Appunti di Teoria delle Strutture - Parte 6 (modello Lastra)

M_L = EIφ'L = m_L     z = L

M_o = EIφ'o = m_o     z = 0

EIφ''' - qAs(u + φ) = 0     0 < z < L

qAs(u + φ) = -q     α ≤ z ≤ L

T_L = qAs(u_L + φ_L = F_L     z = L

T_o = qAs(u_o + φ_o = F_o     z = 0

Metodo Variazionale (Ritz) - Timoshenko

Devo avere due funzioni approssimate:

{ u(z) = Σc_iφ_i(z)

φ(z) = Σm θ_i(z)

Spesso nelle φ e θ compare sia φ che u

Per la stazionarietà quello va distinto di n * m equazioni:

∂π/∂c = 0, ∂π/∂θ = 0, ∂π/∂z = 0, ∂π/∂m = 0

Modelazione Lastra     12/04/22

Oggetto tridimensionale in cui una dimensione è significativamente più piccola delle altre 2 —> Lastra

Modello lastra - carico parabolico di passo medio h

Modello piastra - carico perpendicolare di passo medio h

n = {-b/2, b/2} × p

MODELLO LASTRA

Hp.: piccoli gradienti di spostamentomateriale elastico lineare isotropo

Note: carchi paralleli a y

Ω = { -_b⁄₂, _b⁄₂ } × ly

SPOSTAMENTI

u = (u(x,y)) -> spostamento lungo x(v(x,y)) -> spostamento lungo y

Spostamenti dei puntisu piano medio(indipendentemente da z)

w = 0 -> spostamento lungo z

Il vettore spostamento u ha 2 componenti.

DEFORMAZIONI

ε_x = ∂u⁄∂x = µ_x , ε_y = ∂v⁄∂y = ν_y , ε_z = ∂w⁄∂z = 0

_xy = ∂u⁄∂y + ∂v⁄∂x = µ_y + ν_x

_xz = ∂u⁄∂z + ∂w⁄∂x = 0 , _yz = ∂ν⁄∂z + ∂w⁄∂y = 0

Allora:

ε = _εxεyεxy = S µ = _∂x∂y0 µ

Dove S = _∂⁄∂x  00  ∂⁄∂y∂⁄∂y  ∂⁄∂x

Vettore deformativo(ha 3 componenti)

EQ. DI CAMPO LINEARE

ε(x,y) = S µ(x,y)

Adesso moltiplica la (5) per (1-ν) e alla fine ottengo:

σ_x = ε/(1+ν) · 1/(1-2ν) · [Dε_x + ε_y(1-ν)]

σ_z = ϑ(σ_x + σ_y) → bazfo

Posso scrivere sempre G= Dε

(σ_x σ_y τ_xy)^T = D (ε_x ε_y 2ε_xy)^T

D può essere 2 forme a seconda del caso in cui ci troviamo

Definisco le caratteristiche delle sollecitazioni

Equazioni di Equilibrio

N_x = ∫_-h/2^h/2 σ_x dz = hσ_x

N_y = ∫_-h/2^{h/2 σ_y dz = hσ_y}

N_xy = ∫_-h/2^h/2 τ_xy dz = hτ_xy

C sono forze che agiscono in ogni punto del piano medio:

b₀ = (b_x b_y)^T = (σ(x,y) τ(x,y))^T - couch distrub. (σ(x,y) τ(x,y))^T

b₀ × Δy = τ_xyσ_yΔx

Direzione X:

(N_x + ΔN_y) Δy - N_xΔy + N_xy Δy + τ_xy Δy Δx = Δx Δy

Direzione Y:

(N_y + ΔN_y) Δx - N_yΔy + (N_xy + ΔN_xy) Δy - N_xyΔx + b₀ Δx Δy = 0

Esercizio

Carico critico di una trave appoggio-doppio pendolo

Orizzontale con θ

E I u'''' + N u'' + f u = 0

Verificare che il carico critico è più basso di quello che dobbiamo

calcolato con il cos θ = 0.

MATLAB

% Carico critico di una trave appoggio-doppio pendolo orizzontale con

Si potrebbe calcolare anche una funzione chiamata "funzione dell'altezza dei banchi in fase subalica."

% Metodo razionale espressivo mv=4; mf=mv+1; % n delle variabili nui=mv*2; sym s: φ ₁; φ ₂; % vettore incognite unks_v=sym('av',[1,mv]); unks_f=sym('af',[1,mf]); unks=[unks_v unks_f];%vettore delle incognite totali

% funzione esponenziale approssimata va=poly2sym(unks_v,z) fa=poly2sym(unks_f,z)

% curvatura chia=diff(fa,z)

% scostamento angolare gama=diff(va) + fa

% Energia interna enu_int=1/2 * EE * A1 * int((chia^2),0,L) ++ 1/2 * GG * A3 * int((gama^2),0,L);

% Energia dei carichi carichi=.IE per z-L enu_car=-F*subs(fa,z,L);

% Energia dei vincoli enu_vin=1/2 * KK+subs(va,0)^2,0) | 0-LH+ 1/2 * KK+subs(fa,0)^2,0) | 0-LI2;

% Energia Totale

RICORDA CHE:

TIMOSHENKO : U(z) = Σ_i=1² Σ_n=1 ˉε_iϑ_i(z) ϑ(z) = Σ_j=1^mvf c_j ϓ_j(z) δ = θ + φ

spesso si prende mf=mv+1 in modo che quadradi o simulare fessure polime che hanno stranamentetutti gli stessi coefficienti

Τ(0(z), φ(z)) = ;½ E(Iθ)' [0

Tenuiro Resaçoare (update bar EF)

Sonsisusa la rr = l (r) e nell'energia peso (as saspisinori)

goma=diff(Ts,z)+phs

%Momento flettente

Ms=EE+Il*adn

%Torsione

Ts=GKt*As*goma

%Condizioni al contorno

bcA1=subs(us,z,0);

bcA2=subs(Ms,z,0);

bcB1=subs(phs,z,L);

bcB2=subs(Ts,z,L);

sym C1 C2 C3 C4

eqms=[bcA1 bcA2 bcB1 bcB2];

umks=[C1 C2 C3 C4];

sol=solve(eqms,umks)

%Soluzioni

uss=upa(subs(us,sol))

fss=upa(subs(phs,sol))

Mss=upa(subs(Ms,sol))

Tss=upa(subs(Ts,sol))

%Pettaglio

zu=linspace(0,L,20)

wu=subs(uss,z,zu)

Mu=subs(Mss,z,zu)

Tu=subs(Ts,z,zu)

figure(1)

hold on

set(gca,'ydir','reverse');

plot(zu,wu)

title('displacement along y')

Le condizioni al contorno sono:

• in A: u(0)=0
• M(0)=0
• in C: φ(0)=0
• T(0)=0