zπΔx / z_iπΔx

Per risolvere il sistema devo introdurre delle condizioni di contorno.