Appunti lezioni Analisi matematica 1

Lezione 1 Analisi 1

Informazioni generali sul corso

• Tutoraggio 1 ora
• Fine "potetica" del corso 20 dicembre
• Ricevimento su appuntamento tramite email
• Libro al sito
• Ogni giorno aggiornamento diario

• Nessun parziale = Appelli
• 1^o Gennaio
• 2^o Febbraio
• 3^o Giugno
• 4^o Luglio

Esame

Scritta obbligatoria + orale (eventuale)

• 17/18 esercizi =
• Domande teoriche
• Domande scelta multipla con motivazione della risposta
• Esercizi di matematica

Alcuni materiali su classroom

Email libero arbitrio: pignatelli@unicroma.it

Insiemi

Definizione =

Un insieme è una collezione di oggetti detti elementi

Lezione 1 Analisi 1

Informazioni generali sul corso

• Tutoraggio 1 ora
• Fine ipotetica del corso 20 dicembre
• Ricevimento su appuntamento tramite email
• Libro al sito.
• Ogni giorno aggiornamento diario
• Nessun parziale = Appelli:
• 1° Gennaio
• 2° Febbraio
• 3° Giugno
• 4° Luglio

Esame

• Scritto obbligatorio + orale (eventuale)
• 17/18 esercizi:
• Domande teoriche
• Domande scelta multipla con motivazione della risposta
• Esercizi di matematica

Appelli precedenti su classroom

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Insiemi

Definizione

Un insieme è una collezione di oggetti detti elementi

Esempio

A = { a, b, c }

U = { 1, 2, 3, ... }

B = { n ∈ U : n è dispari }

2, 3, 5, 7, ...

Simboli

∈ Appartiene → esempio 2 ∈ A

∉ Non appartiene → esempio 2 ∉ 1

⊆ Inclusione → A ⊆ B ↔ ∀ x ∈ B, x ∈ A

Operazioni tra insiemi

Unione A ∪ B = { x : x ∈ A oppure x ∈ B }

Intersezione A ∩ B = { x : x ∈ A e x ∈ B }

Insieme vuoto

∅

Definizione: Due insiemi A e B si definiscono disgiunti se la loro intersezione è vuota.

Differenza insiemistica.

A \ B (Ad A sottraggo B)

= {x ∈ A : x ∉ B }

COMPLEMENTARE DI UN INSIEME

A^c = U \ A

Simbolo insieme universo

Proprietà

• (A^c)^c = A
• A ∩ A^c = ∅ → insieme vuoto
• (A ∪ B)^c →
  • = A^c ∩ B^c
• (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c
  • Da verificare

Altre Proprietà

2) Commutativa

A ∪ B = B ∪ A   A ∩ B = B ∩ A

3) Associativa

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)   (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

4) Distributiva

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (B ∪ C)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

5) Prodotto cartesiano tra insiemi

Siano A e B due insiemi. Si dice prodotto cartesiano tra A e B e

A × B = {(a,b) : a ∈ A, b ∈ B}

Coppia Ordinata

A × A = A²

Osservazione!!   A × B ≠ B × A

Ricordare!! Esempio

A = {a,b}

B = {1,2,3}

A × B = {(a,1)(a,2)(a,3)(b,1)(b,2)(b,3)}

B x A = { (1,a) (1,b) (2,a) (2,b) (3,a) (3,b) }

"Il prodotto cartesiano non è commutativo"

Domande

A = { 1, 2 }

B = { 2, 1 }

Sono eguali? Sì!!

A = B

Perché gli insiemi non sono vincolati a relazioni di ordine.

Insiemi Numerici

• ℕ Insieme dei numeri naturali

{ 1, 2, 3, ... , ∞ }

• ℤ Insieme dei numeri interi

{ -∞, ... , -2, -1, 0, 1, 2, ... , ∞ }

ℕ ⊂ ℤ

• ℚ Insieme dei numeri razionali

{ x = p/q con p ∈ ℤ, q ∈ ℕ, q ≠ 0 }

(ovvero i numeri possono essere scritti come frazioni)

Esempio 1/2 -3/2 1/4

N ∈ Z ⊆ ℚ

NB!! I numeri razionali possiedono una "doppia scrittura"

1. Forma Decimale
2. Forma Frazionaria

0,5 = 1/2

Si chiama forma decimale di un numero x ∈ ℚ la sua rappresentazione del tipo x = s,d₀d₁d₂……

Dove s è la parte intera, Z mentre d₀d₁d_i ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Vi ∈ ℕ ∪ {∞}

Osservazione!!

La parte decimale, (dop