Appunti Fondamenti di Informatica teoria - algebra di boole

Operatori booleani

Dato un valore booleano, il NOT restituisce il valore di verità opposto.

AND

Simbolo * oppure ·

Commutativa - associativa - idempotenza

Proprietà:

• xŸy=yŸx
• xŸ(yŸz)=((xŸy)Ÿz)
• xŸx=x
• x×x=0

Dati due valori booleani, l'AND restituisce 1 se e solo se entrambi gli operandi sono 1, altrimenti il risultato è 0.

OR

Simbolo +

Commutativa - associativa - idempotenza

Proprietà:

• x+y=y+x
• (x+(y+z))=((x+y)+z)
• x+x=x
• x+x=1

Dati due valori booleani, l'OR restituisce 1 se e solo se almeno uno degli operandi è 1, altrimenti il risultato è 0.

Teorema di dualità

Nell'algebra di Boole vale il teorema di dualità (reciprocità dei teoremi) che dice: ogni identità e ogni proprietà resta valida se si scambiano tra loro gli elementi 0 e 1 e gli operatori AND e OR. Una espressione è duale di un'altra se ottenuta scambiando AND con OR e 0 con 1. Se un...

teorema è vero, anche il suo duale è vero.

PROPRIETÀ DELL'ALGEBRA BOOLEANA

OPERATORI UNIVERSALI

NAND e NOR sono detti universali perché possono da soli realizzare tre operatori fondamentali NOT, AND e OR.

OPERATORE OR-ESCLUSIVO (EXOR)

L'operatore EXclusive-OR o EXOR è anche detto sommatore modulo 2.

ALGEBRA DI BOOLE E RETI LOGICHE

Si presta bene quindi allo studio e progettazione dei circuiti elettronici digitali;

Le operazioni più elementari che possono essere svolte dai calcolatori elettronici vengono implementate mediante la combinazione delle operazioni booleane fondamentali.

RAPPRESENTAZIONE DEGLI OPERATORI DELLA LOGICA BOOLEANA

Esistono due modi per rappresentare gli operatori booleani:

- rappresentazione algebrica;

- rappresentazione circuitale.

Rappresentazione Algebrica: per rappresentare gli operatori si utilizzano dei simboli;

Rappresentazione Circuitale: è una rappresentazione grafica dove gli operatori sono rappresentati mediante porte

collegate da segmenti.

RAPPRESENTAZIONE CIRCUITALE

Nella rappresentazione circuitale il valore delle variabili è un segnale;

• Un segnale è qualcosa (attività elettrica) che può essere presente o
• assente;

Per convenzione se presente è identificato il valore 1 se assente con il

valore 0;

Il segnale può fluire in una unica direzione;

Si può pensare alle porte logiche come a piccoli dispositivi che prendono

in ingresso un segnale e restituiscono in uscita un segnale trasformato.

RETI LOGICHE

TABELLA DELLA VERITÀ

Rappresentazione esaustiva (non compatta) tramite una tabella che contiene:

• Una colonna per ogni variabile di ingresso;
• Una colonna per ogni variabile di uscita;